確率変数が生成するσ-代数

$\mathbb{R}$-r.v. $X$ によって生成される$\mathcal{F}$の部分σ-代数 $\sigma(X)$ を次のように定義する。

$$ \sigma(X) = \{ X^{-1}(A) \mid A \in \mathcal{B} \} $$

ただし、$\mathcal{B}$は$\mathbb{R}$上のボレル集合族である。$\mathcal{B}$は次のような集合族から生成される

$$ \{ (-\infty, t] \mid t \in \mathbb{R} \} $$

ので、$\sigma(X)$ は次のようにして生成される。

$$ \sigma(X) = \sigma( \{ X^{-1}((-\infty, t]) \mid t \in \mathbb{R} \}) = \sigma( \{ \{ X \leq t \} \mid t \in \mathbb{R} \}) $$

半閉区間でなく、半開区間などでも同様である。$t$ は $\mathbb{R}$上を動かしているが、$\mathbb{Q}$ のような $\mathbb{R}$ の稠密な部分集合を動けば十分である。

$\sigma(X)$ の性質
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以下のような性質がある。

$X$ は $\sigma(X)$-可測である
$\sigma(X)$ は $X$ を可測とする最小のσ-代数である
$X$ が高々可算個の値しか取らない場合は、$\sigma(X)$ は $\Omega$ の $\mathcal{F}$-可測な高々可算な分割によって生成される。すなわち、$\alpha_1, \ldots, $ が $X$ の取り得る値であるとすると、$\{ \{X = \alpha_n\} \}_{n=1,\ldots}$ は $\Omega$ の$\mathcal{F}$-可測な高々可算な分割であって、$\sigma(X) = \sigma(\{ \{X = \alpha_n\} \}_{n=1,\ldots})$ となる。

次の命題が成り立つ。

命題 $Y_1, Y_2$ が次の条件を満たす可積分な $\sigma(X)$-可測r.v.であるとき、$Y_1$ と $Y_2$ はa.s. で一致する。

$$ E[Y_1, \{X \leq t\}] = E[Y_2, \{X \leq t\}] \text{ for all } t \in \mathbb{Q} $$

$\mathbb{Q}$ でなくとも $\mathbb{R}$ の稠密な部分集合であればよい。 $\{ \{ X \leq t\} \mid t \in \mathbb{Q} \}$ がπ-システムであることはすぐわかるので、2つの確率変数が一致する条件の定理が利用できる。