\((\mathcal{F}_n)_{n \geq 1}\) をフィルトレーション、\((X_n)_{n \geq 1}\) をr.v.の列とする。 次の条件を満たすとき、$(X_n)_{n\geq 1}$ はフィルトレーション $\mathcal{F}$ に関するマルチンゲールであるという。
条件3の等号が $\geq$ に置き換わった場合には劣マルチンゲール、$\leq$ に置き換わった場合は優マルチンゲールと呼ぶ。
マルチンゲールに関しては次の劣マルチンゲール収束定理が重要である。
定理
\((X_n)_{n\geq 1}\) はフィルトレーション $\mathcal{F}$ に関する劣マルチンゲールであるとする。 \((X_n)_{n\geq 1}\) が上に一様有界である、つまり
\[\sup_{n} E[X_n^+] < \infty\]とすると、r.v.の列 \((X_n)_n\) はあるr.v. $X_\infty$ に概収束する。 さらにその $X_\infty$ は可積分である。つまり $E[\lvert X_n\rvert] < \infty$ である。
停止時刻に関する定理。