$\mathcal{G}$は$\mathcal{F}$の部分σ-代数、$X, Y$はr.v.で
\[X \leq Y \text{ (a. s. ) }\]を満たすとする。このとき
\[E[X \mid \mathcal{G}] \leq E[Y \mid \mathcal{G}] \text{ (a. s.) }\]が成立する。
測度論の一般論で、次が成り立つ。
命題 $X, Y$ をr.v.とする。次は同値
よって、$\mathcal{G}$-可測な関数の比較なので次を示せばよい。
\[\int_A E[X \mid \mathcal{G}] dP \leq \int_A E[Y \mid \mathcal{G}] dP \text{ for all } A \in \mathcal{G}\]この不等式の両辺は条件付き期待値の定義よりそれぞれ
に等しく、$X \leq Y$ (a. s.) よりこの2つに関し次の不等式が成立するので、目的の不等式が成立する。
\[\int_A X dP \leq \int_A Y dP\]