\(\lambda_1, \ldots, \lambda_K\) と \(n_1 + \cdots + n_K = n\) を満たす正の整数 \(n_1, \ldots, n_K\) に対し、 次の \(n \times n\) 行列を合流型ヴァンデルモンド行列(Confluent Vandermonde matrix)と呼ぶ。
$$ CV(\lambda_1, \ldots, \lambda_K, n_1, \ldots, n_K) = \begin{bmatrix} 1 & \lambda_1 & \cdots & & & \lambda_1^{n-1}\\ & 1 & 2 \lambda_1 & \cdots & & (n-1)\lambda_1^{n-2}\\ & & \ddots \\ & & & 1 & \cdots & \frac{(n-1)!}{(n-n_1)!} \lambda_1^{n - n_1} \\ 1 & \lambda_2 & \cdots & & & \lambda_2^{n-1} \\ & 1 & 2 \lambda_2 & \cdots & & (n-1)\lambda_2^{n-2}\\ & & \ddots \\ & & & 1 & \cdots & \frac{(n-1)!}{(n-n_2)!} \lambda_2^{n - n_2} \\ & & & \vdots \\ 1 & \lambda_K & \cdots & & & \lambda_K^{n-1} \\ & 1 & 2 \lambda_K & \cdots & & (n-1)\lambda_K^{n-2}\\ & & \ddots \\ & & & 1 & \cdots & \frac{(n-1)!}{(n-n_K)!} \lambda_K^{n - n_K} \\ \end{bmatrix} $$これはヴァンデルモンド行列の一般化で、似たような性質を持っている。
利用法#
\(f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k x^k\) という多項式で、
$$ \frac{d^j}{dx^j} f(\lambda_i) = b_{ij} \ (i=1, \ldots, K, j=0, \ldots, n_i - 1) $$を満たす係数 \(a_0, \ldots, a_{n-1}\) を見つける問題は、
$$ CV(\lambda_1, \ldots, \lambda_K, n_1, \ldots, n_K) \begin{bmatrix} a_0 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1,0} \\ \vdots \\ b_{1, n_1 - 1} \\ b_{2, 0} \\ \vdots \\ b_{K, n_K - 1} \end{bmatrix} $$を \(a_0, \ldots, a_{n-1}\) について解く線形方程式として表現できる。
重根を持つ多項式に対するコンパニオン行列の標準化#
See コンパニオン行列。
行列式#
$$ \det CV(\lambda_1, \ldots, \lambda_K, n_1, \ldots, n_K) = (\prod_{i=1}^K \prod_{j=1}^{n_i - 1} j!)\cdot(\prod_{1 \leq i < j \leq K} (\lambda_j - \lambda_i)^{n_i n_j}) $$となる。よって合流型ヴァンデルモンド行列が正則となる必要十分条件は \(\lambda_1, \ldots, \lambda_K\) が互いに異なることである。