停止時刻

$(\mathcal{F}_n)$ をフィルトレーションとする。 r.v. $\tau$ が $(\mathcal{F}_n)$ に対する停止時刻(stopping time)であるとは、次の2つを満たす場合を言う。

$\tau$ は非負の整数値もしくは $+\infty$ を値として取る
$\forall n \geq 0$ に対して $\{\tau = n \} \in \mathcal{F}_n$

ドゥーブの最適停止定理

$(X_n)_{n \geq 1}$ を $(\mathcal{F}_n)_{n \geq 1}$ に関する劣マルチンゲール、$\tau, \sigma$ を停止時刻とする。もし、$\tau \leq \sigma$ かつ $\tau, \sigma$ が有界、すなわち $\exists K \in \mathbb{N}$ s.t. $\tau(\omega) \leq \sigma(\omega) \leq K$ for all $\omega \in \Omega$、が成立するならば、次の2つが成立する。

$E[X_\tau] \leq E[X_\sigma]$
$E[X_\sigma \mid \mathcal{F}_\tau] \geq X_\tau$

ただし、$X_\tau$: r.v. は

\[X_\tau(\omega) = X_{\tau(\omega)}(\omega) \ (\omega \in \Omega),\]

で、$\mathcal{F}_\tau$ : $\mathcal{F}$ の部分σ-代数、は

\[\mathcal{F}_\tau = \{ A \in \mathcal{F} \mid \forall n\geq 0, A \cap \{\tau=n\} \in \mathcal{F}_n \}\]

で、それぞれ定義される。