\(\mathcal{G}\)は\(\mathcal{F}\)の部分σ-代数、\(X, Y\)はr.v.で
$$ X \leq Y \text{ (a. s. ) } $$を満たすとする。このとき
$$ E[X \mid \mathcal{G}] \leq E[Y \mid \mathcal{G}] \text{ (a. s.) } $$が成立する。
証明#
測度論の一般論で、次が成り立つ。
命題 \(X, Y\) をr.v.とする。次は同値
- \(X \leq Y\) (a.s.)
- \(\forall A \in \mathcal{F}\) について \(\int_A X dP \leq \int_A Y dP\)
よって、\(\mathcal{G}\)-可測な関数の比較なので次を示せばよい。
$$ \int_A E[X \mid \mathcal{G}] dP \leq \int_A E[Y \mid \mathcal{G}] dP \text{ for all } A \in \mathcal{G} $$この不等式の両辺は条件付き期待値の定義よりそれぞれ
- \(\int_A X dP\)
- \(\int_A Y dP\)
に等しく、\(X \leq Y\) (a. s.) よりこの2つに関し次の不等式が成立するので、目的の不等式が成立する。
$$ \int_A X dP \leq \int_A Y dP $$