条件付き期待値の単調収束定理

$(X_n)_{n=1,\ldots}$ を単調なr.v.の列とする。つまり、任意の $n$ に関して

が成立するとする。このとき、測度論における単調収束定理より、$(X_n)_{n=1,\ldots}$ は($+\infty$を含めれば)あるr.v. ($X_{\infty}$ と表す)に概収束し、次の等式が成り立つ。

\begin{equation} \lim_{n\to \infty} \int_A X_n dP = \int_A X_\infty dP \text{ for all } A \in \mathcal{F} \end{equation}

すると任意の部分σ-代数 $\mathcal{G}$ に対して次の等式が成立する。

証明

まず、条件付き期待値の順序の保存より、 $(E[X_n \mid \mathcal{G}])_{n=1}^\infty$は単調である。 すると上の議論と同様に測度論の単調収束定理より、$\exists Z$: $\mathcal{G}$-可測なr.v. s.t.

\begin{align} E[X_n \mid \mathcal{G}] \to Z \text{ (a. s.), as } n \to \infty \\ \lim_{n\to\infty} \int_A E[X_n \mid \mathcal{G}] dP = \int_A Z dP \text{ for all } A \in \mathcal{G} \end{align}

ここで、$A \in \mathcal{G}$ならば条件付き期待値の定義より

\begin{equation} \int_A E[X_n \mid \mathcal{G}] dP = \int_A X_n dP \end{equation}

であるので、(1)(3)(4)より

がすべての $\mathcal{G}$-可測集合 $A$ で成立する。$Z$ は $\mathcal{G}$-可測なr.v.であるので、条件付き期待値の定義より

である。