ベクトル空間の基底の取り方は何通りもある。 基底を取り替えると行列表示が変化する。 この変化の仕方について説明する。
基底取り替え行列#
ベクトル空間\(U\)の2通りの基底を \((u_1, \ldots, u_n), (u_1', \ldots, u_n')\) とする (\(\dim U = n\))。 このとき \((u_1, \ldots, u_n)\) から \((u_1', \ldots, u_n')\)への基底の変換行列 \(P\) を次のように定義する。
$$ [u_1', \ldots, u_n'] = [u_1, \ldots, u_n]P $$すなわち，\(P=(P_{ij})\) は
$$ u_j' = \sum_{i=1}^n P_{ij} u_i $$を満たす行列である。この行列は正則である。
行列表示の変換#
\(f:U \to V\) の \(U\) の基底 \((u_1, \ldots, u_n)\)，\(V\) の基底 \((v_1, \ldots, v_m)\) に対する行列表示は \(m \times n\) 行列で
$$ \begin{equation} [f(u_1), \ldots, f(u_n)] = [v_1, \ldots, v_m]A \end{equation} $$を満たす行列 \(A\) のことである。すなわち，\(A = (A_{ij})\)に対して，
$$ f(u_j) = \sum_{i=1}^m A_{ij} v_i $$を満たす。ここで，\(U\) の別の基底 \((u_1', \ldots, u_n')\)，\(V\) の別の基底 \((v_1', \ldots, v_m')\) を考えたときに，これらの基底による \(f\) の行列表示 \(A'\) は
$$ A' = Q^{-1}AP $$を満たす。ただし，\(P\) は \((u_1, \ldots, u_n)\) から \((u_1', \ldots, u_n')\) への基底変換行列，\(Q\) は \((v_1, \ldots, v_m)\) から \((v_1', \ldots, v_m')\) への基底変換行列，つまり：
$$ \begin{align} [u_1', \ldots, u_n'] & = [u_1, \ldots, u_n]P \\ [v_1', \ldots, v_m'] &= [v_1, \ldots, v_m]Q \end{align} $$である。
証明#
(2) より
$$ \begin{equation} \begin{aligned} & [f(u_1'), \ldots, f(u_n')] \\ =& [f(\sum_{i=1}^n P_{i,1} u_i), \ldots, f(\sum_{i=1}^n P_{i,n} u_i)] \\ =& [\sum_{i=1}^n P_{i,1} f(u_i), \ldots, \sum_{i=1}^n P_{i,n} f(u_i)] \\ =& [f(u_1), \ldots, f(u_n)] \begin{bmatrix} P_{1,1} & \cdots & P_{1,n} \\ \vdots && \vdots \\ P_{n,1} & \cdots & P_{n,n} \\ \end{bmatrix} \\ =& [f(u_1), \ldots, f(u_n)] P \end{aligned} \end{equation} $$であり，\(A'\) は行列表示の定義より
$$ \begin{equation} [f(u_1'), \ldots, f(u_n')] = [v_1', \ldots, v_m']A' \end{equation} $$である。(5) に (3) と (4) を代入すると
$$ \begin{equation} [f(u_1), \ldots, f(u_n)] P = [v_1, \ldots, v_m]Q A' \end{equation} $$(6) に (1) を代入して
$$ [v_1, \ldots, v_m]A P = [v_1, \ldots, v_m]Q A' $$両辺を比較すると \(AP = QA'\) が得られ，両辺左から \(Q^{-1}\) をかけると \(Q^{-1}AP = A'\) が得られる。