$n \times n$ 行列 $A$ に対し、固有値の集合
\[\sigma(A) = \{ \lambda \in \C \mid \det(\lambda I_n - A) = 0 \}\]をスペクトルと呼ぶ。スペクトルの補集合 $\rho(A) = \C \backslash \sigma(A)$ をレゾルベント集合と呼ぶ。 \(s \in \rho(A)\) ならば \(s I_n - A\) は正則なので、逆行列が定義できる。この逆行列
\[R(s, A) = (s I_n - A)^{-1}\]をレゾルベント(行列)と呼ぶ。
スペクトル半径 \(r(A)\) を
\[r(A) = \lim_{n \to \infty} (\|A^n\|)^{1/n}\]として定義する(これの収束性は後で証明する)。すると \(\|A^n\| \leq \|A\|^n\) より
\[r(A) \leq \|A\|\]が成立することがわかる。
また、スペクトル半径は固有値の絶対値の中で最大のものと一致する。つまり
\[r(A) = \max_{\lambda \in \sigma(A)} \abs{\lambda}\]が成立する。
$|s| > r(A)$ ならば \(s \in \rho(A)\) となりレゾルベントを持ち、 この行列は以下の無限級数で表現できる。
\[\sum_{i=0}^\infty \frac{A^i}{s^{i+1}}\]ジョルダン標準形の証明より、$\C^n$ は次のように分解される。
\[\C^n = \bigoplus_{\lambda \in \sigma(A)} \ker (\lambda I - A)^{n_\lambda}\]\(P_\lambda\) を上の分解に対応する \(\C^n\) から \(\ker (\lambda I - A)^{n_\lambda}\) への射影とし、 任意の \(u \in \C^n\) に対して \(u_\lambda = P_\lambda u\) とする。すると \(u = \sum_{\lambda \in \sigma(A)} u_\lambda\) と分解できる。
このとき、\(\mu = \max_{\lambda \in \sigma(A)} \abs{\lambda}\)、\(R = \max_{\lambda \in \sigma(A)} \|A - \lambda I\|\) と置くと
\[\begin{aligned} \|A^n u\| &= \|A^n(\sum_\lambda u_\lambda)\| = \|\sum_\lambda [(A - \lambda I) + \lambda I]^n u_\lambda\| = \|\sum_\lambda \sum_{i=0}^n (A - \lambda I)^i \lambda^{n-i} u_\lambda\| = \|\sum_\lambda \sum_{i=0}^{n_\lambda - 1} (A - \lambda I)^i \lambda^{n-i} u_\lambda\| \\ &\leq \sum_\lambda \sum_{i=0}^{n_\lambda - 1} \|A - \lambda I\|^i \abs{\lambda}^{n-i} \|u_\lambda\| \\ &\leq \sum_\lambda \sum_{i=0}^{n_\lambda - 1} R^i \mu^{n-i} \|u_\lambda\| = \sum_\lambda \mu^n \frac{1 - (R/\mu)^{n_\lambda}}{1 - (R/\mu)} \|u_\lambda\| = \sum_\lambda \mu^n \frac{1 - (R/\mu)^{n_\lambda}}{1 - (R/\mu)} \|P_\lambda u\| \leq \sum_\lambda \mu^n \frac{1 - (R/\mu)^{n_\lambda}}{1 - (R/\mu)} \|P_\lambda\|\|u\| \ \cdots (*)\\ \end{aligned}\]ここで、
\[C := \max_{\lambda \in \sigma(A)} \frac{1 - (R/\mu)^{n_\lambda}}{1 - (R/\mu)}\|P_\lambda\|\]と置くと、
\[(*) \leq \mu^n C\#\sigma(A) \|u\|\]よって \(u \not = 0\) のとき
\[\frac{\|A^nu\|}{\|u\|} \leq \mu^n C \#\sigma(A)\]なので
\[\|A^n\| \leq \mu^n C \#\sigma(A)\]一方、絶対値最大を実現する固有値を \(\lambda_{\max}\)、この固有値に対応する0でないの固有ベクトルを \(u_{\max}\)、とすると
\[\mu^n\|u_{\max}\| = \abs{\lambda_{\max}^n}\|u_{\max}\| = \|\lambda_{\max}^n u_{\max}\| = \|A^n u_{\max}\| \leq \|A^n\| \|u_{\max}\|\]より \(\mu^n \leq \|A^n\|\) である。よって
\[\mu \leq \|A^n\|^{1/n} \leq \mu (C\cdot \#\sigma(A) )^{1/n}\]より \(n \to \infty\)とすると
\[\|A^n\|^{1/n} \to \mu\]が示される。
まず、\(\sum_{i=0}^n A^i / s^{i+1}\) が \(n\) に関してコーシー列であることを示す。 \(n < m\) に対して
\[\|\sum_{i=0}^m A^i / s^{i+1} - \sum_{i=0}^n A^i / s^{i+1}\| = \|\sum_{i=n+1}^m A^i / s^{i+1} \| \leq \sum_{i=n+1}^m \|A^i\| / \abs{s}^{i+1}\]ここで \(\|A^i\|^{1/i} \to r(A)\) より \(\|A^i/s^i\|^{1/i} \to r(A)/s < 1\)、よって適当な \(0 < r < 1\) が存在し、十分大きな \(n\) に対し \(i > n\) ならば \(\|A^i/s^i\|^{1/i} < r\) が成立する。つまり \(\|A^i/s^i\| < r^i\) なので
十分大きな \(n\) に対して
\[\sum_{i=n+1}^m \|A^i\| / \abs{s}^{i+1} = \frac{1}{\abs{s}} \sum_{i=n+1}^m r^i = \frac{1 - r^{m-n}}{sr^{n+1}(1 - r)}\]この右辺は \(n \to \infty\) で 0 に収束するので目標の列はコーシー列であることがわかり、無限級数は収束することがわかる。
そこでこの収束先が \(sI - A\) の逆行列であることを示す。そのため \((s I - A) \sum_{i=0}^n A^i / s^{i+1}\) を計算する。
\[(s I - A) \sum_{i=0}^n A^i / s^{i+1} = \sum_{i=0}^n A^i / s^{i} - \sum_{i=0}^n A^{i+1} / s^{i+1} = A^0/s^0 - A^{n+1} / s^{n+1} = I - A^{n+1} / s^{n+1}\]\(\|A^{n+1}\| / \abs{s}^{n+1} \to 0\) であるため、この右辺は \(I\) に収束する。つまり
\[(s I - A) \sum_{i=0}^\infty A^i / s^{i+1} = I\]である。逆順の積も同様に単位行列であることがわかり、
\[(sI - A)^{-1} = \sum_{i=0}^\infty A^i/s^{i+1}\]が示された。