条件付き期待値は以下の線形性を満たす。
\[E[aX + bY \mid \mathcal{G}] = aE[X \mid \mathcal{G}] + bE[Y \mid \mathcal{G}]\]ただし、$X, Y$は$\mathbb{R}$値r.v.で、$a, b \in \mathbb{R}$、$\mathcal{G}$は$\mathcal{F}$の部分σ-代数である。
$\forall A \in \mathcal{G}$に対して
\[\int_A E[aX + bY \mid \mathcal{G}] dP = \int_A aE[X \mid \mathcal{G}] + bE[Y \mid \mathcal{G}] dP\]が言えればよい。
\[\begin{aligned} \text{(左辺)} & = \int_A (aX + bY) dP = aE[X] + bE[Y] \\ \text{(右辺)} & = a \int_A E[X \mid \mathcal{G}] dP + b \int _A E[Y \mid \mathcal{G}] dP = a \int_A X dP + b \int_A Y dP = aE[X] + bE[Y] \end{aligned}\]で両辺は一致する。