条件付き期待値は以下の線形性を満たす。
$$ E[aX + bY \mid \mathcal{G}] = aE[X \mid \mathcal{G}] + bE[Y \mid \mathcal{G}] $$ただし、\(X, Y\)は\(\mathbb{R}\)値r.v.で、\(a, b \in \mathbb{R}\)、\(\mathcal{G}\)は\(\mathcal{F}\)の部分σ-代数である。
- 値が実でなくとも複素でも同様のことが言える
- r.v. がベクトル値の場合も同様のことが言える
証明#
\(\forall A \in \mathcal{G}\)に対して
$$ \int_A E[aX + bY \mid \mathcal{G}] dP = \int_A aE[X \mid \mathcal{G}] + bE[Y \mid \mathcal{G}] dP $$が言えればよい。
$$ \begin{aligned} \text{(左辺)} & = \int_A (aX + bY) dP = aE[X] + bE[Y] \\ \text{(右辺)} & = a \int_A E[X \mid \mathcal{G}] dP + b \int _A E[Y \mid \mathcal{G}] dP = a \int_A X dP + b \int_A Y dP = aE[X] + bE[Y] \end{aligned} $$で両辺は一致する。