\(\mathcal{G}\) を \(\mathcal{F}\) の部分σ-代数とする。 \(X\)を定値確率変数、つまり\(X = \alpha \in \mathbb{R}\) (a. s.) とする(これはもちろん\(\mathcal{F}\)可測でも\(\mathcal{G}\)可測でもある)。
このとき、\(X\) の \(\mathcal{G}\) に関する条件付き期待値は定値確率変数 \(\alpha\) である。すなわち、
$$ E[X \mid \mathcal{G}] = \alpha \text{ (a. s.)} $$証明#
\(\forall A \in \mathcal{G}\) に対して、
$$ \int_A E[X \mid \mathcal{G}] dP = \int_A X dP = \int_A \alpha \; dP $$よりわかる。