r.v \(X_1, \ldots, X_N\) が 交換可能 (exchangeable) であるとは、任意の置換 \(\pi \in S_N\) に対して、 \((X_1, \ldots, X_N)\) と \(X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)}\) の分布(像測度)等しいこと、すなわち
$$ (X_1, \ldots, X_N)_* P = (X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)})_* P $$であることである。
独立同分布ならば交換可能#
\(X_1, \ldots, X_N\) が i.i.d. (独立同分布) ならば交換可能である。
証明 独立性より、
$$ (X_1, \ldots, X_N)_* P = (X_1)_*P \times \cdots \times (X_N)_*P $$同分布より
$$ (X_i)_*P = (X_j)_*P \text{ for all } 1 \leq i, j \leq N $$この2つより示される。
期待値による交換可能性の特徴付け#
\(X_1, \ldots, X_N\) が交換可能であることと、次は同値。
- \(\forall \pi \in S_n\)、\(\forall g: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}\): Borel可測、に対して \(E[g(X_1, \ldots, X_N)] = E[g(X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)})]\)
証明
(⇒)
$$ \begin{aligned} E[g(X_1, \ldots, X_N)] &= \int g(X_1, \ldots, X_N) dP \\ &=\int g(x_1, \ldots, x_N) (X_1, \ldots, X_N)_*P(dx_1 \cdots dx_N) \\ &=\int g(x_1, \ldots, x_N) (X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)})_*P(dx_1 \cdots dx_N) \\ &=\int g(X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)}) dP \\ &= E[g(X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)})] \end{aligned} $$(⇐) \(\forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)\) に対し、
$$ (X_1, \ldots, X_N)_*P(A) = (X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)})_*P(A) $$を示せばよい。左辺は
$$ P((X_1, \ldots, X_N) \in A) $$と等しく、これは
$$ \int \mathbf{1}_A(X_1, \ldots, X_N) dP $$に等しく、\(\mathbf{1}_A\) はBorel可測なので
$$ \int \mathbf{1}_A(X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)}) dP = (X_{\pi(1)}, \ldots, X_{\pi(N)})_*P(A) $$と等しい。