$\mathcal{G}$ を $\mathcal{F}$ の部分σ-代数、 $X, Y$はr.v.とする。 $X$が$\mathcal{G}$-可測なr.v.の場合、次が成立する。
\[E[X Y \mid \mathcal{G}] = X E[Y \mid \mathcal{G}] \text{ a. s. }\]特に$Y \equiv 1$である場合、定値確率変数の条件付き確率は定値という事実を用いると次が成立する。
\[E[X \mid \mathcal{G}] = X \text{ a. s. }\]次の4段階で証明する。
両辺は $\mathcal{G}$-可測なので、
\begin{equation} \int_A E[X Y \mid \mathcal{G}] dP = \int_A X E[Y \mid \mathcal{G}] dP \text{ for all } A \in \mathcal{G} \end{equation}
を示せばよい。この場合は、
\[\begin{aligned} \text{((1)の左辺)} & = \int_A XY dP = \int_A \mathbf{1}_B Y dP = \int_{A \cap B} Y dP \\\\ \text{((1)の右辺)} & = \int_A \mathbf{1}_B E[Y \mid \mathcal{G}] dP = \int_{A \cap B} E[Y \mid \mathcal{G}] dP = \int_{A \cap B} Y dP \end{aligned}\]より、(1)の両辺が等しいことがわかる。
この場合は、$\exists B_1, \ldots, B_n, \alpha_1, \ldots, \alpha_n$, s.t.
\[X = \sum_{i=1} \alpha_i \mathbf{1}_{B_i}\]であるため、
\[\begin{aligned} E[XY \mid \mathcal{G}] &= E[(\sum_i \alpha_i \mathbf{1}_{B_i}) Y \mid \mathcal{G}] \cdots (a)\\\\ &= \sum_i \alpha_i E[\mathbf{1}_{B_i} Y \mid \mathcal{G}] \cdots (b)\\\\ &= \sum_i \alpha_i\mathbf{1}_{B_i} E[Y \mid \mathcal{G}] \cdots (c)\\\\ &= X E[Y \mid \mathcal{G}] \end{aligned}\]となり等式が等しいことがわかる。(a) → (b)では条件付き期待値の線形性を、(b)→(c)ではStep 1を用いている。
この場合、$X$を指示関数の線形和(このような関数は単関数と呼ばれる)の単調増大極限で表される(単関数近似)。 すなわち、$(X_n)_{n=1}^\infty$を単関数の単調増大列で、$X_n \nearrow X$ (a. s. )を満たすものとする。 このとき次が成立する。
よって、
\[E[XY \mid \mathcal{G}] = \lim_{n\to \infty} E[X_n Y \mid \mathcal{G}] = \lim_{n \to \infty} X_n E[Y \mid \mathcal{G}] = X E[Y \mid \mathcal{G}]\]が成立する。
$X, Y$を正の部分と負の部分に分ける。つまり $X = X^+ - X^-$、$Y = Y^+ - Y^-$と分け、$XY = X^+Y^+ - X^+Y^- - X^-Y^+ + X^-Y^-$ と分けることで、Step 3と条件付き期待値の線形性を用いて目的の等式が示せる。