\(\mathcal{G}_0\) が \(\mathcal{F}\) と適合的な \(\Omega\) の高々加算な分割であり、分割の各要素は確率が正であるとする。つまり、
$$ \begin{aligned} \mathcal{G}_0 &\subset \mathcal{F} \text{ (これが適合的の定義)}\\ \mathcal{G}_0 &= (A_n)_{n=1,\ldots} \\ m \not = n & \text{ ならば } A_n \cap A_m = \emptyset \\ \cup_{n} A_n & = \Omega \\ P(A_n) & > 0 \end{aligned} $$とする。このとき、\(\mathcal{G} = \sigma(\mathcal{G}_0)\) と置くと、\(\mathcal{G}\) は \(\mathcal{G}_0\) の高々可算個の和集合の集まりとなる。つまり:
$$ \mathcal{G} = \{ A_{i_1} \sqcup A_{i_2} \sqcup \cdots \mid i_1 < i_2 < \ldots \} \cup \{ \emptyset \}. $$このとき、r.v. \(X\) の \(\mathcal{G}\) に関する条件付き期待値は次のように表される。
\begin{equation} E[X \mid \mathcal{G}] = \sum_n \frac{E[X, A_n]}{P(A_n)} \mathbf{1}_{A_n} \end{equation}
証明#
\(X\) が非負の場合に示せば、\(X = X^+ - X^-\) と正負に分ければ一般の場合に証明できる。 そのため \(X\) が非負の場合にのみ示せば十分。
(1) の右辺は \(\mathcal{G}\)-可測であることは明らかなので、\(\forall B \in \mathcal{G}\) に対し
\begin{equation} \int_B E[X \mid \mathcal{G}] dP = \int_B \sum_n \frac{E[X, A_n]}{P(A_n)} \mathbf{1}_{A_n} dP \end{equation}
を示せばよい。\(B\) は空でない限り
$$ B = A_{i_1} \sqcup A_{i_2} \sqcup \cdots $$と直和で表わされるので、(2)を示すためにはルベーグ積分の領域可算直和に関する性質より次の等式を \(\forall j\) で示せばよい:
\begin{equation} \int_{A_{i_j}} E[X \mid \mathcal{G}] dP = \int_{A_{i_j}} \sum_n \frac{E[X, A_n]}{P(A_n)} \mathbf{1}_{A_n} dP \end{equation}
(3) の左辺は条件付き期待値の定義より次に等しい:
\begin{equation} \int_{A_{i_j}} X dP = E[X, A_{i_j}] \end{equation}
(3) の右辺はルベーグ積分の単調収束定理より次に等しい:
\begin{equation} \sum_n \frac{E[X, A_n]}{P(A_n)} \int_{A_{i_j}} \mathbf{1}_{A_n} dP \end{equation}
\(\int_{A_{i_j}} \mathbf{1}_{A_n} dP\) は \(A_{i_j} = A_n\) である場合のみ正で、それ以外では0であるので(5)は
\begin{equation} \frac{E[X, A_{i_j}]}{P(A_{i_j})} \int_{A_{i_j}} \mathbf{1}_{A_{i_j}} dP = \frac{E[X, A_{i_j}]}{P(A_{i_j})} P(A_{i_j}) = E[X, A_{i_j}] \end{equation}
と等しい。(4)と(6)が一致するので(3)が成立する。