後ろ向きフィルトレーション \((\mathcal{F}_n)_{n\geq 1}\) に対して、マルチンゲールと似た逆マルチンゲールが定義でき、対応して収束定理が成り立つ。
定義
$(X_n)_{n \geq 1}$ が後ろ向きフィルトレーション \((\mathcal{F}_n)_{n\geq 1}\) に関する逆マルチンゲールであるとは、次の3つを満たすことを言う。
条件3の等号が $\geq$ の場合、逆劣マルチンゲールと呼び、$\leq$ の場合逆優マルチンゲールと呼ぶ。
$(X_n)_{n \geq 1}$ が後ろ向きフィルトレーション \((\mathcal{F}_n)_{n\geq 1}\) に関する逆劣マルチンゲールであり、期待値が下に有界、すなわち
\[\inf_n E[X_n] > -\infty\]であるとする。このとき \((X_n)_{n}\) はあるr.v. $X_\infty$ に概収束する。 さらにこれは $L^1$-収束でもある。
条件3の不等式の期待値を取ると、
\[E[X_n] \geq E[X_{n+1}]\]が得られるため、期待値は単調減少する。そのため、下に有界という条件は
\[\lim_{n \to \infty} E[X_n] > -\infty\]という条件で置き換えることができる。
\((X_n)_{n\geq 1}\) : r.v. の可算無限列、に対して、
\[\mathcal{F}_n = \sigma(X_1+ \cdots+ X_n, X_{n+1}, X_{n+2}, \ldots)\]と置くと、これは後ろ向きフィルトレーションになる。さらに \((X_n)_{n\geq 1}\) が交換可能である時、 \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) と置くと、\((S_n)_{n\geq 1}\) が逆マルチンゲールとな。る