\((X_n)_{n=1,\ldots}\) を単調なr.v.の列とする。つまり、任意の \(n\) に関して
$$ X_n \leq X_{n+1} \text{ (a. s.) } $$が成立するとする。このとき、測度論における単調収束定理より、\((X_n)_{n=1,\ldots}\) は(\(+\infty\)を含めれば)あるr.v. (\(X_{\infty}\) と表す)に概収束し、次の等式が成り立つ。
\begin{equation} \lim_{n\to \infty} \int_A X_n dP = \int_A X_\infty dP \text{ for all } A \in \mathcal{F} \end{equation}
すると任意の部分σ-代数 \(\mathcal{G}\) に対して次の等式が成立する。
$$ E[X_n \mid \mathcal{G}] \to E[X_\infty \mid \mathcal{G}] \text{ (a. s.) } $$証明#
まず、条件付き期待値の順序の保存より、 \((E[X_n \mid \mathcal{G}])_{n=1}^\infty\)は単調である。 すると上の議論と同様に測度論の単調収束定理より、\(\exists Z\): \(\mathcal{G}\)-可測なr.v. s.t.
\begin{align} E[X_n \mid \mathcal{G}] \to Z \text{ (a. s.), as } n \to \infty \ \lim_{n\to\infty} \int_A E[X_n \mid \mathcal{G}] dP = \int_A Z dP \text{ for all } A \in \mathcal{G} \end{align}
ここで、\(A \in \mathcal{G}\)ならば条件付き期待値の定義より
\begin{equation} \int_A E[X_n \mid \mathcal{G}] dP = \int_A X_n dP \end{equation}
であるので、(1)(3)(4)より
$$ \int_A X_\infty dP = \int_A Z dP $$がすべての \(\mathcal{G}\)-可測集合 \(A\) で成立する。\(Z\) は \(\mathcal{G}\)-可測なr.v.であるので、条件付き期待値の定義より
$$ Z = E[X_\infty \mid \mathcal{G}] \text{ (a. s.)} $$である。