確率変数が生成するσ-代数は複数の確率変数の場合に拡張できる。 さらに確率変数の個数が可算無限個の場合にも拡張できる。
$X_1, \dots, X_N$ をr.v.とする。このとき、$X: \Omega \to \mathbb{R}^N$を
\[X(\omega) = (X_1(\omega), \ldots, X_N(\omega))\]で定義すると、$X$ は $\mathcal{F}$-$\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$-可測関数である。そこで、$\sigma(X_1, \ldots, X_N)$ を
\[\sigma(X_1, \ldots, X_N) = \{ X^{-1}(B) \mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)\}\]で定義する。
(1) $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ は $\{ (-\infty, t_1] \times \cdots \times (-\infty, t_N] \mid t_1, \ldots, t_N \in \mathbb{R} \}$, で生成されるので、
\[\sigma(X_1, \ldots, X_N) = \sigma(\{ \{X_1 \leq t_1\} \cap \cdots \cap \{X_N \leq t_N \} \mid t_1, \ldots, t_N \in \mathbb{R}\})\]である。
これ以外にも同じσ-代数を生成する集合族として以下のような例が挙げられる。 $D$ は $\mathbb{R}$ の稠密な部分集合で、$\mathbb{Q}$ などが通常は用いられる。
(2) 以下の等式が成立する。特に $\sigma(X_n) \subset \sigma(X_1, \ldots, X_N)$である。
\[\sigma(X_1, \ldots, X_N) = \sigma(\sigma(X_1) \cup \cdots \cup \sigma(X_N))\]証明
\[\{ \{X_n \leq t\} \mid 1 \leq n \leq N, t \in D \} = \cup_{n=1}^N \{ \{X_n \leq t\} \mid t \in D \}\]であるため、上で挙げた $\sigma(X_1, \ldots, X_N)$ を生成する集合族の例3を考えると、目標の等式の成立がわかる。
(3) 上の事実より、$\sigma(X_1, \ldots, X_N)$ は $X_1, \ldots, X_N$ を可測とする最小のσ-代数である。
可算無限個 $(X_n)_{n=1}^\infty$ の場合は、無限次元ベクトル空間から考えるのはあまり筋が良くなく、 上の例3から、
\[\sigma(X_1, \ldots) = \sigma(\{ \{X_n \leq t \} \mid n \geq 1, t \in D \})\]とするのがよい。
この場合も (2) と同様の命題、つまり
\[\sigma(X_1, \ldots) = \sigma(\sigma(X_1)\cup \cdots)\]が成立する。