2つの確率変数が一致する条件

2つの確率変数 $X, Y$ がa.s.で一致する必要十分条件として次が知られている。

これより弱い定理として、次が知られている。

定理 $\mathcal{F} = \sigma(\mathcal{F}_0)$ である場合、次の条件を満たすとき $X$ と $Y$ は a.s. で一致する。

• $\mathcal{F}_0$ は $\pi$-システムである。つまり$A, B \in \mathcal{F}_0$ ならば $A \cap B \in \mathcal{F}_0$
• $E[X, A] = E[Y, A] \text{ for all } A \in \mathcal{F}_0$
• $E[|X|], E[|Y|]$ はともに有限 (つまり $X, Y$ は可積分)

この定理から次のようなことが言える。

• $\mathcal{G}$ が $\mathcal{F}$ の部分σ-代数で、$X, Y$ が $\mathcal{G}$-可測な r.v. である場合、$E[X, A] = E[Y, A]$ for all $A \in \mathcal{G}$ が $X = Y$ a.s. の必要十分条件となる
• $\mathcal{G}_0 \subset \mathcal{F}$ で $X, Y$ が $\sigma(\mathcal{G}_0)$-可測な r.v. である場合、次の条件を満たすとき$X = Y$ a.s. となる
  • $\mathcal{G}_0$ は $\pi$-システムである
  • $E[X, A] = E[Y, A]$ for all $A \in \mathcal{G}_0$
  • $E[|X|], E[|Y|]$ はともに有限

証明

重要なのが次の $\pi$-$\lambda$ 定理である。

定理 $\mathcal{F}_0$ は $\mathcal{F}$ を生成するとする。$\mathcal{F}$ 上の測度 $\mu, \nu$ は次の2条件を満たすとき一致する。これは符号付き測度の場合も成り立つ。

• $\mu, \nu$ は有限、つまり $\mu(\Omega), \nu(\Omega) < +\infty$ (符号付きの場合は正負両方のパートが有限であればよい)
• $\mathcal{F}_0$ は $\pi$-システムである

そこで、$\mu (A) = E[X, A], \nu (A) = [Y, A]$ と定義すれば$\mu, \nu$ は $\pi$-$\lambda$ 定理の条件を満たす符号付き測度となり、$\mu = \nu$ がわかる。$\mu = \nu$ は

を意味するので、$X = Y$ a.s. が得られる。