確率変数が生成するσ-代数は複数の確率変数の場合に拡張できる。 さらに確率変数の個数が可算無限個の場合にも拡張できる。
\(X_1, \dots, X_N\) をr.v.とする。このとき、\(X: \Omega \to \mathbb{R}^N\)を
$$ X(\omega) = (X_1(\omega), \ldots, X_N(\omega)) $$で定義すると、\(X\) は \(\mathcal{F}\)-\(\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)\)-可測関数である。そこで、\(\sigma(X_1, \ldots, X_N)\) を
$$ \sigma(X_1, \ldots, X_N) = \{ X^{-1}(B) \mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)\} $$で定義する。
性質#
(1) \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)\) は \(\{ (-\infty, t_1] \times \cdots \times (-\infty, t_N] \mid t_1, \ldots, t_N \in \mathbb{R} \}\), で生成されるので、
$$ \sigma(X_1, \ldots, X_N) = \sigma(\{ \{X_1 \leq t_1\} \cap \cdots \cap \{X_N \leq t_N \} \mid t_1, \ldots, t_N \in \mathbb{R}\}) $$である。
これ以外にも同じσ-代数を生成する集合族として以下のような例が挙げられる。 \(D\) は \(\mathbb{R}\) の稠密な部分集合で、\(\mathbb{Q}\) などが通常は用いられる。
- \(\{\{X_1 \leq t_1\} \cap \cdots \cap \{X_N \leq t_N \} \mid t_1, \ldots, t_N \in D\}\)
- \(\{\{X_{i_1} \leq t_{i_1}\} \cap \cdots \cap \{X_{i_k} \leq t_{i_k} \} \mid 1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq N, t_{i_1}, \ldots, t_{i_k} \in D \}\)
- \(\{ \{X_n \leq t\} \mid 1 \leq n \leq N, t \in D \}\)
(2) 以下の等式が成立する。特に \(\sigma(X_n) \subset \sigma(X_1, \ldots, X_N)\)である。
$$ \sigma(X_1, \ldots, X_N) = \sigma(\sigma(X_1) \cup \cdots \cup \sigma(X_N)) $$証明
$$ \{ \{X_n \leq t\} \mid 1 \leq n \leq N, t \in D \} = \cup_{n=1}^N \{ \{X_n \leq t\} \mid t \in D \} $$であるため、上で挙げた \(\sigma(X_1, \ldots, X_N)\) を生成する集合族の例3を考えると、目標の等式の成立がわかる。
(3) 上の事実より、\(\sigma(X_1, \ldots, X_N)\) は \(X_1, \ldots, X_N\) を可測とする最小のσ-代数である。
可算無限個の場合#
可算無限個 \((X_n)_{n=1}^\infty\) の場合は、無限次元ベクトル空間から考えるのはあまり筋が良くなく、 上の例3から、
$$ \sigma(X_1, \ldots) = \sigma(\{ \{X_n \leq t \} \mid n \geq 1, t \in D \}) $$とするのがよい。
この場合も (2) と同様の命題、つまり
$$ \sigma(X_1, \ldots) = \sigma(\sigma(X_1)\cup \cdots) $$が成立する。