\(\mathcal{G}\) を \(\mathcal{F}\) の部分σ-代数、 \(X, Y\)はr.v.とする。 \(X\)が\(\mathcal{G}\)-可測なr.v.の場合、次が成立する。
$$ E[X Y \mid \mathcal{G}] = X E[Y \mid \mathcal{G}] \text{ a. s. } $$特に\(Y \equiv 1\)である場合、定値確率変数の条件付き確率は定値という事実を用いると次が成立する。
$$ E[X \mid \mathcal{G}] = X \text{ a. s. } $$証明#
次の4段階で証明する。
- \(X\) が \(\mathcal{G}\)-可測集合の指示関数である場合。すなわち\(\exists B \in \mathcal{G}\) s.t. \(X = \mathbf{1}_B\)
- \(X\) が \(\mathcal{G}\)-可測集合の指示関数の線形結合で表せる場合
- \(X\) が非負r.v.である場合
- 一般の場合
Step 1. \(X\) が \(\mathcal{G}\)-可測集合の指示関数である場合#
両辺は \(\mathcal{G}\)-可測なので、
\begin{equation} \int_A E[X Y \mid \mathcal{G}] dP = \int_A X E[Y \mid \mathcal{G}] dP \text{ for all } A \in \mathcal{G} \end{equation}
を示せばよい。この場合は、
$$ \begin{aligned} \text{((1)の左辺)} & = \int_A XY dP = \int_A \mathbf{1}_B Y dP = \int_{A \cap B} Y dP \\ \text{((1)の右辺)} & = \int_A \mathbf{1}_B E[Y \mid \mathcal{G}] dP = \int_{A \cap B} E[Y \mid \mathcal{G}] dP = \int_{A \cap B} Y dP \end{aligned} $$より、(1)の両辺が等しいことがわかる。
Step 2. \(X\) が \(\mathcal{G}\)-可測集合の線形和である場合#
この場合は、\(\exists B_1, \ldots, B_n, \alpha_1, \ldots, \alpha_n\), s.t.
$$ X = \sum_{i=1} \alpha_i \mathbf{1}_{B_i} $$であるため、
$$ \begin{aligned} E[XY \mid \mathcal{G}] &= E[(\sum_i \alpha_i \mathbf{1}_{B_i}) Y \mid \mathcal{G}] \cdots (a)\\ &= \sum_i \alpha_i E[\mathbf{1}_{B_i} Y \mid \mathcal{G}] \cdots (b)\\ &= \sum_i \alpha_i\mathbf{1}_{B_i} E[Y \mid \mathcal{G}] \cdots (c)\\ &= X E[Y \mid \mathcal{G}] \end{aligned} $$となり等式が等しいことがわかる。(a) → (b)では条件付き期待値の線形性を、(b)→(c)ではStep 1を用いている。
Step 3. \(X, Y\) がともに非負r.v.である場合#
この場合、\(X\)を指示関数の線形和(このような関数は単関数と呼ばれる)の単調増大極限で表される(単関数近似)。 すなわち、\((X_n)_{n=1}^\infty\)を単関数の単調増大列で、\(X_n \nearrow X\) (a. s. )を満たすものとする。 このとき次が成立する。
- \(X_n \nearrow X\)であるため、\((X_n Y)_{n=1}^\infty\) は単調増大列であり、\(XY\) に概収束する。 よって条件付き期待値の単調収束定理より \(E[X_n Y \mid \mathcal{G}] \nearrow E[XY \mid \mathcal{G}]\)
- \(X_n\) は単関数であるので、Step. 2より \(E[X_n Y \mid \mathcal{G}] = X_n E[Y \mid \mathcal{G}]\)
よって、
$$ E[XY \mid \mathcal{G}] = \lim_{n\to \infty} E[X_n Y \mid \mathcal{G}] = \lim_{n \to \infty} X_n E[Y \mid \mathcal{G}] = X E[Y \mid \mathcal{G}] $$が成立する。
Step. 4 一般の場合#
\(X, Y\)を正の部分と負の部分に分ける。つまり \(X = X^+ - X^-\)、\(Y = Y^+ - Y^-\)と分け、\(XY = X^+Y^+ - X^+Y^- - X^-Y^+ + X^-Y^-\) と分けることで、Step 3と条件付き期待値の線形性を用いて目的の等式が示せる。