$\mathcal{G}_0$ が $\mathcal{F}$ と適合的な $\Omega$ の高々加算な分割であり、分割の各要素は確率が正であるとする。つまり、
\[\begin{aligned} \mathcal{G}_0 &\subset \mathcal{F} \text{ (これが適合的の定義)}\\\\ \mathcal{G}_0 &= (A_n)_{n=1,\ldots} \\\\ m \not = n & \text{ ならば } A_n \cap A_m = \emptyset \\\\ \cup_{n} A_n & = \Omega \\\\ P(A_n) & > 0 \end{aligned}\]とする。このとき、$\mathcal{G} = \sigma(\mathcal{G}_0)$ と置くと、$\mathcal{G}$ は $\mathcal{G}_0$ の高々可算個の和集合の集まりとなる。つまり:
\[\mathcal{G} = \{ A_{i_1} \sqcup A_{i_2} \sqcup \cdots \mid i_1 < i_2 < \ldots \} \cup \{ \emptyset \}.\]このとき、r.v. $X$ の $\mathcal{G}$ に関する条件付き期待値は次のように表される。
\begin{equation} E[X \mid \mathcal{G}] = \sum_n \frac{E[X, A_n]}{P(A_n)} \mathbf{1}_{A_n} \end{equation}
$X$ が非負の場合に示せば、$X = X^+ - X^-$ と正負に分ければ一般の場合に証明できる。 そのため $X$ が非負の場合にのみ示せば十分。
(1) の右辺は $\mathcal{G}$-可測であることは明らかなので、$\forall B \in \mathcal{G}$ に対し
\begin{equation} \int_B E[X \mid \mathcal{G}] dP = \int_B \sum_n \frac{E[X, A_n]}{P(A_n)} \mathbf{1}_{A_n} dP \end{equation}
を示せばよい。$B$ は空でない限り
\[B = A_{i_1} \sqcup A_{i_2} \sqcup \cdots\]と直和で表わされるので、(2)を示すためにはルベーグ積分の領域可算直和に関する性質より次の等式を $\forall j$ で示せばよい:
\begin{equation} \int_{A_{i_j}} E[X \mid \mathcal{G}] dP = \int_{A_{i_j}} \sum_n \frac{E[X, A_n]}{P(A_n)} \mathbf{1}_{A_n} dP \end{equation}
(3) の左辺は条件付き期待値の定義より次に等しい:
\begin{equation} \int_{A_{i_j}} X dP = E[X, A_{i_j}] \end{equation}
(3) の右辺はルベーグ積分の単調収束定理より次に等しい:
\begin{equation} \sum_n \frac{E[X, A_n]}{P(A_n)} \int_{A_{i_j}} \mathbf{1}_{A_n} dP \end{equation}
\(\int_{A_{i_j}} \mathbf{1}\_{A_n} dP\) は \(A_{i_j} = A_n\) である場合のみ正で、それ以外では0であるので(5)は
\begin{equation} \frac{E[X, A_{i_j}]}{P(A_{i_j})} \int_{A_{i_j}} \mathbf{1}_{A_{i_j}} dP = \frac{E[X, A_{i_j}]}{P(A_{i_j})} P(A_{i_j}) = E[X, A_{i_j}] \end{equation}
と等しい。(4)と(6)が一致するので(3)が成立する。