\((\mathcal{F}_n)_{n \geq 1}\) をフィルトレーション、\((X_n)_{n \geq 1}\) をr.v.の列とする。 次の条件を満たすとき、\((X_n)_{n\geq 1}\) はフィルトレーション \(\mathcal{F}\) に関するマルチンゲールであるという。
- 各 \(X_n\) は \(\mathcal{F}_n\)-可測
- 各 \(X_n\) は可積分。つまり \(E[\|X_n\|] < +\infty\)
- すべての \(n\geq 1\) に対し、 \(E[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = X_n\) が成立する
条件3の等号が \(\geq\) に置き換わった場合には劣マルチンゲール、\(\leq\) に置き換わった場合は優マルチンゲールと呼ぶ。
劣マルチンゲール収束定理#
マルチンゲールに関しては次の劣マルチンゲール収束定理が重要である。
定理
\((X_n)_{n\geq 1}\) はフィルトレーション \(\mathcal{F}\) に関する劣マルチンゲールであるとする。 \((X_n)_{n\geq 1}\) が上に一様有界である、つまり
$$ \sup_{n} E[X_n^+] < \infty $$とすると、r.v.の列 \((X_n)_n\) はあるr.v. \(X_\infty\) に概収束する。 さらにその \(X_\infty\) は可積分である。つまり \(E[\lvert X_n\rvert] < \infty\) である。
ドゥーブの最適停止定理#
停止時刻に関する定理。