確率論覚え書き
この文書群は測度論的確率論、特に条件付き期待値とフィルトレーション、マルチンゲールなどの数学に関する覚え書きです。 条件付き期待値はちまちまとした証明や命題が必要で、どうにも忘れがちなので覚え書きとして作ったものです。
これらの文書において、常に確率空間は \((\Omega, \mathcal{F}, P)\)で表すこととします。
確率変数の一致#
確率変数が生成するσ-代数について#
条件付き期待値#
交換可能性#
マルチンゲール (Martingale)#
記号#
\(x \in \mathbb{R}\) に対して、\(x^+\)、\(x^-\) を
$$ \begin{aligned} x^+ & = \max \{0, x \} \\ x^- & = \max \{0, -x \} \end{aligned} $$と定義する。すると
- \(x^+, x^- \geq 0\) 。
- \(x = x^+ - x^-\) 。
- \(x \geq 0\) ならば \(x = x^+\)、\(x \leq 0\) ならば \(x = x^-\)
を満たす。特に関数に関して考えると意味がある。 また、\(x \mapsto x^+\), \(x \mapsto x^-\)という写像はともに単調非減少で下に凸である。