指数行列

正方行列 $A$ に対する指数行列を次で定義する。

\[\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} A^k\]

この行列は $e^A$ もしくは $\exp A$ と表現する。

収束性

この行列無限級数は任意の行列 $A$ で収束する。

証明には行列のノルムにおける劣乗法性と、絶対収束する行列無限級数の収束性を用いる。

\[\sum_{k=0}^\infty \|\frac{1}{k!} A^k\| \leq \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \|A\|^k = e^{\|A\|}\]

よりOK。この不等式より $\|e^A\| \leq e^{\|A\|}$ もわかる。

指数行列は指数関数と異なり $e^{A}e^{B} = e^{A+B}$ が常には成立しない。これが成立するためには $A$ と $B$ の可換性 $AB = BA$ が必要となる。

これの特別の場合として、$s, t \in \R$ のとき $e^{sA}e^{tA} = e^{(s+t)A}$ が成立する。

$O$ を $n \times n$ の零行列とすると、$e^O = I_n$ である。これは定義より自明であろう。

$e^A$ は常に正則で、逆行列は $e^{-A}$ と表せる。

これは、$A$ と $-A$ が可換であることを用いて、$e^{-A}e^{A} = e^Ae^{-A} = e^O = I$ よりわかる。

指数行列は線形微分方程式と深い関係がある。 $n \times n$ 行列 $A$ に対して次の $n$ 次元の線形微分方程式を考える：

\[\frac{dx}{dt} = Ax\]

ただし $x \in \R^n$ で初期条件は $x(0) = x_0$ とする。

すると、$t \in \R$ に対して $x(t) = e^{tA} x_0$ はこの微分方程式の解となる。