\((\mathcal{F}_n)\) をフィルトレーションとする。 r.v. \(\tau\) が \((\mathcal{F}_n)\) に対する 停止時刻(stopping time) であるとは、次の2つを満たす場合を言う。
- \(\tau\) は非負の整数値もしくは \(+\infty\) を値として取る
- \(\forall n \geq 0\) に対して \(\{\tau = n \} \in \mathcal{F}_n\)
ドゥーブの最適停止定理#
\((X_n)_{n \geq 1}\) を \((\mathcal{F}_n)_{n \geq 1}\) に関する劣マルチンゲール、\(\tau, \sigma\) を停止時刻とする。 もし、\(\tau \leq \sigma\) かつ \(\tau, \sigma\) が有界、すなわち \(\exists K \in \mathbb{N}\) s.t. \(\tau(\omega) \leq \sigma(\omega) \leq K\) for all \(\omega \in \Omega\)、が成立するならば、次の2つが成立する。
- \(E[X_\tau] \leq E[X_\sigma]\)
- \(E[X_\sigma \mid \mathcal{F}_\tau] \geq X_\tau\)
ただし、\(X_\tau\): r.v. は
$$ X_\tau(\omega) = X_{\tau(\omega)}(\omega) \ (\omega \in \Omega), $$で、\(\mathcal{F}_\tau\) : \(\mathcal{F}\) の部分σ-代数、は
$$ \mathcal{F}_\tau = \{ A \in \mathcal{F} \mid \forall n\geq 0, A \cap \{\tau=n\} \in \mathcal{F}_n \} $$で、それぞれ定義される。