確率変数の交換可能性

r.v $X_1, \ldots, X_N$ が交換可能 (exchangeable)であるとは、任意の置換 $\pi \in S_N$ に対して、 $(X_1, \ldots, X_N)$ と $X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)}$ の分布(像測度)等しいこと、すなわち

\[(X_1, \ldots, X_N)_* P = (X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)})_* P\]

であることである。

独立同分布ならば交換可能

$X_1, \ldots, X_N$ が i.i.d. (独立同分布) ならば交換可能である。

証明独立性より、

\[(X_1, \ldots, X_N)_* P = (X_1)_*P \times \cdots \times (X_N)_*P\]

同分布より

\[(X_i)_*P = (X_j)_*P \text{ for all } 1 \leq i, j \leq N\]

この2つより示される。

期待値による交換可能性の特徴付け

$X_1, \ldots, X_N$ が交換可能であることと、次は同値。

$\forall \pi \in S_n$、$\forall g: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$: Borel可測、に対して $E[g(X_1, \ldots, X_N)] = E[g(X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)})]$

証明

(⇒)

\[\begin{aligned} E[g(X_1, \ldots, X_N)] &= \int g(X_1, \ldots, X_N) dP \\\\ &=\int g(x_1, \ldots, x_N) (X_1, \ldots, X_N)_*P(dx_1 \cdots dx_N) \\\\ &=\int g(x_1, \ldots, x_N) (X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)})_*P(dx_1 \cdots dx_N) \\\\ &=\int g(X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)}) dP \\\\ &= E[g(X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)})] \end{aligned}\]

(⇐) $\forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ に対し、

\[(X_1, \ldots, X_N)_*P(A) = (X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)})_*P(A)\]

を示せばよい。左辺は

\[P((X_1, \ldots, X_N) \in A)\]

と等しく、これは

\[\int \mathbf{1}_A(X_1, \ldots, X_N) dP\]

に等しく、$\mathbf{1}_A$ はBorel可測なので

\[\int \mathbf{1}_A(X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)}) dP = (X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)})_*P(A)\]

と等しい。