2つの \(n \times n\) 行列 \(A, B\) が可換である、つまり \(AB = BA\) であるとき、\(e^A e^B = e^B e^A = e^{A+B}\) が成立する。
証明#
$$ \begin{aligned} \sum_{i=0}^{2n} \frac{1}{i!} (A+B)^i & = \sum_{i=0}^{2n} \frac{1}{i!} \sum_{j=0}^i \;_iC_j A^j B^{i-j} \\ & =\sum_{i=0}^{2n} \sum_{j=0}^i \frac{1}{j! (i-j)!} A^j B^{i-j} \\ & =\sum_{j=0}^{2n} \sum_{i=j}^{2n} \frac{1}{j! (i-j)!} A^j B^{i-j} \ \cdots (a)\\ &= \sum_{j=0}^{2n} \frac{1}{j!} A^j \sum_{i=j}^{2n} \frac{1}{(i-j)!} B^{i-j} \\ &= \sum_{j=0}^{2n} \frac{1}{j!} A^j \sum_{k=0}^{2n-j} \frac{1}{k!} B^k \ \cdots (b)\\ &= \sum_{j=0}^{n} \sum_{k=0}^{2n-j} (\cdots) + \sum_{j=n+1}^{2n} \sum_{k=0}^{2n-j} (\cdots) \\ &= [\sum_{j=0}^{n} \sum_{k=0}^{n} (\cdots) + \sum_{j=0}^{n} \sum_{k=n+1}^{2n-j} (\cdots)] + \sum_{j=n+1}^{2n} \sum_{k=0}^{2n-j} (\cdots) \\ \end{aligned} $$(a) の部分は、次の図からわかる。(b) は \(k = i - j\) とすると、\(i\) が \(j\) から \(2n\) まで動くとき、\(k\) は \(2n - j\) まで動くため。
すると、
$$ \sum_{i=0}^{2n} \frac{1}{i!} (A+B)^i - \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{j!} A^j \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} B^k = \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{j!} A^j \sum_{k=n+1}^{2n-j} \frac{1}{k!} B^k + \sum_{j=n+1}^{2n} \frac{1}{j!} A^j \sum_{k=0}^{2n-j} \frac{1}{k!} B^k $$右辺のノルムを取ると、
$$ \|\sum_{j=0}^{n} \frac{1}{j!} A^j \sum_{k=n+1}^{2n-j} \frac{1}{k!} B^k + \sum_{j=n+1}^{2n} \frac{1}{j!} A^j \sum_{k=0}^{2n-j} \frac{1}{k!} B^k\| \leq \sum_{j=0}^{n} \frac{\|A\|^j}{j!} \sum_{k=n+1}^{2n-j} \frac{\|B\|^k}{k!} + \sum_{j=n+1}^{2n} \frac{\|A\|^j}{j!} \sum_{k=0}^{2n-j} \frac{\|B\|^k}{k!} $$ここで、
$$ \begin{aligned} \sum_{j=0}^{n} \frac{\|A\|^j}{j!} & \leq \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\|A\|^j}{j!} = e^{\|A\|} \\ \sum_{k=n+1}^{2n-j} \frac{\|B\|^k}{k!} & \leq \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{\|B\|^k}{k!} = \sum_{k=1}^{2n} \frac{\|B\|^k}{k!} - \sum_{k=1}^{n} \frac{\|B\|^k}{k!} \to e^{\|B\|} - e^{\|B\|} = 0 \ (\text{as } n \to \infty) \end{aligned} $$となるので、第1項→0である。第2項も同様に→0である。 よって \(n \to \infty\) で
$$ \|\sum_{i=0}^{2n} \frac{1}{i!} (A+B)^i - \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{j!} A^j \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} B^k\| \to 0 $$ここで \(n \to \infty\) で
$$ \begin{aligned} \sum_{i=0}^{2n} \frac{1}{i!} (A+B)^i & \to e^{A+B} \\ \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{j!} A^j \to e^A \\ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} B^k \to e^B \end{aligned} $$と収束するので、\(e^{A+B} = e^A e^B\) が得られる。