$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ を確率空間とする。 $X$ を($\mathcal{F}$-可測な)確率変数、$\mathcal{G}$ を $(\Omega, \mathcal{F})$ の部分σ-代数とするとき、次を満たす確率変数 $Y$ を $\mathcal{G}$ に関する $X$ の条件付き期待値と呼び、$E[X\mid \mathcal{G}]$ と表す。
このような $Y$ はa.s.で一意である。
このようなr.v.の存在と一意性は次のようにして保証される。
$\mu_X: \mathcal{G} \to \mathbb{R}$ を次のように定義する。
\[\mu_X(A) = \int_A X dP\]すると、$\mu_X$ は (1) $\mathcal{G}$ 上の符号付き測度であり、(2) $P|_{\mathcal{G}}$ に絶対連続である。 ただし \(P|_{\mathcal{G}}\) は確率測度 $P$ を $\mathcal{G}$ に制限した確率測度である。
すると、ラドン-ニコディムの定理が適用でき、ラドン-ニコディム微分
\[\frac{d\mu_X}{d (P|_{\mathcal{G}})}\]を$Y$と置くと、以下のように条件1、2が満たされる。
測度論の一般論として、2つの $\mathcal{G}$-可測なr.v. $Y$ と $Y’$ がa.s.で等しいことと次は同値である。
\[\int_A Y dP = \int_A Y' dP \text{ for all } A \in \mathcal{G}\]すると条件1,2より一意性がわかる。