これは標準的な線形代数の話。 どっちが縦でどっちが横かよく忘れるのでその備忘録。
\(m \times n\) 行列といえば、行数が \(m\) で列数が \(n\) の行列である。 その要素は
\[\begin{array}{ccc} & n列 \\ m行 & \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \end{array}\]と番号付けされる。
また、\(m \times n\) 行列全体からなる集合は、
\[\bk^{m \times n}, M_{m,n}(\bk)\]のように表す。特に \(n \times n\) の正方行列の集合は
\[M_{n}(\bk)\]と表す。
\(m \times n\) 行列を線形写像とみなした場合は、先に現われる \(m\) が行き先 (値域)で、後に現われる \(n\) が出発地 (定義域)で、$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ という線形写像と同一視できる。
2つの抽象ベクトル空間 \(U\), \(V\) があり、その間の線形写像 \(f: U \to V\) を考える。 それぞれの基底が $u_1, \ldots, u_n$、$v_1, \ldots, v_m$、とすると、これらの基底による \(f\) の表現行列 $A$ は
\[(f(u_1), \ldots, f(u_n)) = (v_1, \ldots, v_m) A\]となる \(m \times n\) 行列として定義される。この行列は次のように基底を行列の外側に並べ、内側に係数を置いたものである。
\[\begin{array}{c|ccc|} & u_1 & \ldots & u_n \\ \hline v_1 & A_{11} & \cdots & A_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ v_m & A_{m1} & \cdots & A_{mn} \\ \hline \end{array}\]この関係は \(n\) 個の等式で次のようにも表現できる。
\[\begin{aligned} f(u_1) & = A_{11} v_1 + \cdots + A_{m1} v_m \\ & \vdots \\ f(u_n) &= A_{1n} v_1 + \cdots + A_{mn} v_m \end{aligned}\]上とは少し別の見方として、 \(e^{(n)}_1, \ldots, e^{(n)}_n\) を $\mathbb{R}^n$ の標準的な基底、すなわち
\[e^{(n)}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} , \ldots , e^{(n)}_n = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]とし、\(e^{(m)}_1, \ldots, e^{(m)}_m\) を同様に $\mathbb{R}^m$ の標準的な基底とし、 同型な線形写像 $\phi_U: U \to \mathbb{R}^n, \phi_V: V \to \mathbb{R}^m$ を次を線形拡張したもので定義する：
\[\begin{aligned} \phi_U(u_i) & = e^{(n)}_i \ \ i=1, \ldots, n \\ \phi_V(v_i) & = e^{(m)}_i \ \ i=1, \ldots, m \end{aligned}\]すると、行列 $A$ を \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) と同一視すると、この行列は次の可換図式を満たす唯一の行列として特徴付けられる。
\[\begin{CD} U @>f>> V \\ @V{\phi_U}VV @V{\phi_V}VV \\ \mathbb{R}^n @>A>> \mathbb{R}^m \end{CD}\]