\(\mathcal{G}_1 \subset \mathcal{G}_2\) を包含関係にある2つの部分 \(\mathcal{F}\) σ-代数、\(X\) をr.v.とする。 このとき次の等式が成立する。
$$ E[E[X \mid \mathcal{G}_2] \mid \mathcal{G}_1] = E[X \mid \mathcal{G}_1] \text{ a. s. } $$証明#
$$ \int_A E[E[X \mid \mathcal{G}_2] \mid \mathcal{G}_1]dP = \int_A E[X \mid \mathcal{G}_1] dP \text{ for all } A \in \mathcal{G}_1 $$を示せばよい。まず条件付き期待値の定義より
$$ \begin{aligned} \text{(左辺)} & = \int_A E[X \mid \mathcal{G}_2] dP \\ \text{(右辺)} & = \int_A X dP \end{aligned} $$が成立する。次に、\(A \in \mathcal{G}_1 \subset \mathcal{G}_2\)より、条件付き期待値の定義を再び用いて
$$ \int_A E[X \mid \mathcal{G}_2] dP = \int_A X dP $$が成立する。よって左辺と右辺が等しいことがわかる。
逆向きの場合#
包含関係の向きが逆の場合、つまり \(\mathcal{G}_2 \subset \mathcal{G}_1\) の場合は
$$ E[E[X \mid \mathcal{G}_2] \mid \mathcal{G}_1] = E[X \mid \mathcal{G}_2] \text{ a. s. } $$が成立する。これは \(\mathcal{G}_2 \subset \mathcal{G}_1\) と \(E[X \mid \mathcal{G}_2]\) が \(\mathcal{G}_2\)-可測 であることより、\(E[X \mid \mathcal{G}_2]\) は \(\mathcal{G}_1\)-可測であることと、\(\mathcal{G}\)-可測な確率変数の条件付き期待値は元の確率変数と一致することよりわかる。