\(\pi \in S_N\): 置換に対し、座標入れ替え写像 \(\phi_{\pi}: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N\) を
$$ \phi_{\pi}(x_1, \ldots, x_N) = (x_{\pi(1)}, \ldots, x_{\pi(N)}) $$で定義する。\(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)\) が対称であるとは \(\forall \pi \in S_N\) に対し \(\phi_{\pi}(B) = B\) が成立することである。
\(X_1, \ldots, X_N\) から生成される交換可能σ-代数を次の \(\mathcal{E}\) で定義する。
$$ \begin{aligned} \hat{\mathcal{E}}_N &= \{ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N) \mid B \text{ は対称 } \} \\ \mathcal{E} &= \{ (X_1, \ldots, X_N)^{-1}(B) \mid B \in \hat{\mathcal{E}}_N \} \end{aligned} $$定義の妥当性#
\(\hat{\mathcal{E}_N}\) がσ-代数であることがわかれば、\(\mathcal{E}\) はσ-代数の可測関数による引き戻しなので、これもσ-代数であることがわかる。 そこで \(\hat{\mathcal{E}_N}\) がσ-代数であることを示す。
- \(\emptyset \in \hat{\mathcal{E}_N}\) は明らか
- \(B \in \hat{\mathcal{E}}_N\) のとき、\(\mathbb{R}^N \backslash B \in \hat{\mathcal{E}}_N\) を示す。 \(\forall \pi \in S_N\) を固定する。 \((x_1, \ldots, x_N) \in \mathbb{R}^N \backslash B\) ⇔ \((x_1, \ldots, x_N) \not\in B\) ⇔ \((x_{\pi(1)}, \ldots, x_{\pi(N)}) \not\in B\) ⇔ \((x_{\pi(1)}, \ldots, x_{\pi(N)}) \in \mathbb{R}^N \backslash B\) よりわかる。
- \(B_i \in \hat{\mathcal{E}}_N\) for \(i=1,\ldots\) のとき、 \(\cup_i B_i \in \hat{\mathcal{E}}_N\) を示す。 これは、\((x_1, \ldots, x_N) \in \cup_i B_i\) ⇔ \(\exists i\) s.t. \((x_1, \ldots, x_N) \in B_i\) という事実から簡単にわかる。
基本的性質#
- \(\hat{\mathcal{E}}_N \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)\) であるため、\(\mathcal{E} \subset \sigma(X_1, \ldots, X_N)\) である。
交換可能σ-代数での条件付け#
\(X_1, \ldots, X_N\) を交換可能なr.v.、 \(\mathcal{E}\) を上で定義した交換可能σ-代数とすると、\(\forall i, j\) に対し
$$ E[X_i \mid \mathcal{E}] = E[X_j \mid \mathcal{E}] $$が成立する。
証明#
この等式を示すには、2つの確率変数が一致する条件 より、
$$ E[X_i , A] = E[X_j , A] \ \forall A \in \mathcal{E} $$を示せばよい。そこで、\(i < j\) として \(A \in \mathcal{E}\) を任意に取る。すると \(\mathcal{E}\) の定義より \(A = (X_1, \ldots, X_N)^{-1}(B)\) となる対称な \(B \in \hat{\mathcal{E}}_N\) が存在する。すると、
$$ \begin{aligned} E[X_i, A] & = \int X_i \mathbf{1}_A dP \\ &= \int X_i \mathbf{1}_{(X_1, \ldots, X_N)^{-1}(B)} dP \\ &= \int X_i \mathbf{1}_B(X_1, \ldots, X_N) dP \\ &= \int X_i \mathbf{1}_B(X_1, \ldots, X_i, \ldots, X_j, \ldots, X_N) dP \ \cdots (a) \\ &= \int X_j \mathbf{1}_B(X_1, \ldots, X_j, \ldots, X_i, \ldots, X_N) dP \ \cdots (b) \\ &= \int X_j \mathbf{1}_B(X_1, \ldots, X_i, \ldots, X_j, \ldots, X_N) dP \ \cdots (c) \\ &= \int X_j \mathbf{1}_{(X_1, \ldots, X_N)^{-1}(B)} dP \\ &= \int X_j \mathbf{1}_A dP = E[X_j, A] \end{aligned} $$(a)と(b)の等式は確率変数の交換可能性の期待値による特徴付けから、 (b)と(c)の等式は \(B\) が対称であることから導かれる。
対称な関数を経由して生成されるσ-代数#
\(\psi: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^M\) を対称なBorel可測写像(関数)、つまり \(\forall \pi \in S_N\) と \(\forall x_1 \ldots x_N \in \mathbb{R}\) に対して
$$ \psi(x_1, \ldots, x_N) = \psi(x_{\pi(1)}, \ldots, x_{\pi(N)}) $$が成立する写像とする。このとき、\(X_1, \ldots, X_N\) ：r.v. に対して
$$ \sigma(\psi(X_1, \ldots, X_N)) \subset \mathcal{E} $$が成立する。
証明#
\((\psi(X_1, \ldots, X_N))^{-1}(B) = (X_1, \ldots, X_N)^{-1}(\psi^{-1}(B))\) であるため、 任意の \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^M)\) に対して \(\psi^{-1}(B) \in \hat{\mathcal{E}}_N\) を示せばよい。そこで、 \(\forall \pi \in S_N\) に対して、
$$ \begin{aligned} & (x_1, \ldots, x_N) \in \psi^{-1}(B) \\ \Leftrightarrow & \ \psi(x_1, \ldots, x_N) \in B \ \cdots (a)\\ \Leftrightarrow & \ \psi(x_{\pi(1)}, \ldots, x_{\pi(N)}) \in B \ \cdots (b) \\ \Leftrightarrow & \ (x_{\pi(1)}, \ldots, x_{\pi(N)}) \in \psi^{-1}(B) \end{aligned} $$(a)と(b)の間の同値性は \(\psi\) の対称性から得られる。
交換可能σ-代数を生成する確率変数#
- \(X_1, \ldots X_N\) が \(\\{0, 1\\}\)-値確率変数(ベルヌーイ変数)である場合、 \(X_1 + \cdots + X_N\) は交換可能σ-代数を生成する。
- \(g: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N\) を \(N\) 個の実数を昇順に並べる写像であるとすると、 順序統計量 \(g(X_1, \ldots, X_N)\) は一般の確率変数に対して交換可能σ-代数を生成する。
- 経験分布、つまり \(\mathcal{M}(\mathbb{R})\)-値r.v. \(\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \delta_{X_n}\) は一般の確率変数に対して交換可能σ-代数を生成する。
どれも上で説明した対称な関数を経由して生成されるので、\(\sigma(S_N) \subset \mathcal{E}, \sigma(g(X_1, \ldots, X_N)) \subset \mathcal{E}\) などはわかる。逆の包含関係が問題となる。
順序統計量#
まずは2.の場合を考える。このときは、 \(\\{g^{-1}(B) \mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)\\} = \hat{\mathcal{E}}_N\) を示すことができる。 \(\subset\) は上の証明で示されているので \(\supset\) を示せばよい。 そこで \(B \in \hat{\mathcal{E}}_N\) であるとき、 \(g^{-1}(g(B)) = B\) であることを示せば \(\supset\) の包含関係が示される。
\(g^{-1}(g(B)) \supset B\) は写像の逆像に関する標準的な包含関係であるので、\(g^{-1}(g(B)) \subset B\) を示せばよい。 そこで \((x_1, \ldots, x_N) \in g^{-1}(g(B))\) と置くと、\(g(x_1, \ldots, x_N) \in g(B)\) である。 よって \(\exists (y_1, \ldots, y_N)\) s.t.
\begin{equation} g(x_1, \ldots, x_N) = g(y_1, \ldots, y_N) \end{equation}
が成立する。 そこで、\(x_1, \ldots, x_N\) および \(y_1, \ldots, y_N\) を昇順に並べかえるための置換をそれぞれ \(\pi, \tau \in S_n\) とおく。すなわち、
$$ \begin{aligned} x_{\pi(1)} &\leq \cdots \leq x_{\pi(N)} \\ y_{\tau(1)} &\leq \cdots \leq y_{\tau(N)} \end{aligned} $$となるようにすると、(1) より
$$ x_{\pi(1)} = y_{\tau(1)}, \ldots, x_{\pi(N)} = y_{\tau(N)} $$が得られる。これは
$$ x_1 = y_{\pi^{-1} \circ \tau(1)}, \ldots, x_N = y_{\pi^{-1} \circ \tau(N)}, $$を意味するので、\(\pi^{-1} \circ \tau \in S_n\) と \((y_1, \ldots, y_N) \in B\), さらに \(B\) が対称であることより
$$ (x_1, \ldots, x_N) = (y_{\pi^{-1} \circ \tau(1)}, \ldots, y_{\pi^{-1} \circ \tau(N)}) \in B $$である。これで示された。
総和(平均)#
1.の場合について考える。この場合、\(\psi: \{0, 1\}^N \to \{0, \ldots, N\}\) を
$$ \psi(x_1, \ldots,x_N) = \sum_{n=1}^N x_n $$と定義すると、\(X_1 + \cdots + X_N = \psi(X_1, \ldots, X_N)\) であるため、\(\sigma(X_1 + \cdots + X_N)\) は
$$ \{ (X_1, \ldots, X_N)^{-1}(\psi^{-1}(B)) \mid B \in \mathcal{B}(\{0, \ldots, N\}) \} $$と表される。一方、\(\hat{\mathcal{E}}_N\) の定義より
$$ \hat{\mathcal{E}}_N = \{ B \in \mathcal{B}(\{0, 1\}^N) \mid B \text{ は対称} \} $$とも表せるので、順序統計量の証明と同様に
$$ \hat{\mathcal{E}}_N = \{ \psi^{-1}(B) \mid B \in \mathcal{B}(\{0, \ldots, N\}) \} $$を示せばよい。\(\supset\) はこの右辺が対称な関数を経由して生成されるσ-代数であるのでよく、\(\subset\) を示せばよい。 やはり順序統計量の場合の証明と同様に、\(A \in \mathcal{B}(\{0, 1\}^N)\) ならば \(A = \psi^{-1}(\psi(A))\)、を示す。 \(\subset\) は写像の逆像の一般論からわかるので \(\supset\) を示す。
$$ \begin{aligned} \mathcal{B}(\{0, 1\}^N) &= 2^{\{0, 1\}^N} \\ \end{aligned} $$に注意して、\(A \subset \\{0, 1\\}^N\) であるので、\((x_1, \ldots, x_N) \in \psi^{-1}(\psi(A))\) とすると、 \(\psi(x_1, \ldots, x_N) \in \psi(A)\)。よって \(\exists (y_1, \ldots, y_N) \in A\) s.t.
$$ \psi(x_1, \ldots, x_N) = \psi(y_1, \ldots, y_N) $$すると \(\sum_{n=1}^N x_n = \sum_{n=1}^N y_n\) と総和が等しい。ここで \(x_n, y_n\) が0か1のどちらかであるので、この総和は「\(x_1, \ldots, x_N\) に含まれる 1 の個数」に等しい(これは0/1でないと成り立たない)。 \(y_n\) のほうも同様である。 よって、適当な置換 \(\pi\in S_N\) によって
$$ (x_1, \ldots, x_N) = (y_{\pi(1)}, \ldots, y_{\pi(N)}) $$と並び換えで一致する。\((y_1, \ldots, y_N) \in A\) で \(A\) は対称なので、これは \(A\) に含まれる。すなわち \((x_1, \ldots, x_N) \in A\) であり、証明したいことが示された。
注 ベルヌーイ変数の場合、 \(\sigma(X_1, \ldots, X_N)\) は
$$ \{\{X_1 = x_1\} \cup \cdots \{X_N = x_N\} \mid x_1, \ldots, x_N \in \{0, 1\} \} $$という分割から生成されるので、\(\mathcal{E}\) はこれより荒い分割から生成される。 具体的にはこの分割は \(\\{X_1 + \cdots + X_N = k \mid 0 \leq k \leq N\\}\) である。
経験分布#
3の経験分布については、\(h: \mathcal{M}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^N\) を以下の写像で定義する：
$$ \begin{aligned} h(\mu) & = (h_{1}(\mu), \ldots, h_{N}(\mu)) \\ h_n(\mu) &= \inf\{ x \in \mathbb{R} \mid \mu((-\infty, x]) \geq n / N \} \end{aligned} $$すると \(\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathcal{M}(\mathbb{R})\) をデータから経験分布を構成する写像、すなわち
$$ \varphi(x_1, \ldots, x_N) = \frac{1}{n} \sum_{n=1}^N \delta_{x_n} $$とすると、
$$ \begin{aligned} g & = h \circ \varphi \\ \varphi & = \varphi \circ g \end{aligned} $$であるので、順序統計量が交換可能σ-代数を生成することを経由して経験分布も交換可能σ-代数を生成することが導かれる。