π-λ 定理

π-システム
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以下の条件を満たす $\mathcal{F}_0 \subset 2^{\Omega}$ を π-システム と呼ぶ。

$$ A, B \in \mathcal{F}_0 \Rightarrow A \cap B \in \mathcal{F}_0 $$

λ-システム
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以下の条件1,2,3を満たす $\mathcal{D} \subset 2^{\Omega}$ を λ-システム と呼ぶ。

$\Omega \in \mathcal{D}$
$A, B \in \mathcal{D}, A \subset B$ ならば $B \backslash A \in \mathcal{D}$
$A_1 \subset A_2 \subset \cdots \in \mathcal{D}$ ならば $\cup_{n} A_n \in \mathcal{D} $

明らかにσ-代数はλ-システムでもある。

ディンキンの π-λ 定理
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定理
$\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{D} \subset 2^{\Omega}$ に対して、$\mathcal{F}_0$ がπ-システムで $\mathcal{D}$ がλ-システムならば $\sigma(\mathcal{F}_0) \subset \mathcal{D}$ である。

測度の一致定理
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π-λ 定理を用いると次の定理が言える。

定理
$\mathcal{F}_0 \subset 2^{\Omega}$ がπ-システム、$\sigma(\mathcal{F}_0) = \mathcal{F}$ とする。 $\mu, \nu$ が $\mathcal{F}$ 上の測度で次の2つの条件を満たすとき、$\mu = \nu$ である。

$\mu(A) = \nu(A)$ for all $A \in \mathcal{F}_0$
$\mu(\Omega) = \nu(\Omega) < +\infty$

証明
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ディンキンの π-λ 定理の証明
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まず、$\hat{\mathcal{D}}$を次のように定義する。

$$ \hat{\mathcal{D}} = \{\mathcal{D}' \subset 2^{\Omega} \mid \mathcal{D}' \text{ はλ-システム、かつ } \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{D}' \} $$

すると $\mathcal{D} \in \hat{\mathcal{D}}$ なので $\hat{\mathcal{D}}$ は空集合ではない。さらに λ-システムの定義より $\cap \hat{\mathcal{D}}$ はλ-システムなので、$\cap \hat{\mathcal{D}} \in \hat{\mathcal{D}}$ である。つまり、$\cap \hat{\mathcal{D}}$ は $\mathcal{F}_0$ を含む最小のλ-システムである。

そこで、$\mathcal{D}$ をこの最小のλ-システムに取り替えて、その $\mathcal{D}$ に対し $\sigma(\mathcal{F}_0) \subset \mathcal{D}$ を示す。最小性から目標の包含関係が直ちに言えるので、この方法で証明して問題ない。

そこで、$C \in \mathcal{D}$ に対して $\mathcal{D}_C$ を

$$ \mathcal{D}_C = \{D \in \mathcal{D} \mid A \cap D \in \mathcal{D} \} $$

と定義する。次の(1)〜(6) を順番に証明する。

(1) 任意の $C \in \mathcal{D}$ に対して、$\mathcal{D}_C$ はλ-システムである。
∵ 条件1〜3を順番に示す。

$\Omega \cap C = C\in \mathcal{D}$ なので $\Omega \in \mathcal{D}_C$ がわかる
$A, B \in \mathcal{D}_C, A \subset B$ ならば $$ C \cap (A \backslash B) = (C \cap A) \backslash (C \cap B) $$ なので、$A, B \in \mathcal{D}_C$ より $(C \cap A), (C \cap B) \in \mathcal{D}_C$。さらに $\mathcal{D}$ はλ-システムなので右辺 $\in \mathcal{D}$ が得られ $(A \backslash B) \in \mathcal{D}_C$ である。
$A_1 \subset A_2 \subset \cdots \in \mathcal{D}_C$ とすると $$ C \cap (\cup_n A_n) = \cup_n (C \cap A_n) $$ なので、$A_n \in \mathcal{D}_C$ より $C \cap A_n \in \mathcal{D}$。さらに $\mathcal{D}$ はλ-システムなので右辺$\in \mathcal{D}$ が得られ $(\cup_n A_n) \in \mathcal{D}$ である。

(2) $P \in \mathcal{F}_0$ ならば $\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{D}_P $。
∵ $Q \in \mathcal{F}_0$ とすると、$\mathcal{F}_0$ はπ-システムなので

$$ P \cap Q \in \mathcal{F}_0 \subset \mathcal{D} $$

これは $Q \in \mathcal{D}_P$ を意味する。

(3) $P \in \mathcal{F}_0, A \in \mathcal{D}$ ならば $P \cap A \in \mathcal{D}$
∵ (1)(2) より $\mathcal{D}_P$ は $\mathcal{F}_0$ を含むλ-システムであり、$\mathcal{D}_P \subset \mathcal{D}$を満たす。 $\mathcal{D}$ は $\mathcal{F}_0$ を含む最小のλ-システムであるので、$\mathcal{D}_P = \mathcal{D}$ が導かれる。すると、$A \in \mathcal{D} = \mathcal{D}_P$ となり $P \cap A \in \mathcal{D}$ がわかる。

(4) 任意の $A \in \mathcal{D}$ に対し、$\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{D}_C $。
∵$P \in \mathcal{F}_0$ とすると、(3)より

$$ P \cap C \in \mathcal{D} $$

である。これは $P \in \mathcal{D}_C$ を意味する。

(5) $A, B \in \mathcal{D}$ ならば $A \cap B \in \mathcal{D}$
∵(4)の結果より、(3)の議論と同様にして $\mathcal{D}_A = \mathcal{D}$ が導かれる。すると、$B \in \mathcal{D} = \mathcal{D}_A$ となり $A \cap B \in \mathcal{D}$ がわかる。

(6) $\mathcal{D}$ はσ-代数である。
∵以下の1〜3を示す。

(a) $\Omega \in \mathcal{D}$
(b) $A \in \mathcal{D}$ ならば $\Omega \backslash A \in \mathcal{D}$
(c) $A_1, A_2, \cdots \in \mathcal{D}$ ならば $\cup_n A_n \in \mathcal{D}$

(a)はλ-システムの1番目の条件と同じである。 (b)については$A \subset \Omega \in \mathcal{D}$とλ-システムの2番目の条件から言える。

そこで(c)について示すため、まずは次の事実を示す。

事実 $A, B \in \mathcal{D}$ ならば $A \cup B \in \mathcal{D}$
∵

$$ A \cup B = \Omega \backslash (\Omega \backslash (A \cup B)) = \Omega \backslash ((\Omega \backslash A) \cap (\Omega \backslash B)) $$

(b)より$\Omega \backslash A, \Omega \backslash B \in \mathcal{D}$より(5)より

$$ (\Omega \backslash A) \cap (\Omega \backslash B) \in \mathcal{D} $$

である。よってさらに(b)より

$$ \Omega \backslash ((\Omega \backslash A) \cap (\Omega \backslash B)) \in \mathcal{D} $$

が得られる。

最後に(c)を示そう$A_1, A_2, \cdots \in \mathcal{D}$ とする。すると、

$$ B_m = \cup_{n=1}^m A_n $$

とすると上の事実より$B_m \in \mathcal{D}$ である。さらに $(B_m)_{m=1}^\infty$ は明らかに増大列であるのでλ-システムの3番目の条件より

$$ \cup_{n=1}^\infty A_n \cup_{m=1}^\infty B_m \in \mathcal{D} $$

よって示された。

結果として、$\mathcal{D}$ は $\mathcal{F}_0$ を含むσ-代数であるので $\sigma(\mathcal{F}_0) \subset \mathcal{D}$ が導かれる。

測度の一致定理の証明
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$\mathcal{D} \subset 2^{\Omega}$ を次のように定義する。

$$ \mathcal{D} = \{ A \in \mathcal{F} \mid \mu(A) = \nu(A) \} $$

すると $\mathcal{F}_0$ の定義より明らかに $\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{D}$ であるため、$\mathcal{D}$ がλ-システムであることを示したならば π-λ 定理より $\sigma(\mathcal{F}_0) \subset \mathcal{D} $ がわかり、$\mathcal{D} \subset \mathcal{F}$ より $ \mathcal{D} = \mathcal{F} $ が導かれる。これは $\mu = \nu$ を意味する。

そこで$\mathcal{D}$ がλ-システムであることを示す。 $\Omega \in \mathcal{D}$ は条件より明らかである。 $A, B \in \mathcal{D}, A \subset B$ ならば $B \backslash A \in \mathcal{D}$については、

$$ \mu(B \backslash A) = \mu(B) - \mu(A) = \nu(B) - \nu(A) = \nu(B \backslash A) $$

となる。最初の最後の等式は測度一般で成立する等式で、中央の等式は定理の1つ目の条件よりすぐわかる。 3つ目の単調列に対する条件は、$\mu(\Omega), \nu(\Omega) < +\infty$ という条件より測度に関する単調定理、すなわち

$$ A_1 \subset A_2 \subset \cdots \text{ で } \mu(\cup_n A_n) < +\infty \text{ ならば } \mu(\cup_n A_n) = \lim_{n \to +\infty}\mu(A_n) $$

より示される。

π-システム#

λ-システム#

ディンキンの π-λ 定理#

測度の一致定理#

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ディンキンの π-λ 定理の証明#

測度の一致定理の証明#