確率論覚え書き

この文書群は測度論的確率論、特に条件付き期待値とフィルトレーション、マルチンゲールなどの数学に関する覚え書きです。条件付き期待値はちまちまとした証明や命題が必要で、どうにも忘れがちなので覚え書きとして作ったものです。

これらの文書において、常に確率空間は$(\Omega, \mathcal{F}, P)$で表すこととします。

確率変数の一致

2つの確率変数が一致する条件

確率変数が生成するσ-代数について

条件付き期待値

交換可能性

マルチンゲール (Martingale)

記号

\(x \in \mathbb{R}\)に対して、\(x^+\)、\(x^-\)を

\[\begin{aligned} x^+ & = \max \{0, x \} \\\\ x^- & = \max \{0, -x \} \end{aligned}\]

と定義する。すると

\(x^+, x^- \geq 0\) 。
\(x = x^+ - x^-\) 。
\(x \geq 0\) ならば \(x = x^+\)、\(x \leq 0\) ならば \(x = x^-\)

を満たす。特に関数に関して考えると意味がある。また、\(x \mapsto x^+\), \(x \mapsto x^-\)という写像はともに単調非減少で下に凸である。