\(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) に対して行列
\[V = V(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) = \begin{bmatrix} 1 & \lambda_1 & \lambda_1^2 & \cdots \lambda_1^{n-1} \\ \vdots &&& \vdots \\ 1 & \lambda_n & \lambda_n^2 & \cdots \lambda_n^{n-1} \\ \end{bmatrix}\]をヴァンデルモンド行列(Vandermonde matrix)と呼ぶ。
$f(s) = a_0 + a_1 s + \cdots + a_{n-1} s^{n-1}$ という \(n-1\) 次多項式を考える。
\(f(\lambda_i) = b_i\) for \(i=1, \ldots, n\) という \(n\) 個の等式から \(a_0, \ldots, a_{n-1}\) という定数を決定する問題を考える。 これは \(\{(\lambda_i, b_i) \in \R^2 \mid i = 1, \ldots, n \}\) という \(n\) 点を通る曲線を $n-1$ 次多項式として決定する問題、つまり多項式による曲線補完である。 すると方程式は
\[V(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \begin{bmatrix} a_0 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_0 \\ \vdots \\ b_{n-1} \end{bmatrix}\]とヴァンデルモンド行列で表現される。そこでこの行列が正則かどうか、逆行列はどのように計算されるか、が問題となる。
正則性を調べる一つの方法として、行列式を計算する方法がある。ヴァンデルモンド行列の行列式は次の表式があることが知られている。
\[\det V(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (\lambda_j - \lambda_i)\]よって、\(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) が互いに異なることが、ヴァンデルモンド行列の正則性の必要十分条件となる。
\(\lambda_1, \ldots, \lambda_K\) と \(n_1 + \cdots + n_K = n\) を満たす正の整数 \(n_1, \ldots, n_K\) に対し、 次の \(n \times n\) 行列を合流型ヴァンデルモンド行列(Confluent Vandermonde matrix)と呼ぶ。
\[CV(\lambda_1, \ldots, \lambda_K, n_1, \ldots, n_K) = \begin{bmatrix} 1 & \lambda_1 & \cdots & & & \lambda_1^{n-1}\\ & 1 & 2 \lambda_1 & \cdots & & (n-1)\lambda_1^{n-2}\\ & & \ddots \\ & & & 1 & \cdots & \frac{(n-1)!}{(n-n_1)!} \lambda_1^{n - n_1} \\ 1 & \lambda_2 & \cdots & & & \lambda_2^{n-1} \\ & 1 & 2 \lambda_2 & \cdots & & (n-1)\lambda_2^{n-2}\\ & & \ddots \\ & & & 1 & \cdots & \frac{(n-1)!}{(n-n_2)!} \lambda_2^{n - n_2} \\ & & & \vdots \\ 1 & \lambda_K & \cdots & & & \lambda_K^{n-1} \\ & 1 & 2 \lambda_K & \cdots & & (n-1)\lambda_K^{n-2}\\ & & \ddots \\ & & & 1 & \cdots & \frac{(n-1)!}{(n-n_K)!} \lambda_K^{n - n_K} \\ \end{bmatrix}\]これはヴァンデルモンド行列の一般化で、似たような性質を持っている。詳しくは次を参照： 合流型ヴァンデルモンド行列 。