[{"content":" この文書群は測度論的確率論、特に条件付き期待値とフィルトレーション、マルチンゲールなどの数学に関する覚え書きです。 条件付き期待値はちまちまとした証明や命題が必要で、どうにも忘れがちなので覚え書きとして作ったものです。\nこれらの文書において、常に確率空間は \\((\\Omega, \\mathcal{F}, P)\\)で表すこととします。\n確率変数の一致 # 2つの確率変数が一致する条件 π-λ 定理 確率変数が生成するσ-代数について # 確率変数が生成するσ-代数 複数の確率変数で生成されるσ-代数 条件付き期待値 # 条件付き期待値の定義 条件付き期待値の基本的性質 条件付き期待値の線形性 定値確率変数の条件付き確率は定値 条件付き期待値の条件付き期待値 条件付き期待値の順序の保存 条件付き期待値の単調収束定理 \\(\\mathcal{G}\\)-可測な確率変数の条件付き期待値 分割から生成されるσ-代数に対する条件付き期待値 条件付き確率の定義 部分σ-代数に対する条件付き確率の妥当性 確率変数が生成するσ-代数による条件付き期待値 ドゥーブ・ディンキンの補題 期待値のL2内積と条件付き期待値 確率変数の独立性と条件付き期待値 交換可能性 # 確率変数の交換可能性 交換可能σ-代数 マルチンゲール (Martingale) # フィルトレーション マルチンゲール 逆マルチンゲール 停止時刻 記号 # \\(x \\in \\mathbb{R}\\) に対して、\\(x^+\\)、\\(x^-\\) を\n$$ \\begin{aligned} x^+ \u0026 = \\max \\{0, x \\} \\\\ x^- \u0026 = \\max \\{0, -x \\} \\end{aligned} $$と定義する。すると\n\\(x^+, x^- \\geq 0\\) 。 \\(x = x^+ - x^-\\) 。 \\(x \\geq 0\\) ならば \\(x = x^+\\)、\\(x \\leq 0\\) ならば \\(x = x^-\\) を満たす。特に関数に関して考えると意味がある。 また、\\(x \\mapsto x^+\\), \\(x \\mapsto x^-\\)という写像はともに単調非減少で下に凸である。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/","section":"数学メモ","summary":"","title":"確率論覚え書き","type":"math_memo"},{"content":" 一般的な線形代数のカリキュラムは、外せない内容として\n行列とベクトルの演算 基底 行列の階数 逆行列 像、核、次元公式 線形方程式 くらいがあり、さらに\n基底の取り替え 内積、グラム-シュミットの直交化 行列式と対角化 などが通常は加わり、場合によっては\n抽象線形空間、線形写像、行列表現 などが追加されよくあるカリキュラムになります。\nただ、線形代数を「応用」しているとされるさまざま分野では、 実際には上の内容に留まらない知識が行列や線型写像に関して必要となります。 こういった内容は分野個別的な内容が多いので共通的な線形代数のカリキュラムには含まれません。\nこの覚え書きは、そういった線形代数でない線形代数の内容の備忘録です。\n線形代数の線形代数 (ここは普通の線形代数のカリキュラムに含まれる内容ですが、「あれどう証明するんだっけ」みたいな話をまとめたものです) 行列の形 基底 基底の取り替え 行列の基本変形 正則行列 対角化 ケーリー・ハミルトンの定理 ジョルダン標準形 上半三角化 ジョルダン標準形 行列のノルム 指数行列 可換な行列の指数行列 スペクトルとレゾルベント 特別な名前の付いた行列(named matrices) - https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_named_matrices ヴァンデルモンド行列 合流型ヴァンデルモンド行列 コンパニオン行列 記法等 # 係数体は \\(\\bk\\) と表し、通常 \\(\\R\\) か \\(\\C\\) を考える。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/","section":"数学メモ","summary":"","title":"線形代数？","type":"math_memo"},{"content":" 2つの確率変数 \\(X, Y\\) がa.s.で一致する必要十分条件として次が知られている。\n$$ E[X, A] = E[Y, A] \\text{ for all } A \\in \\mathcal{F} $$確率変数の一致を示す便利な定理として、次が知られている。\n定理 \\(\\mathcal{F} = \\sigma(\\mathcal{F}_0)\\) である場合、次の条件を満たすとき \\(X\\) と \\(Y\\) は a.s. で一致する。\n\\(\\mathcal{F}_0\\) は \\(\\pi\\)-システムである。つまり\\(A, B \\in \\mathcal{F}_0\\) ならば \\(A \\cap B \\in \\mathcal{F}_0\\) \\(E[\\abs{X}], E[\\abs{Y}]\\) はともに有限 (つまり \\(X, Y\\) は可積分) \\(E[X, A] = E[Y, A] \\text{ for all } A \\in \\mathcal{F}_0\\) \\(E[X, \\Omega] = E[Y, \\Omega]\\) (これは \\(\\Omega \\in \\mathcal{F}_0\\) の場合は1つ上の条件から自動的に導かれる) この定理から次のようなことが言える。\n\\(\\mathcal{G}\\) が \\(\\mathcal{F}\\) の部分σ-代数で、\\(X, Y\\) が \\(\\mathcal{G}\\)-可測な r.v. である場合、\\(E[X, A] = E[Y, A]\\) for all \\(A \\in \\mathcal{G}\\) が \\(X = Y\\) a.s. の必要十分条件となる \\(\\mathcal{G}_0 \\subset \\mathcal{F}\\) で \\(X, Y\\) が \\(\\sigma(\\mathcal{G}_0)\\)-可測な r.v. である場合、次の条件を満たすとき\\(X = Y\\) a.s. となる \\(\\mathcal{G}_0\\) は \\(\\pi\\)-システムである \\(E[X, A] = E[Y, A]\\) for all \\(A \\in \\mathcal{G}_0\\) \\(E[\\abs{X}], E[\\abs{Y}]\\) はともに有限 これらは、\\(\\mathcal{G}\\) や \\(\\sigma(\\mathcal{G}_0)\\) といったσ-代数を上の定理の \\(\\mathcal{F}\\) とみなせばよい。\nこれらの定理は、確率変数が一致することを示すために、\\(\\mathcal{F}\\) 全体での積分の一致性を示すのではなくより狭い範囲での一致性を示せばよいので便利である。\n証明 # 重要なのはディンキンのπ-λ 定理から得られる次の定理である。\n定理 \\(\\mathcal{F}_0 \\subset 2^{\\Omega}\\) がπ-システム、\\(\\sigma(\\mathcal{F}_0) = \\mathcal{F}\\) とする。 \\(\\mu, \\nu\\) が \\(\\mathcal{F}\\) 上の測度で次の2つの条件を満たすとき、\\(\\mu = \\nu\\) である。\n\\(\\mu(A) = \\nu(A)\\) for all \\(A \\in \\mathcal{F}_0\\) \\(\\mu(\\Omega) = \\nu(\\Omega) \u003c +\\infty\\) この測度の一致定理を使って確率変数の一致定理を示すには、以下のように \\(\\mathcal{F}\\) 上の測度を定義する。 $$ \\begin{aligned} \\mu_+(A) \u0026= E[(X-Y)^+, A] = \\int_A (X-Y)^+ dP \\\\ \\mu_-(A) \u0026= E[(X-Y)^-, A] = \\int_A (X-Y)^- dP \\end{aligned} $$ \\(X-Y\\) は \\((\\mathcal{F}\\)-可測であるので、\\((X-Y)^+\\) や \\((X-Y)^-\\) は非負な確率変数となり、これらの積分は常に定義できる。 積分によって定義される正値集合関数が測度になることは良く知られた事実である。 すると、\\(A \\in \\mathcal{F}_0\\) に対しては $$ \\mu_+(A) - \\mu_-(A) = E[(X-Y)^+ - (X-Y)^-, A] = E[X-Y, A] = E[X, A] - E[Y, A] = 0 \\ \\cdots (*) $$ が成立するため、\\(\\mu_+(A) = \\mu_-(A)\\) が成立する。 $$ \\mu_+(\\Omega) - \\mu_-(\\Omega) $$ も同様に0である(\\(X, Y\\) の可積分性よりこれは両方とも有限の値であり、(無限)-(無限)になってないことが確認できる。) すると、測度の一致定理より \\(A \\in \\mathcal{F}\\) に対し \\(\\mu_+(A) = \\mu_-(A)\\) が成立する。 よって全ての \\(A \\in \\mathcal{F}\\) において \\(E[X, A] = E[Y, A]\\) が成立することが示され、確率変数の一致定理が導かれる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/identity_of_two_random_variables/","section":"数学メモ","summary":"","title":"2つの確率変数が一致する条件","type":"math_memo"},{"content":" これは標準的な線形代数の話。 どっちが縦でどっちが横かよく忘れるのでその備忘録。\n\\(m \\times n\\) 行列 # \\(m \\times n\\) 行列といえば、行数が \\(m\\) で列数が \\(n\\) の行列である。 その要素は\n$$ \\begin{array}{ccc} \u0026 n列 \\\\ m行 \u0026 \\begin{bmatrix} a_{11} \u0026 \\cdots \u0026 a_{1n} \\\\ \\vdots \u0026 \u0026 \\vdots \\\\ a_{m1} \u0026 \\cdots \u0026 a_{mn} \\end{bmatrix} \\end{array} $$と番号付けされる。\nまた、\\(m \\times n\\) 行列全体からなる集合は、\n$$ \\bk^{m \\times n}, M_{m,n}(\\bk) $$のように表す。特に \\(n \\times n\\) の正方行列の集合は\n$$ M_{n}(\\bk) $$と表す。\n写像としての意味 # \\(m \\times n\\) 行列を線形写像とみなした場合は、先に現われる \\(m\\) が行き先 (値域)で、後に現われる \\(n\\) が出発地 (定義域)で、\\(\\R^n \\to \\R^m\\) という線形写像と同一視できる。\n線形写像の表現としての行列 # 2つの抽象ベクトル空間 \\(U\\), \\(V\\) があり、その間の線形写像 \\(f: U \\to V\\) を考える。 それぞれの基底が \\(u_1, \\ldots, u_n\\)、\\(v_1, \\ldots, v_m\\)、とすると、これらの基底による \\(f\\) の表現行列 \\(A\\) は\n$$ (f(u_1), \\ldots, f(u_n)) = (v_1, \\ldots, v_m) A $$となる \\(m \\times n\\) 行列として定義される。この行列は次のように基底を行列の外側に並べ、内側に係数を置いたものである。\n$$ \\begin{array}{c|ccc|} \u0026 u_1 \u0026 \\ldots \u0026 u_n \\\\ \\hline v_1 \u0026 A_{11} \u0026 \\cdots \u0026 A_{1n} \\\\ \\vdots \u0026 \\vdots \u0026 \u0026 \\vdots \\\\ v_m \u0026 A_{m1} \u0026 \\cdots \u0026 A_{mn} \\\\ \\hline \\end{array} $$この関係は \\(n\\) 個の等式で次のようにも表現できる。\n$$ \\begin{aligned} f(u_1) \u0026 = A_{11} v_1 + \\cdots + A_{m1} v_m \\\\ \u0026 \\vdots \\\\ f(u_n) \u0026= A_{1n} v_1 + \\cdots + A_{mn} v_m \\end{aligned} $$上とは少し別の見方として、 \\(e^{(n)}_1, \\ldots, e^{(n)}_n\\) を \\(\\R^n\\) の標準的な基底、すなわち\n$$ e^{(n)}_1 = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\vdots \\\\ 0 \\end{bmatrix} , \\ldots , e^{(n)}_n = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ \\vdots \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} $$とし、\\(e^{(m)}_1, \\ldots, e^{(m)}_m\\) を同様に \\(\\R^m\\) の標準的な基底とし、 同型な線形写像 \\(\\phi_U: U \\to \\R^n, \\phi_V: V \\to \\R^m\\) を次を線形拡張したもので定義する：\n$$ \\begin{aligned} \\phi_U(u_i) \u0026 = e^{(n)}_i \\ \\ i=1, \\ldots, n \\\\ \\phi_V(v_i) \u0026 = e^{(m)}_i \\ \\ i=1, \\ldots, m \\end{aligned} $$すると、行列 \\(A\\) を \\(\\R^n\\) から \\(\\R^m\\) への線形写像 \\(x \\mapsto Ax\\) と同一視すると、この行列は次の可換図式を満たす唯一の行列として特徴付けられる。\n$$ \\begin{CD} U @\u003ef\u003e\u003e V \\\\ @V{\\phi_U}VV @V{\\phi_V}VV \\\\ \\R^n @\u003eA\u003e\u003e \\R^m \\end{CD} $$","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/shape_of_matrix/","section":"数学メモ","summary":"","title":"行列の形","type":"math_memo"},{"content":" π-システム # 以下の条件を満たす \\(\\mathcal{F}_0 \\subset 2^{\\Omega}\\) を π-システム と呼ぶ。\n$$ A, B \\in \\mathcal{F}_0 \\Rightarrow A \\cap B \\in \\mathcal{F}_0 $$ λ-システム # 以下の条件1,2,3を満たす \\(\\mathcal{D} \\subset 2^{\\Omega}\\) を λ-システム と呼ぶ。\n\\(\\Omega \\in \\mathcal{D}\\) \\(A, B \\in \\mathcal{D}, A \\subset B\\) ならば \\(B \\backslash A \\in \\mathcal{D}\\) \\(A_1 \\subset A_2 \\subset \\cdots \\in \\mathcal{D}\\) ならば \\(\\cup_{n} A_n \\in \\mathcal{D} \\) 明らかにσ-代数はλ-システムでもある。\nディンキンの π-λ 定理 # 定理\n\\(\\mathcal{F}_0 \\subset \\mathcal{D} \\subset 2^{\\Omega}\\) に対して、\\(\\mathcal{F}_0\\) がπ-システムで \\(\\mathcal{D}\\) がλ-システムならば \\(\\sigma(\\mathcal{F}_0) \\subset \\mathcal{D}\\) である。\n測度の一致定理 # π-λ 定理を用いると次の定理が言える。\n定理\n\\(\\mathcal{F}_0 \\subset 2^{\\Omega}\\) がπ-システム、\\(\\sigma(\\mathcal{F}_0) = \\mathcal{F}\\) とする。 \\(\\mu, \\nu\\) が \\(\\mathcal{F}\\) 上の測度で次の2つの条件を満たすとき、\\(\\mu = \\nu\\) である。\n\\(\\mu(A) = \\nu(A)\\) for all \\(A \\in \\mathcal{F}_0\\) \\(\\mu(\\Omega) = \\nu(\\Omega) \u003c +\\infty\\) 証明 # ディンキンの π-λ 定理の証明 # まず、\\(\\hat{\\mathcal{D}}\\)を次のように定義する。 $$ \\hat{\\mathcal{D}} = \\{\\mathcal{D}' \\subset 2^{\\Omega} \\mid \\mathcal{D}' \\text{ はλ-システム、かつ } \\mathcal{F}_0 \\subset \\mathcal{D}' \\} $$ すると \\(\\mathcal{D} \\in \\hat{\\mathcal{D}}\\) なので \\(\\hat{\\mathcal{D}}\\) は空集合ではない。さらに λ-システムの定義より \\(\\cap \\hat{\\mathcal{D}}\\) はλ-システムなので、\\(\\cap \\hat{\\mathcal{D}} \\in \\hat{\\mathcal{D}}\\) である。 つまり、\\(\\cap \\hat{\\mathcal{D}}\\) は \\(\\mathcal{F}_0\\) を含む最小のλ-システムである。\nそこで、\\(\\mathcal{D}\\) をこの最小のλ-システムに取り替えて、その \\(\\mathcal{D}\\) に対し \\(\\sigma(\\mathcal{F}_0) \\subset \\mathcal{D}\\) を示す。最小性から目標の包含関係が直ちに言えるので、この方法で証明して問題ない。\nそこで、\\(C \\in \\mathcal{D}\\) に対して \\(\\mathcal{D}_C\\) を $$ \\mathcal{D}_C = \\{D \\in \\mathcal{D} \\mid A \\cap D \\in \\mathcal{D} \\} $$ と定義する。次の(1)〜(6) を順番に証明する。\n(1) 任意の \\(C \\in \\mathcal{D}\\) に対して、\\(\\mathcal{D}_C\\) はλ-システムである。\n∵ 条件1〜3を順番に示す。\n\\(\\Omega \\cap C = C\\in \\mathcal{D}\\) なので \\(\\Omega \\in \\mathcal{D}_C\\) がわかる \\(A, B \\in \\mathcal{D}_C, A \\subset B\\) ならば $$ C \\cap (A \\backslash B) = (C \\cap A) \\backslash (C \\cap B) $$ なので、\\(A, B \\in \\mathcal{D}_C\\) より \\((C \\cap A), (C \\cap B) \\in \\mathcal{D}_C\\)。 さらに \\(\\mathcal{D}\\) はλ-システムなので右辺 \\(\\in \\mathcal{D}\\) が得られ \\((A \\backslash B) \\in \\mathcal{D}_C\\) である。 \\(A_1 \\subset A_2 \\subset \\cdots \\in \\mathcal{D}_C\\) とすると $$ C \\cap (\\cup_n A_n) = \\cup_n (C \\cap A_n) $$ なので、\\(A_n \\in \\mathcal{D}_C\\) より \\(C \\cap A_n \\in \\mathcal{D}\\)。 さらに \\(\\mathcal{D}\\) はλ-システムなので右辺\\(\\in \\mathcal{D}\\) が得られ \\((\\cup_n A_n) \\in \\mathcal{D}\\) である。 (2) \\(P \\in \\mathcal{F}_0\\) ならば \\(\\mathcal{F}_0 \\subset \\mathcal{D}_P \\)。\n∵ \\(Q \\in \\mathcal{F}_0\\) とすると、\\(\\mathcal{F}_0\\) はπ-システムなので $$ P \\cap Q \\in \\mathcal{F}_0 \\subset \\mathcal{D} $$ これは \\(Q \\in \\mathcal{D}_P\\) を意味する。\n(3) \\(P \\in \\mathcal{F}_0, A \\in \\mathcal{D}\\) ならば \\(P \\cap A \\in \\mathcal{D}\\)\n∵ (1)(2) より \\(\\mathcal{D}_P\\) は \\(\\mathcal{F}_0\\) を含むλ-システムであり、\\(\\mathcal{D}_P \\subset \\mathcal{D}\\)を満たす。 \\(\\mathcal{D}\\) は \\(\\mathcal{F}_0\\) を含む最小のλ-システムであるので、\\(\\mathcal{D}_P = \\mathcal{D}\\) が導かれる。 すると、\\(A \\in \\mathcal{D} = \\mathcal{D}_P\\) となり \\(P \\cap A \\in \\mathcal{D}\\) がわかる。\n(4) 任意の \\(A \\in \\mathcal{D}\\) に対し、\\(\\mathcal{F}_0 \\subset \\mathcal{D}_C \\)。\n∵\\(P \\in \\mathcal{F}_0\\) とすると、(3)より $$ P \\cap C \\in \\mathcal{D} $$ である。これは \\(P \\in \\mathcal{D}_C\\) を意味する。\n(5) \\(A, B \\in \\mathcal{D}\\) ならば \\(A \\cap B \\in \\mathcal{D}\\)\n∵(4)の結果より、(3)の議論と同様にして \\(\\mathcal{D}_A = \\mathcal{D}\\) が導かれる。 すると、\\(B \\in \\mathcal{D} = \\mathcal{D}_A\\) となり \\(A \\cap B \\in \\mathcal{D}\\) がわかる。\n(6) \\(\\mathcal{D}\\) はσ-代数である。\n∵以下の1〜3を示す。\n(a) \\(\\Omega \\in \\mathcal{D}\\)\n(b) \\(A \\in \\mathcal{D}\\) ならば \\(\\Omega \\backslash A \\in \\mathcal{D}\\)\n(c) \\(A_1, A_2, \\cdots \\in \\mathcal{D}\\) ならば \\(\\cup_n A_n \\in \\mathcal{D}\\)\n(a)はλ-システムの1番目の条件と同じである。 (b)については\\(A \\subset \\Omega \\in \\mathcal{D}\\)とλ-システムの2番目の条件から言える。\nそこで(c)について示すため、まずは次の事実を示す。\n事実 \\(A, B \\in \\mathcal{D}\\) ならば \\(A \\cup B \\in \\mathcal{D}\\)\n∵ $$ A \\cup B = \\Omega \\backslash (\\Omega \\backslash (A \\cup B)) = \\Omega \\backslash ((\\Omega \\backslash A) \\cap (\\Omega \\backslash B)) $$ (b)より\\(\\Omega \\backslash A, \\Omega \\backslash B \\in \\mathcal{D}\\)より(5)より $$ (\\Omega \\backslash A) \\cap (\\Omega \\backslash B) \\in \\mathcal{D} $$ である。よってさらに(b)より $$ \\Omega \\backslash ((\\Omega \\backslash A) \\cap (\\Omega \\backslash B)) \\in \\mathcal{D} $$ が得られる。\n最後に(c)を示そう\\(A_1, A_2, \\cdots \\in \\mathcal{D}\\) とする。 すると、 $$ B_m = \\cup_{n=1}^m A_n $$ とすると上の事実より\\(B_m \\in \\mathcal{D}\\) である。さらに \\((B_m)_{m=1}^\\infty\\) は明らかに増大列であるのでλ-システムの3番目の条件より $$ \\cup_{n=1}^\\infty A_n \\cup_{m=1}^\\infty B_m \\in \\mathcal{D} $$ よって示された。\n結果として、\\(\\mathcal{D}\\) は \\(\\mathcal{F}_0\\) を含むσ-代数であるので \\(\\sigma(\\mathcal{F}_0) \\subset \\mathcal{D}\\) が導かれる。\n測度の一致定理の証明 # \\(\\mathcal{D} \\subset 2^{\\Omega}\\) を次のように定義する。 $$ \\mathcal{D} = \\{ A \\in \\mathcal{F} \\mid \\mu(A) = \\nu(A) \\} $$ すると \\(\\mathcal{F}_0\\) の定義より明らかに \\(\\mathcal{F}_0 \\subset \\mathcal{D}\\) であるため、\\(\\mathcal{D}\\) がλ-システムであることを示したならば π-λ 定理より \\(\\sigma(\\mathcal{F}_0) \\subset \\mathcal{D} \\) がわかり、\\(\\mathcal{D} \\subset \\mathcal{F}\\) より \\( \\mathcal{D} = \\mathcal{F} \\) が導かれる。 これは \\(\\mu = \\nu\\) を意味する。\nそこで\\(\\mathcal{D}\\) がλ-システムであることを示す。 \\(\\Omega \\in \\mathcal{D}\\) は条件より明らかである。 \\(A, B \\in \\mathcal{D}, A \\subset B\\) ならば \\(B \\backslash A \\in \\mathcal{D}\\)については、 $$ \\mu(B \\backslash A) = \\mu(B) - \\mu(A) = \\nu(B) - \\nu(A) = \\nu(B \\backslash A) $$ となる。最初の最後の等式は測度一般で成立する等式で、中央の等式は定理の1つ目の条件よりすぐわかる。 3つ目の単調列に対する条件は、\\(\\mu(\\Omega), \\nu(\\Omega) \u003c +\\infty\\) という条件より測度に関する単調定理、すなわち $$ A_1 \\subset A_2 \\subset \\cdots \\text{ で } \\mu(\\cup_n A_n) \u003c +\\infty \\text{ ならば } \\mu(\\cup_n A_n) = \\lim_{n \\to +\\infty}\\mu(A_n) $$ より示される。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/pi_lambda_theorem/","section":"数学メモ","summary":"","title":"π-λ 定理","type":"math_memo"},{"content":" 一次独立性 # ベクトル空間 \\(V\\) に含まれるベクトル \\(a_1, \\ldots, a_n\\) が一次独立であるとは、\n\\(\\alpha_1, \\ldots, \\alpha_n \\in \\bk\\) が \\(\\sum_{i=1}^n \\alpha_i a_i = \\mathbf{0}\\) を満たすならば \\(\\alpha_1 = \\cdots = \\alpha_n = 0\\) である が成立することである。これは言い換えると、\n\\(\\alpha_1, \\ldots, \\alpha_n \\in \\bk\\) で \\(\\sum_{i=1}^n \\alpha_i a_i = \\mathbf{0}\\) を満たすものは \\(\\alpha_1 = \\cdots = \\alpha_n = 0\\) しかない ことである。一次独立は線形独立とも呼ばれる。\n\\(a_1, \\ldots, a_n\\) が一次独立でない場合、これらのベクトルは一次従属であるという。\n一次独立性の基本的性質 # \\(a_1, \\ldots, a_n\\) が一次独立である場合、その一部はやはり一次独立である \\(a_1, \\ldots, a_n\\) が一次従属である場合、これにいくつかベクトルを付け加えた \\(a_1, \\ldots, a_n, a_{n+1}, \\ldots, a_m\\) も一次従属である これは対偶の関係にある。そして一つ目の命題は一次独立性の定義から明らかである(抽出しなかったベクトルへの係数を0とすればよい)。\n\\(a_1, \\ldots, a_n\\) に零ベクトルが含まれている場合、一次従属である 例えば \\(a_1 = \\mathbf{0}\\) の場合、\\(1 a_1 + 0 a_2 + \\cdots + 0 a_n = \\mathbf{0}\\) が成立するので一次従属がわかる。\n生成系 # ベクトル空間 \\(V\\) に含まれるベクトル \\(a_1, \\ldots, a_n\\) に対し、\n$$ \\{\\sum_{i=1}^n a_i \\in V \\mid \\alpha_i \\in \\bk \\} $$という \\(V\\) の部分集合は \\(V\\) の部分ベクトル空間となる。この部分ベクトル空間を \\(\\left\u003c a_1, \\ldots, a_n \\right\u003e \\) と表し、\\(a_1, \\ldots, a_n\\) で生成される部分ベクトル空間と呼ぶ。\n基底 # \\(a_1, \\ldots a_n\\) がベクトル空間 \\(V\\) の基底であるとは、\\(a_1, \\ldots a_n\\) が一次独立かつ \\(V=\\left\u003c a_1, \\ldots, a_n\\right\u003e \\) を満たすときを言う。\n有限個のベクトルからなる基底が存在する場合、\\(V\\) は有限次元ベクトル空間である、と呼ぶ。\n次元の一意性 # 基底に関しては次の定理が本質的である。\n定理： \\(V\\) が有限次元ベクトル空間であるとき、任意の \\(V\\) の基底をなすベクトルの個数はすべて等しい。\nよってこの個数によって \\(V\\) を特徴付けることが可能である。この個数を \\(V\\) の次元と呼び、\\(\\dim V\\) と表す。\n基底の条件 # 次元がわかっている場合は、一次独立性と生成性のどちらか一方があればよい。つまり以下が成立する：\n\\(n = \\dim V\\) のとき、\\(a_1, \\ldots, a_n\\) が一次独立ならば \\(a_1, \\ldots, a_n\\) は基底である \\(n = \\dim V\\) のとき、\\(a_1, \\ldots, a_n\\) が\\(V\\)を生成するならば \\(a_1, \\ldots, a_n\\) は基底である 基底の拡張 # 次の命題は一次独立なベクトルの集合を1つづつ拡大することができることを示している。\n命題a: \\(a_1, \\ldots, a_n \\in V\\) が一次独立で、\\(V \\not = \\left\u003c a_1, \\ldots, a_n\\right\u003e\\) とすると、 任意の \\(b \\in V \\backslash \\left\u003c a_1, \\ldots, a_n\\right\u003e\\) に対して \\(a_1, \\ldots, a_n, b\\) は一次独立である。\nこの命題aを使うと、次の定理が証明できる。\n定理b: \\(a_1, \\ldots, a_n\\) が\\(m\\)次元ベクトル空間 \\(V\\) の一次独立なベクトルであるとき、 \\(m - n\\) 個のベクトル \\(a_{n+1}, \\ldots, a_m \\in V\\) をうまく取ることで \\(a_1, \\ldots, a_n, a_{n+1}, \\ldots, a_m\\) が基底になるようにできる。\n定理bの証明は次の通り：\\(\\left\u003c a_1, \\ldots, a_n\\right\u003e \\subsetneq V\\) ならば \\(V \\backslash \\left\u003c a_1, \\ldots, a_n\\right\u003e\\) から1要素取りだして \\(a_{n+1}\\) として一次独立なベクトルの集合に追加する、というのを \\(\\left\u003c a_1, \\ldots, a_n, \\ldots, a_m\\right\u003e = V\\) となるまで繰り返すと基底の拡張ができる。\nまた、この定理から次の命題が言える。\n命題c: \\(U, V\\) が共に有限次元ベクトル空間で、\\(U\\) が \\(V\\) の部分ベクトル空間であるとき、\\(\\dim U \\leq \\dim V\\) である。\n証明は、\\(U\\) の基底を上の定理の\\(a_1, \\ldots a_n\\)として基底の拡張を考えれば明らか。\n次の定理は有限次元ベクトル空間の部分ベクトル空間は常に有限次元であることを保証している。\n定理d: \\(U\\) を 有限次元ベクトル空間 \\(V\\) の部分空間とする。すると \\(U\\) も有限次元で \\(\\dim U \\leq \\dim V\\) が成立する。\n定理dの証明は、\n\\(B_0 = \\{\\}\\) とする \\(\\left\u003c B_i\\right\u003e \\subsetneq U\\) ならば \\(B_{i+1} = B_i \\cup \\{b\\}, b \\in U \\backslash \\left\u003c B_i\\right\u003e\\) として増大列 \\(U_1 \\subset U_2 \\subset \\cdots\\) という一次独立なベクトルの集合の増大列を構成する。 上の命題cより、\\(\\left\u003c U_i\\right\u003e \\subset V\\) なので \\(U_i\\) の個数は \\(\\dim V\\) を越えることができないので、途中で止まる その止まった \\(U_i\\) が \\(U\\) の基底である である。\n次元公式 # \\(f: U \\to V\\) を有限次元ベクトル空間から有限次元ベクトル空間への線形写像とする。このとき次が成立する。\n$$ \\dim U = \\dim \\ker f + \\dim \\im f $$ 一次独立性に関する補題 # 次元の一意性を示す代表的な方法として、次の補題の利用した方法がある。\n補題1：\\(m \u003e n\\) とする。\\(b_1, \\ldots, b_m\\) が \\(a_1, \\ldots, a_n\\) の線形結合で表される、つまり\n$$ \\begin{aligned} b_1 \u0026= \\alpha_{11} a_1 + \\cdots + \\alpha_{1n} a_n \\\\ \u0026 \\vdots \\\\ b_m \u0026= \\alpha_{m1} a_1 + \\cdots + \\alpha_{mn} a_n \\\\ \\end{aligned} $$となる \\((\\alpha_{ij})_{i=1,\\ldots,m, j=1,\\ldots,n}\\) が存在するとき、\\(b_1, \\ldots, b_m\\) は一次従属である。\nこの補題の対偶を取ると次のようになる。\n補題2：\\(m, n\\) を正の整数とする。 \\(b_1, \\ldots, b_m\\) は一次独立なベクトルの組で、 \\(a_1, \\ldots, a_n\\) の線形結合で表される、つまり\n$$ \\begin{aligned} b_1 \u0026= \\alpha_{11} a_1 + \\cdots + \\alpha_{1n} a_n \\\\ \u0026 \\vdots \\\\ b_m \u0026= \\alpha_{m1} a_1 + \\cdots + \\alpha_{mn} a_n \\\\ \\end{aligned} $$となる \\((\\alpha_{ij})_{i=1,\\ldots,m, j=1,\\ldots,n}\\) が存在するとする。このとき \\(m \\leq n\\) である。\n証明 # 補題1 # 一次従属なベクトルの集まりに別のベクトルを加えても一次従属なので、\\(n+1 = m\\) の場合に示せば十分である。 これを \\(n\\) に関する帰納法で示す。\n\\(n = 1\\) の場合、\\(m=2\\) なので\n$$ \\begin{aligned} b_1 \u0026= \\alpha_{11} a_1 \\\\ b_2 \u0026= \\alpha_{21} a_1 \\end{aligned} $$が成り立っているとして、\\(b_1, b_2\\) が一次従属であることを示せばよい。\n\\(\\alpha_{11}=0\\) ならば \\(b_1, b_2\\) のどちらか一方が零ベクトルなので一次従属 \\(\\alpha_{11}\\not = 0\\) ならば、\\( \\alpha_{21} b_1 - \\alpha_{11} b_2 = \\alpha_{21}\\alpha_{11}a_1 - \\alpha_{11}\\alpha_{21} a_1 = \\zv\\) なので一次従属 よってこの場合には示された。\nある \\(n\\) で成立と仮定し、\\(n+1\\)で示す。以下の等式が成立しているとする。\n$$ \\begin{aligned} b_1 \u0026= \\alpha_{1,1} a_1 + \\cdots + \\alpha_{1,n} a_n + \\alpha_{1,n} a_{n} + \\alpha_{1,n+1} a_{n+1} \\\\ \u0026 \\vdots \\\\ b_{n+1} \u0026= \\alpha_{n+1,1} a_1 + \\cdots + \\alpha_{n+1,n} a_{n} + \\alpha_{n+1,n+1} a_{n+1} \\\\ b_{n+2} \u0026= \\alpha_{n+2,1} a_1 + \\cdots + \\alpha_{n+2,n} a_{n} + \\alpha_{n+2,n+1} a_{n+1} \\end{aligned} \\cdots (*) $$\\(\\alpha_{n+2,1}, \\ldots, \\alpha_{n+2, n+1}\\) がすべて0の場合は \\(b_{n+2}\\) が零ベクトルとなるので一次従属が示される。そこで \\(\\alpha_{n+2,1}, \\ldots, \\alpha_{n+2, n+1}\\) で0でないものがある場合を考える。ここでは \\(\\alpha_{n+2, n+1} \\not = 0\\) の場合を考える(他の場合も同様である)。\nすると、\\(\\beta_i = \\alpha_{n+2, i} / \\alpha_{n+2, n+1}, (i=1, \\ldots, n)\\) と置く(\\(\\alpha_{n+2, n+1}\\) なので割り算できる)と、\n$$ \\frac{1}{\\alpha_{n+2, n+1}}b_{n+2} = \\frac{\\alpha_{n+2, 1}}{\\alpha_{n+2, n+1}} a_1 + \\cdots + \\frac{\\alpha_{n+2, n}}{\\alpha_{n+2, n+1}} a_n + a_{n+1} = \\beta_1 a_1 + \\cdots + \\beta_n a_n + a_{n+1} $$であるので、この式を(*)の \\(b_1, \\ldots, b_{n+1}\\) の式から\\(\\alpha_{i,n+1}\\)倍して引き算して\n$$ \\begin{aligned} b_1 - \\frac{\\alpha_{1,n+1}}{\\alpha_{n+2,n+1}} b_{n+2} \u0026= (\\alpha_{1,1} - \\alpha_{1,n+1}\\beta_1) a_1 + \\cdots + (\\alpha_{1,n} - \\alpha_{1,n+1}\\beta_n) a_n \\\\ \u0026 \\vdots \\\\ b_{n+1} - \\frac{\\alpha_{n+1,n+1}}{\\alpha_{n+2,n+1}} b_{n+2} \u0026= (\\alpha_{n+1,1} - \\alpha_{n+1,n+1}\\beta_1) a_1 + \\cdots + (\\alpha_{n+1,n} - \\alpha_{n+1,n+1}\\beta_n) a_n \\\\ \\end{aligned} $$となる。よって帰納法の仮定より\n$$ b_1 - \\frac{\\alpha_{1,n+1}}{\\alpha_{n+2,n+1}} b_{n+2}, \\ldots, b_{n+1} - \\frac{\\alpha_{n+1,n+1}}{\\alpha_{n+2,n+1}} b_{n+2} $$は一次従属。つまり \\(\\exists (\\gamma_1, \\ldots, \\gamma_{n+1}) \\not = (0, \\ldots, 0)\\) s.t.\n$$ \\sum_{i=1}^{n+1}\\gamma_i(b_i - \\frac{\\alpha_{i,n+1}}{\\alpha_{n+2,n+1}} b_{n+2}) = \\zv $$よって、\n$$ \\sum_{i=1}^{n+1}\\gamma_i b_i - (\\sum_{i=1}^{n+1}\\frac{\\gamma_i \\alpha_{i,n+1}}{\\alpha_{n+2,n+1}}) b_{n+2} = \\zv $$これは \\(b_1, \\ldots, b_{n+1}, b_{n+2}\\) が一次従属であることを意味する。つまり \\(n+1\\) の場合が示され、帰納法より補題の主張が示される。\n次元の一意性 # \\(V\\) を有限次元ベクトル空間とし、その基底の1セットを \\(a_1, \\ldots, a_n\\) とする。 するとまずは次が言える。\n\\(b_1, \\ldots, b_m\\) が一次独立ならば \\(m \\leq n\\) である \\(b_1, \\ldots, b_m\\) は基底ベクトルの一次結合で表現できるので、補題2よりこの事実がわかる。\nこれにより、一次独立なベクトルは高々 \\(n\\) 個しか取れないことがわかり、無限個あるような事態が生じないことがわかる。さらに次が言える。\n\\(b_1, \\ldots, b_m\\) が \\(V\\) の別の基底ならば \\(m = n\\) である これは、まず上で言ったことより \\(m \\leq n\\) であり、\\(a_1, \\ldots, a_n\\) と \\(b_1, \\ldots, b_m\\) の立場を入れ替えることで \\(n \\leq m\\) もわかるので \\(n=m\\)である。\n基底の拡張 # \\(\\alpha_1, a_1 + \\cdots \\alpha_n a_n + \\lambda b = 0\\) とする (\\(\\alpha_i, \\lambda \\in \\bk\\))。 \\(\\lambda \\not = 0\\) ならば、 \\(b = (-\\alpha_1 / \\lambda) a_1 + \\cdots + (- \\alpha_n / \\lambda) a_n\\) なので \\(b \\in \\left\u003c a_1, \\ldots, a_n\\right\u003e \\) となり矛盾。よって \\(\\lambda = 0\\) である。 すると \\(\\alpha_1, a_1 + \\cdots \\alpha_n a_n = 0\\) が得られ、\\(a_1, \\ldots, a_n\\) の一次独立性より \\(\\alpha_1 = \\cdots = \\alpha_n = 0\\) である。\n次元がわかっている場合の基底の条件 # \\(n = \\dim V\\) のとき、\\(a_1, \\ldots, a_n\\) が一次独立ならば \\(a_1, \\ldots, a_n\\) は基底である \\(n = \\dim V\\) のとき、\\(a_1, \\ldots, a_n\\) が \\(V\\) を生成するならば \\(a_1, \\ldots, a_n\\) は基底である 一つ目について、\\(a_1, \\ldots, a_n\\) が基底ではないと仮定すると、基底の拡張の定理より 1個以上のベクトルを追加して基底にできる。その基底の個数は \\(n\\) より真に大きくなるため次元の一意性の定理と矛盾する。よって \\(a_1, \\ldots, a_n\\) が基底であることがわかる。\n二つ目について、\\(\\dim V = n\\) なので基底 \\(b_1, \\ldots, b_n\\) が存在する。 \\(a_1, \\ldots, a_n\\) が \\(V\\) を生成するので、\n$$ \\begin{aligned} b_1 \u0026= \\alpha_{11} a_1 + \\cdots + \\alpha_{1n} a_n \\\\ \u0026 \\vdots \\\\ b_n \u0026= \\alpha_{n1} a_1 + \\cdots + \\alpha_{nn} a_n \\\\ \\end{aligned} $$となる \\((\\alpha_{ij})_{i,j= 1,\\ldots, n}\\) が存在する。 ここで、\\(a_1, \\ldots, a_n\\) が一次独立でないと仮定すると、 \\(a_1, \\ldots, a_n\\) のうちいずれかはそれを除いたベクトルの一次結合で表現できる。 ここで \\(a_n\\) がそれであるとすると、\n$$ a_n = \\sum_{i=1}^{n-1} \\beta_i a_i $$となる \\(\\beta_i \\ (i=1,\\ldots, n-1)\\) が存在する。するとこれを代入して、\n$$ \\begin{aligned} b_1 \u0026= (\\alpha_{11} + \\beta_1 \\alpha_{1n}) a_1 + \\cdots + (\\alpha_{1,n-1} + \\beta_{n-1} \\alpha_{1n}) a_{n-1} \\\\ \u0026 \\vdots \\\\ b_n \u0026= (\\alpha_{n1} + \\beta_1 \\alpha_{nn}) a_1 + \\cdots + (\\alpha_{n,n-1} + \\beta_{n-1} \\alpha_{nn}) a_{n-1} \\\\ \\end{aligned} $$が成立する。すると \\(n \u003e n - 1\\) より補題1から \\(b_1, \\ldots, b_n\\) は一次従属である。これは \\(b_1, \\ldots, b_n\\) が基底であることに矛盾するので、\\(a_1, \\ldots, a_n\\) は一次独立でなければならない。\n次元公式 # \\(r = \\dim \\im f, s = \\dim \\ker f\\) と置く。これらが有限次元であることは「有限次元ベクトル空間の部分空間は有限次元」という定理から言える。\nまず、\\(\\im f\\) の基底を \\(b_1, \\ldots, b_r\\) とする。これらは \\(\\im f\\) の要素なので、\\(\\exists a_1, \\ldots, a_r \\in U\\) s.t. \\(b_i = f(a_i)\\) for \\(i=1,\\ldots,r\\) である。 次に \\(\\ker f\\) の基底を \\(a_{r+1}, \\ldots, a_{r+s}\\) とする。 このとき、\\(a_1, \\ldots, a_r, a_{r+1}, \\ldots, a_{r+s}\\) が \\(U\\) の基底となることを示す。\nそこで、一次独立性をまず示す。 \\( \\alpha_1 a_1 + \\cdots \\alpha_{r+s} a_{r+s} = \\zv\\) とすると、両辺に \\(f\\) を適用すると、 核の要素は0に移るので\n$$ \\zv = \\alpha_1 f(a_1) + \\cdots \\alpha_r f(a_r) = \\alpha_1 b_1 + \\cdots + \\alpha_r b_r $$となる。\\(b_1, \\ldots, b_r\\) は基底なので一次独立性より \\(\\alpha_1 = \\cdots = \\alpha_r = 0\\) が成立する。\nよって \\( \\alpha_1 a_1 + \\cdots \\alpha_{r+s} a_{r+s} = \\zv\\) のインデックスが1から \\(r\\) までの要素が消えるので、\n$$ \\alpha_{r+1} a_{r+1} + \\cdots + \\alpha_{r+s} a_{r+s} = \\zv $$が成り立つ。\\(a_{r+1}, \\ldots, a_{r+s}\\) は \\(\\ker f\\) の基底なので特に一次独立、よって \\(\\alpha_{r+1} = \\cdots = \\alpha_{r+s} = 0\\) が言え、結果として一次独立性がわかる。\n次に任意の \\(U\\) のベクトル \\(u\\) が \\(a_1, \\ldots, a_{r+s}\\) の一次結合で表せることを示す。 \\(f(u) \\in \\im f\\) より \\(\\exists \\beta_1, \\ldots \\beta_r\\) s.t.\n$$ f(u) = \\sum_{i=1}^r \\beta_i b_i = f(\\sum_{i=1}^r \\beta_i a_i) $$すると \\(f(u - \\sum_{i=1}^r \\beta_i a_i) = \\zv\\) がわかるので、\\(u - \\sum_{i=1}^r \\beta_i a_i \\in \\ker f\\)、よって \\(\\ker f\\) の基底 \\(a_{r+1}, \\ldots, a_{r+s}\\) の一次結合で表せるので、\\(\\exists \\beta_{r+1}, \\ldots, \\beta_{r+s}\\) s.t.\n$$ u - \\sum_{i=1}^r \\beta_i a_i = \\sum_{i=r+1}^{r+s} \\beta_i a_i $$である。これを整理して\n$$ u = \\sum_{i=1}^r \\beta_i a_i + \\sum_{i=r+1}^{r+s} \\beta_i a_i $$となるので \\(u\\) は \\(a_1, \\ldots, a_{r+s}\\) の一次結合で表現できる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/basis/","section":"数学メモ","summary":"","title":"基底","type":"math_memo"},{"content":" ベクトル空間の基底の取り方は何通りもある。 基底を取り替えると行列表示が変化する。 この変化の仕方について説明する。\n基底取り替え行列 # ベクトル空間\\(U\\)の2通りの基底を \\((u_1, \\ldots, u_n), (u_1', \\ldots, u_n')\\) とする (\\(\\dim U = n\\))。 このとき \\((u_1, \\ldots, u_n)\\) から \\((u_1', \\ldots, u_n')\\)への基底の変換行列 \\(P\\) を次のように定義する。\n$$ [u_1', \\ldots, u_n'] = [u_1, \\ldots, u_n]P $$すなわち，\\(P=(P_{ij})\\) は\n$$ u_j' = \\sum_{i=1}^n P_{ij} u_i $$を満たす行列である。この行列は正則である。\n行列表示の変換 # \\(f:U \\to V\\) の \\(U\\) の基底 \\((u_1, \\ldots, u_n)\\)，\\(V\\) の基底 \\((v_1, \\ldots, v_m)\\) に対する行列表示は \\(m \\times n\\) 行列で\n$$ \\begin{equation} [f(u_1), \\ldots, f(u_n)] = [v_1, \\ldots, v_m]A \\end{equation} $$を満たす行列 \\(A\\) のことである。すなわち，\\(A = (A_{ij})\\)に対して，\n$$ f(u_j) = \\sum_{i=1}^m A_{ij} v_i $$を満たす。ここで，\\(U\\) の別の基底 \\((u_1', \\ldots, u_n')\\)，\\(V\\) の別の基底 \\((v_1', \\ldots, v_m')\\) を考えたときに，これらの基底による \\(f\\) の行列表示 \\(A'\\) は\n$$ A' = Q^{-1}AP $$を満たす。ただし，\\(P\\) は \\((u_1, \\ldots, u_n)\\) から \\((u_1', \\ldots, u_n')\\) への基底変換行列，\\(Q\\) は \\((v_1, \\ldots, v_m)\\) から \\((v_1', \\ldots, v_m')\\) への基底変換行列，つまり：\n$$ \\begin{align} [u_1', \\ldots, u_n'] \u0026 = [u_1, \\ldots, u_n]P \\\\ [v_1', \\ldots, v_m'] \u0026= [v_1, \\ldots, v_m]Q \\end{align} $$である。\n証明 # (2) より\n$$ \\begin{equation} \\begin{aligned} \u0026 [f(u_1'), \\ldots, f(u_n')] \\\\ =\u0026 [f(\\sum_{i=1}^n P_{i,1} u_i), \\ldots, f(\\sum_{i=1}^n P_{i,n} u_i)] \\\\ =\u0026 [\\sum_{i=1}^n P_{i,1} f(u_i), \\ldots, \\sum_{i=1}^n P_{i,n} f(u_i)] \\\\ =\u0026 [f(u_1), \\ldots, f(u_n)] \\begin{bmatrix} P_{1,1} \u0026 \\cdots \u0026 P_{1,n} \\\\ \\vdots \u0026\u0026 \\vdots \\\\ P_{n,1} \u0026 \\cdots \u0026 P_{n,n} \\\\ \\end{bmatrix} \\\\ =\u0026 [f(u_1), \\ldots, f(u_n)] P \\end{aligned} \\end{equation} $$であり，\\(A'\\) は行列表示の定義より\n$$ \\begin{equation} [f(u_1'), \\ldots, f(u_n')] = [v_1', \\ldots, v_m']A' \\end{equation} $$である。(5) に (3) と (4) を代入すると\n$$ \\begin{equation} [f(u_1), \\ldots, f(u_n)] P = [v_1, \\ldots, v_m]Q A' \\end{equation} $$(6) に (1) を代入して\n$$ [v_1, \\ldots, v_m]A P = [v_1, \\ldots, v_m]Q A' $$両辺を比較すると \\(AP = QA'\\) が得られ，両辺左から \\(Q^{-1}\\) をかけると \\(Q^{-1}AP = A'\\) が得られる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/change_of_basis/","section":"数学メモ","summary":"","title":"基底の取り替え","type":"math_memo"},{"content":" 行列の行基本変形⇔出力側の変換⇔基本行列を左側からかける 行列の列基本変形⇔入力側の変換⇔基本行列を右側からかける となるが、忘れやすいのでのその備忘録。\n\\(A \\in M_{m,n}(\\bk)\\) とする。\n\\( A \\) を縦ベクトル(\\(\\in \\bk^m\\))を横に \\(n\\) 個並べた表記を\n$$ A = \\begin{bmatrix} a_1 \u0026 \\cdots \u0026 a_n \\end{bmatrix} $$横ベクトル(\\(\\in \\bk^n\\))を縦に \\(m\\) 個並べた表記を\n$$ A = \\begin{bmatrix} \\t a_1' \\\\ \\vdots \\\\ \\t a_m' \\end{bmatrix} $$とする。\n互換 # \\(n \\times n\\) の単位行列の \\(i\\) 行目と \\(j\\) 行目を入れ替えた行列：\n$$ P_n(i,j) = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ \u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026 1 \\\\ \u0026\u0026\u0026 0 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 1 \\\\ \u0026\u0026\u0026\u0026 1 \u0026 \\\\ \u0026\u0026\u0026\u0026\u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026 1 \\\\ \u0026\u0026\u0026 1 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 0 \\\\ \u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026 1 \\\\ \u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026 1 \\end{bmatrix} $$以下が成立する (\\(i \u003c j\\) としておく)。\n$$ \\begin{aligned} AP_n(i,j) =\u0026 \\begin{bmatrix} a_1 \u0026 \\cdots \u0026 a_n \\end{bmatrix} P_n(i,j) \\\\ =\u0026 \\begin{bmatrix} a_1 \u0026 \\cdots \u0026 a_{i-1} \u0026 a_{j} \u0026 a_{i+1} \u0026 \\cdots \u0026 a_{j-1} \u0026 a_i \u0026 a_{j+1} \u0026 \\cdots \u0026 a_n \\end{bmatrix} \\\\ =\u0026 \\begin{bmatrix} a_1 \u0026 \\cdots \u0026 a_{j} \u0026 \\cdots \u0026 a_i \u0026 \\cdots \u0026 a_n \\end{bmatrix} \\end{aligned} $$$$ P_m(i,j)A = P_m(i,j) \\begin{bmatrix} \\t a_1' \\\\ \\vdots \\\\ \\t a_n' \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\t a_1' \\\\ \\vdots \\\\ \\t a_{i-1}' \\\\ \\t a_{j}' \\\\ \\t a_{i+1}' \\\\ \\vdots \\\\ \\t a_{j-1}' \\\\ \\t a_i' \\\\ \\t a_{j+1}' \\\\ \\vdots \\\\ \\t a_n' \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\t a_1' \\\\ \\cdots \\\\ \\t a_{j}' \\\\ \\cdots \\\\ \\t a_i' \\\\ \\cdots \\\\ \\t a_n' \\end{bmatrix} $$ スカラー倍 # \\(n \\times n\\) の単位行列の \\((i, i)\\) 成分を \\(c\\) とした行列、ただし \\(c \\in \\bk \\backslash \\{0\\}\\)：\n$$ Q_n(i, c) = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ \u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026 1 \\\\ \u0026\u0026\u0026 c \\\\ \u0026\u0026\u0026\u0026 1 \\\\ \u0026\u0026\u0026\u0026\u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026 1 \\end{bmatrix} $$次が成立する。\n$$ AQ_n(i, c) = \\begin{bmatrix} a_1 \u0026 \\cdots \u0026 a_n \\end{bmatrix} Q_n(i,c) = \\begin{bmatrix} a_1 \u0026 \\cdots \u0026 ca_{i} \u0026 \\cdots \u0026 a_n \\end{bmatrix} $$$$ Q_m(i, c)A = Q_m(i,c) \\begin{bmatrix} \\t a_1' \\\\ \\cdots \\\\ \\t a_n' \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\t a_1' \\\\ \\cdots \\\\ c\\t a_i' \\\\ \\cdots \\\\ \\t a_n' \\end{bmatrix} $$ 別の行・列のスカラー倍を加える # \\(n \\times n\\) の単位行列の \\((i, j)\\) 成分を \\(c\\) とした行列。 \\(i \\not= j \\) である。 \\(c = 0\\) でもよいが、その場合は単位行列となる(ためあまり意味がない)。\n$$ R_n(i, j, c) = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ \u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026 1 \u0026 \u0026 c\\\\ \u0026\u0026\u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026\u0026\u0026 1 \\\\ \u0026\u0026\u0026\u0026\u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026 1 \\end{bmatrix} $$上のように右上に \\(c\\) が現われるのは、\\(i \u003c j\\) の場合である。\n\\(i \u003e j\\) の場合は次のように右下に現われる\n$$ R_n(i, j, c) = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ \u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026 1 \\\\ \u0026\u0026\u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026 c \u0026\u0026 1 \\\\ \u0026\u0026\u0026\u0026\u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026\u0026\u0026\u0026\u0026 1 \\end{bmatrix} $$次が成立する。\n$$ AR_n(i, j, c) = \\begin{bmatrix} a_1 \u0026 \\cdots \u0026 a_n \\end{bmatrix} R_n(i,c) = \\begin{bmatrix} a_1 \u0026 \\cdots \u0026 a_j + c a_i \u0026 \\cdots \u0026 a_n \\end{bmatrix} $$$$ R_m(j, i, c)A = R_m(j, i ,c) \\begin{bmatrix} \\t a_1' \\\\ \\vdots \\\\ \\t a_n' \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\t a_1' \\\\ \\vdots \\\\ \\t a_j' + c \\t a_i' \\\\ \\vdots \\\\ \\t a_n' \\end{bmatrix} $$上と下で \\(i\\) と \\(j\\) が入れ替わっている、つまり転置行列になっていることに注意。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/elementary_matrix_operations/","section":"数学メモ","summary":"","title":"行列の基本変形","type":"math_memo"},{"content":" 行列の正則性には大量の同値な条件があるので、それの備忘録。 この節では数ベクトル空間は実でも複素でも共通である。\n逆行列 # \\(n \\times n\\) 行列 \\(A\\) に対し、\\(AB = BA = I_n\\) を満たす行列 \\(B\\) を \\(A\\) の逆行列と呼ぶ。 \\(n \\times n\\) 行列 \\(A\\) が逆行列を持つとき、\\(A\\) は正則であると言う。\n逆行列の性質としては以下が挙げられる。\n行列 \\(A\\) に対する逆行列は存在するならば一意。そのため逆行列を \\(A^{-1}\\) と表す 逆行列の逆行列は元の行列である。つまり \\((A^{-1})^{-1} = A\\) である \\(A_1, A_2\\) が正則であるとき、行列の積 \\(A_1 A_2\\) も正則で、\\((A_1 A_2)^{-1} = A_2^{-1} A_1^{-1}\\) が成立する 上の性質を繰り返し適用することで、次がわかる：\\(A_1, \\ldots, A_m\\) が正則のとき、\\(m\\) 個の行列の積 \\(A_1 \\cdots A_m\\) も正則で、\\((A_1 \\cdots A_m)^{-1} = A_m^{-1} \\cdots A_1^{-1}\\) 正則性 # 正則性の必要十分条件として以下が挙げられる。\n\\(AB = BA = I_n\\) を満たす \\(n \\times n\\) 行列 \\(B\\) が存在する(これを正則性の定義とする) \\(AB = I_n\\) となる \\(n \\times n\\) 行列 \\(B\\) が存在する \\(BA = I_n\\) となる \\(n \\times n\\) 行列 \\(B\\) が存在する \\(\\;^tA\\) が正則である。このとき \\((\\;^tA)^{-1} = \\;^t(A^{-1})\\) である \\(\\det A \\not = 0\\). \\(A = [a_1, \\ldots, a_n]\\) と \\(A\\) を \\(n\\)次元縦ベクトルを横に \\(n\\) 個並べたもので表現すると、\\(a_1, \\ldots, a_n\\) が \\(n\\)次元ベクトル空間の基底となる \\(A = \\;^t[\\;^ta_1, \\ldots, \\;^ta_n]\\) と \\(A\\) を \\(n\\)次元横ベクトルを縦に \\(n\\) 個並べたもので表現すると、\\(a_1, \\ldots, a_n\\) が \\(n\\)次元ベクトル空間の基底となる \\(\\mathrm{rank} A = n\\) である \\(\\dim \\ker A = \\{0\\}\\) である \\(A\\) は全射である \\(A\\) は単射である 固有値がすべて非零である これらの同値性はベクトル空間の次元の有限性が重要である。無限次元ベクトル空間の場合これらの同値性は成立せず、もっと精密な議論を必要とする。\n証明 # 逆行列 # 性質1 # \\(B, B'\\) がともに \\(A\\) の逆行列であるとき、\\(B=B'\\)であることを示せばよい。\n\\(I_n = BA\\) より両辺右から \\(B'\\) をかけて \\(B' = (BA)B' = B(AB') = BI_n = B\\) となり示される。\n性質2 # \\(A A^{-1} = A^{-1} A = I_n\\) は逆行列の性質であるが、これを \\(A^{-1}\\) を中心に見ると \\(A\\) が \\(A^{-1}\\) の逆行列であることを意味する。\n性質3 # \\(A_1 A_2\\) に右から \\(A_2^{-1} A_1^{-1}\\) をかけると、\n$$ (A_1 A_2) (A_2^{-1} A_1^{-1}) = A_1 (A_2 A_2^{-1}) A_1^{-1} = A_1 I_n A_1^{-1} = A_1 A_1^{-1} = I_n $$同様にして \\((A_2^{-1} A_1^{-1}) (A_1 A_2) = I_n\\) も得られるため、\\(A_2^{-1} A_1^{-1}\\) が \\(A_1 A_2\\) の逆行列であることがわかる。\n正則性 # \\(e_1, \\ldots, e_n\\) を \\(\\bk^n\\) の標準的基底、つまり\n$$ e_1 = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\vdots \\\\ 0 \\end{bmatrix}, \\ldots, e_n = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ \\vdots \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} $$とする。\n8, 9, 10, 11 の同値性 # 8 ⇔ 9 は次元公式からわかる。 8 ⇔ 10 は階数の定義そのもので、9 ⇔ 11 は良く知られた線形代数の定理である。 よってこの4つの条件は同値である。\n6 ⇔ 8 # 行列 \\(A\\) を \\(A = [a_1, \\ldots, a_n]\\) と縦ベクトルを横に並べたものとして表したとき、 \\(\\im A = \\left\u003c a_1, \\ldots, a_n\\right\u003e\\) である。\nよって 6 が成立するならば \\(\\im A = \\bk^n\\) であるので \\(\\rank A = n\\) であり 8 が成立する。 逆に 8 が成立するならば \\(a_1, \\ldots, a_n\\) はベクトル空間の次元がわかっている場合の基底の条件より基底なので 6 が成立する。\n2 → 6 # 2 を満たす行列 \\(B\\) の要素を \\((B_{ij})\\) で表す。すると \\(AB = I_n\\) より\n$$ AB = \\begin{bmatrix} a_1, \\ldots, a_n \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} B_{11} \u0026 \\cdots \u0026 B_{1n} \\\\ \\vdots \u0026 \u0026 \\vdots \\\\ B_{n1} \u0026 \\cdots \u0026 B_{nn} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\sum_{i=1}^n B_{i1} a_i \u0026 \\cdots \u0026 \\sum_{i=1}^n B_{i1} a_i \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} e_1 \u0026 \\cdots \u0026 e_n \\end{bmatrix} $$ より、\\(e_1, \\ldots, e_n\\) は \\(a_1, \\ldots, a_n\\) の一次結合で表現できる。よって 任意の \\(\\bk^n\\) のベクトルは \\(a_1, \\ldots, a_n\\) の一次結合で表現できる。 すると ベクトル空間の次元がわかっている場合の基底の条件 より \\(a_1, \\ldots, a_n\\) は \\(\\bk^n\\) の基底である。\n6 → 2 # 6が成立するとすると、\\(e_1, \\ldots, e_n\\) は \\(a_1, \\ldots, a_n\\) の一次結合で表されるので、 \\(\\exists B_{ij}\\) for \\(i, j = 1, \\ldots, n\\) s.t.\n$$ e_j = \\sum_{i=1}^n B_{ij} a_i $$すると、\\(B = (B_{ij})_{i=1,\\ldots, j=1,\\ldots,n}\\) とすると、\n$$ AB = \\begin{bmatrix} a_1, \\ldots, a_n \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} B_{11} \u0026 \\cdots \u0026 B_{1n} \\\\ \\vdots \u0026 \u0026 \\vdots \\\\ B_{n1} \u0026 \\cdots \u0026 B_{nn} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} e_1 \u0026 \\cdots \u0026 e_n \\end{bmatrix} = I_n $$となり2が成立する。\n2 → 1 # 条件2 \\(AB = I_n\\) を考える。2→6→8→9→11より \\(x \\mapsto Ax\\) という写像は単射である。\n条件2 より \\((AB)A = I_nA = A\\) であるので、任意の \\(x \\in \\bk^n\\) に対して \\(ABAx = Ax\\) である。 \\(A\\) の単射性より \\(BAx = x\\) が任意の \\(x\\) で成立する。 これを満たす \\(n \\times n\\) 行列 \\(BA\\) は \\(I_n\\) に一致する。よって条件1が示された。\n2→1はかなり強い命題であり、次元の有限性が本質的に効いている。\n1 ⇔ 4 # これは \\(\\t(AB) = \\t B \\t A\\) よりわかる。\n7 # 条件6,4から7が言える。 一方7の条件から \\(\\t A\\) が正則であることが言え、そこから条件4より \\(A\\) の正則性がわかる。\n2→5 # \\(AB = I_n\\) の両辺の行列式を計算すると。\n$$ \\det(AB) = \\det A \\det B = \\det I_n = 1 $$よって \\(\\det A \\not = 0\\) である。\n5→9 # 対偶を示す。つまり \\(\\ker A \\not = \\{0\\}\\) ならば \\(\\det A = 0\\) を示す。\n\\(\\ker A \\not = \\{0\\}\\) より \\(\\exists x \\in \\bk^n \\backslash \\{0\\}\\) s.t. \\(Ax = 0\\) である。 \\(x \\not = 0\\) より \\(x\\) の要素で0でないものがある。 そこで、\\(x = \\t[x_1, \\ldots, x_n]\\) とし、\\(x_i \\not = 0\\) とする。 すると、単位行列 \\(I_n\\) の \\(i\\) 列目を \\(x\\) に置き換えた行列 \\(X\\) を考えると、\n$$ X = \\begin{bmatrix} 1 \u0026 \u0026 x_1 \u0026 \\\\ \u0026 \\ddots \u0026 \\vdots \u0026 \\\\ \u0026 \u0026 x_i \u0026 \\\\ \u0026 \u0026 \\vdots \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 x_n \u0026 \u0026 1 \\end{bmatrix} $$であるので、 \\(\\det X = x_i\\) である。一方\n$$ AX = A\\begin{bmatrix} e_1 \u0026 \\cdots \u0026 x \u0026 \\cdots \u0026 e_n \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} Ae_1 \u0026 \\cdots \u0026 Ax \u0026 \\cdots \u0026 Ae_n \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} Ae_1 \u0026 \\cdots \u0026 \\zv \u0026 \\cdots \u0026 Ae_n \\end{bmatrix} $$であるので \\(AX\\) は 0 からなる列を持つ。すると \\(\\det AX = 0\\) がわかるが、 一方 \\(\\det AX = \\det A \\det X = \\det A \\cdot x_i \\) となるので \\(\\det A = 0\\) である。\n5 ⇔ 12 # これは行列式が重複を含めた固有値の積であることからわかる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/regular_matrix/","section":"数学メモ","summary":"","title":"正則行列","type":"math_memo"},{"content":" 定義 行列 \\(A \\in M_n(\\bk)\\) に対し、\n$$ U^{-1}AU = \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 0 \u0026 \\cdots \u0026 0 \\\\ 0 \u0026 \\lambda_2 \u0026 \u0026 \\vdots \\\\ \\vdots \u0026 \u0026 \\ddots \u0026 0\\\\ 0 \u0026 \\cdots \u0026 0 \u0026 \\lambda_n \\end{bmatrix} $$となるような適当な \\(U \\in \\mathrm{GL}(n, \\bk)\\) を選ぶことを対角化と呼び、このような \\(U\\) が存在するような \\(A\\) を対角化可能であると呼ぶ。 また、このとき \\(A\\) は \\(U\\) によって対角化される、と呼ぶ。\n固有値との関係 # \\(A \\mapsto U^{-1}AU\\) を相似変換と呼ぶ。固有値は相似変換によって不変であるため、対角化された行列の対角成分は行列 \\(A\\) の固有値である。\n対角化の基本 # \\(A \\in M_n(\\bk)\\) が対角化可能であることは次と同値である。\n\\(A\\) の固有ベクトルからなる基底が存在する。 右固有ベクトルでも左固有ベクトルでもこれは成立する。 固有ベクトルからなる基底が存在する場合は、\\(U\\) をこのベクトルを並べて構成した行列とすればよい。 逆に \\(U\\) によって対角化されるときは、\\(U\\) を \\(n\\) 個の縦ベクトルから構成されているとみなすと、その \\(n\\) 個の縦ベクトルが固有ベクトルからなる基底となる。\n実と複素 # 対角化は実行列の問題なのか複素行列の問題なのか、が重要である。\n実行列では対角化不可能で、複素行列を用いれば対角化可能な実行列が存在する。例えば回転行列がそれである。\n固有値が全て異なる場合の対角化可能性 # 定理\n\\(A \\in M_n(\\C)\\) の固有値がすべて異なる場合、\\(A\\) は複素行列によって対角化可能である \\(A \\in M_n(\\R)\\) の固有値がすべて異なる実数である場合、\\(A\\) は実行列によって対角化可能である 特別な行列 # 直交行列や対称行列、ユニタリー行列やエルミート行列は次のような対角化、もしくは対角化に近い標準化が可能である。\n定理\n\\(A \\in M_n(\\C)\\) がエルミート行列である場合、\\(A\\) はユニタリー行列によって対角化可能である。\n定理\n\\(A \\in M_n(\\R)\\) が実対称行列である場合、\\(A\\) は実直交行列によって対角化可能である。\n定理\n\\(A \\in M_n(\\C)\\) がユニタリー行列である場合、\\(A\\) はユニタリー行列によって対角化可能である。\n定理\n\\(A \\in M_n(\\R)\\) が実直交行列である場合、\\(A\\) は実直交行列によって次の形に変換可能である。\n$$ \\begin{bmatrix} 1 \\\\ \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 1 \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 -1 \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 -1 \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 R_{\\theta_1} \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 R_{\\theta_r} \\end{bmatrix} $$ただし、\\(R_\\theta\\) は次のような \\(2\\times 2\\) 行列であり、 \\(1, \\ldots, 1, -1, \\ldots, -1, \\cos \\theta_1 \\pm i \\sin \\theta_1, \\ldots, \\cos \\theta_r \\pm i \\sin \\theta_r\\) は \\(A\\) の重複も含めた固有値である。\n$$ R_\\theta = \\begin{bmatrix} \\cos \\theta \u0026 -\\sin \\theta \\\\ \\sin \\theta \u0026 \\cos \\theta \\end{bmatrix} $$対角化された行列に現われる対角成分はその行列の固有値であるため、これらの定理に関しては以下の事実も重要である。\n定理\n複素エルミート行列および実対称行列の固有値はすべて実である ユニタリー行列および実直交行列の固有値はすべて絶対値が1である 証明 # 固有値が全て異なる場合の対角化可能性 # \\(A \\in M_n(\\C)\\) の固有値 \\(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_n\\) が全て相異なるとする。 すると、\\(\\det(\\lambda_iI - A)=0\\) より \\(\\dim \\ker (\\lambda_iI - A) \\geq 1\\) であるので零でないベクトル \\(u_i \\in \\ker (\\lambda_iI - A)\\) を \\(i=1, \\ldots, n\\) に対して取ることができる。\nこの \\((u_i)_{i=1}^n\\) は固有ベクトルからなる基底である。\n∵ \\((\\lambda_i I - A)u_i = 0\\) より \\( A u_i = \\lambda_i u\\) なので、\\(u_i\\) は零でない固有ベクトルであることがすぐわかる。次に基底であることを示すために独立性を示す (基底の性質より独立性から生成性は示される)。\n\\( \\alpha_1 u_1 + \\cdots + \\alpha_n u_n = 0\\) とする。両辺に \\((\\lambda_2 I - A) \\cdots (\\lambda_n I - A)\\) を左からかけることを考える。 まず \\((\\lambda_2 I - A) \\cdots (\\lambda_n I - A) u_i\\) を考える。 すると、\\((\\lambda_j I - A)u_i = (\\lambda_j - \\lambda_i)u_i\\) であるので、\n$$ (\\lambda_2 I - A) \\cdots (\\lambda_n I - A) u_i = (\\lambda_2 - \\lambda_i) \\cdots (\\lambda_n - \\lambda_i)u_i $$となる。すると、\\( i \\not = 1\\) ならばこれは零ベクトルとなる。よって、\n$$ (\\lambda_2 I - A) \\cdots (\\lambda_n I - A) [\\alpha_1 u_1 + \\cdots + \\alpha_n u_n] = (\\lambda_2 - \\lambda_1) \\cdots (\\lambda_n - \\lambda_1) \\alpha_1 u_1 = 0 $$が得られる。\\(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_n\\) は相異なるので、 \\((\\lambda_2 - \\lambda_1) \\cdots (\\lambda_n - \\lambda_1) \\not = 0\\) であり、\\(u_i\\) は非零ベクトルなので、\\(\\alpha_1 = 0\\) である。 同様にして \\(\\alpha_2 = \\cdots = \\alpha_n = 0\\) も得られ、独立性がわかる。\n実行列の場合も同様である。\\(\\ker (\\lambda_iI - A)\\) が実ベクトル空間の範囲で意味を持つのは \\(\\lambda_i\\) が実である場合なので、固有値が実であるという条件が追加で必要となる。\n固有値について # エルミート行列、対称行列 # \\(A\\) がエルミート行列、つまり\\(A = A^*\\)のとき、\\(A\\) の固有値は実であることを示す。\n\\( \\lambda \\in \\C\\) を \\(A\\) の固有値、\\(u\\)を対応する0でない固有ベクトルとすると \\(A u = \\lambda u\\) である。 すると、\n$$ \\lambda \\|u\\|^2 = \\lambda (u, u) = (\\lambda u, u) = (Au, u) = (u, A^*u) = (u, Au) = (u, \\lambda u) = \\bar{\\lambda}(u, u) = \\bar{\\lambda} \\|u\\|^2 $$\\(\\|u\\| \\not = 0 \\) より \\(\\lambda = \\bar{\\lambda}\\)、つまり \\(\\lambda\\) は実数である。\n\\(A\\) が実対称の場合も同様である。\nユニタリー行列、実直交行列 # \\(A\\) がユニタリー行列、つまり \\(A^* A = A A^* = I\\) のとき、\\(A\\) の固有値の絶対値が1であることを示す。\n\\( \\lambda \\in \\C\\) を \\(A\\) の固有値、\\(u\\)を対応する0でない固有ベクトルとすると \\(A u = \\lambda u\\) である。すると、\n$$ \\abs{\\lambda}^2 \\|u\\| = \\|\\lambda u\\|^2 = \\|Au\\|^2 = (Au, Au) = (u, A^* Au) = (u, u) = \\|u\\|^2 $$\\(\\|u\\| \\not = 0 \\) より \\(\\abs{\\lambda} = 1\\)である。実直交の場合も同様である。\n特別な行列の対角化 # 正規行列 # まずは次を示す。\n定理 \\(A \\in M_n(\\C)\\) が正規、つまり \\(A A^* = A^*A\\) であるとき、\\(A\\) はユニタリー行列で対角化できる。\nエルミート行列およびユニタリー行列は明らかに正規なので、これらの対角化可能性が証明できる。\n証明 \\(n\\) に関する帰納法で示す。\\(n = 1\\) の場合は自明。 そこで、\\(n-1\\)で成立するとして、\\(n\\) で成立することを示す。\n\\(A\\) の固有値と、対応する固有ベクトルを一つとり、\\(\\lambda_1, u_1\\)とする。 \\(u_1 / \\|u_1\\|\\)を改めて \\(u_1\\) と置くと、ノルムは1である。 すると、グラム・シュミットの直交化を用い、\\(u_1\\) を含む正規直交基底 \\(u_1, \\ldots, u_n\\) を取ることができる。 さらにこれは基底なので、\\(A u_j \\ (j=2, \\ldots, n)\\) に対して、\\(Au_j = \\sum_{k=1}^n \\alpha_{jk} u_k\\) となる \\(\\alpha_{jk} \\ (j=2, \\ldots, n, k=1,\\ldots n)\\) を取ることができる。\nすると、\\(U := [u_1, \\ldots, u_n]\\) と置くと、\\(U\\) はユニタリー行列であり、\n$$ AU = [Au_1, \\ldots, Au_n] = [\\lambda u_1, \\sum_{k=1}^n \\alpha_{k,2} u_k, \\ldots, \\sum_{k=1}^n \\alpha_{k,n} u_k] = [u_1, \\ldots, u_n] \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 \\alpha_{1,2} \u0026 \\cdots \u0026 \\alpha_{1, n} \\\\ 0 \u0026 \\alpha_{2,2} \u0026 \\cdots \u0026 \\alpha_{2,n} \\\\ \\vdots \u0026 \\vdots \u0026 \u0026 \\vdots \\\\ 0 \u0026 \\alpha_{n,2} \u0026 \\cdots \u0026 \\alpha_{n, n} \\\\ \\end{bmatrix} = U \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 \\alpha_{1,2} \u0026 \\cdots \u0026 \\alpha_{1, n} \\\\ 0 \u0026 \\alpha_{2,2} \u0026 \\cdots \u0026 \\alpha_{2,n} \\\\ \\vdots \u0026 \\vdots \u0026 \u0026 \\vdots \\\\ 0 \u0026 \\alpha_{n,2} \u0026 \\cdots \u0026 \\alpha_{n, n} \\\\ \\end{bmatrix} $$ここで、\\(A' \\in M_{n-1}(\\C), b \\in \\C^{n-1}\\) を\n$$ A' = \\begin{bmatrix} \\alpha_{2,2} \u0026 \\cdots \u0026 \\alpha_{2,n} \\\\ \\vdots \u0026 \u0026 \\vdots \\\\ \\alpha_{n,2} \u0026 \\cdots \u0026 \\alpha_{n, n} \\\\ \\end{bmatrix}, b = \\begin{bmatrix} \\bar{\\alpha}_{2,1} \\\\ \\vdots \\\\ \\bar{\\alpha}_{n,1}\\\\ \\end{bmatrix} $$と置くと、\n$$ U^* A U = \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 b^* \\\\ 0 \u0026 A' \\end{bmatrix} $$となる。すると、\n$$ \\begin{aligned} U^* A A^* U \u0026 = (U^* A U) (U^* A U)^* = \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 b^* \\\\ 0 \u0026 A' \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\bar{\\lambda}_1 \u0026 0 \\\\ b \u0026 A'^* \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\abs{\\lambda_1}^2 + b^*b \u0026 b^* A'^* \\\\ A'b \u0026 A'A'^* \\end{bmatrix} \\\\ U^* A^* A U \u0026 = (U^* A^* U) (U^* A U)^* = \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 0 \\\\ b \u0026 A'^* \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 b^* \\\\ 0 \u0026 A' \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\abs{\\lambda_1}^2 \u0026 0 \\\\ \\lambda_1 b + A'b \u0026 b b^* + A'^*A' \\end{bmatrix} \\end{aligned} $$この2つは等しいので、\n$$ \\begin{aligned} \\abs{\\lambda_1}^2 \u0026 = \\abs{\\lambda_1}^2 + \\|b\\|^2, \\\\ b^*A'^* \u0026 = 0, \\\\ A'b \u0026= \\lambda_1 b + A'b, \\\\ A'A'^* \u0026 = bb^* + A'^*A' \\end{aligned} $$が成立する。最初の等式より、\\(\\|b\\|^2 = 0\\)、すなわち \\(b = 0\\) が得られ、これと4番目の等式より \\(A'A'^* = A'^*A'\\) が得られる。すなわち \\(A'\\) は \\((n-1)\\times(n-1)\\) 正規行列である。\nよって帰納法の仮定より、\\(A'\\) はユニタリー行列で対角化可能である。すなわち \\(\\exists U' \\in U(n,\\C)\\) s.t.\n$$ U'^*A'U' = \\begin{bmatrix} \\lambda_2 \\\\ \u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026 \\lambda_n \\end{bmatrix} $$である。ただし、\\(\\lambda_2, \\ldots, \\lambda_n\\) は \\(A'\\) の固有値である。そこで、 \\(V \\in M_n(\\C)\\) を\n$$ V = \\begin{bmatrix} 1 \u0026 0 \u0026 \\cdots \u0026 0 \\\\ 0 \\\\ \\vdots \u0026 \u0026 U' \\\\ 0 \\end{bmatrix} $$と置くと、\\(V\\) はユニタリー行列であり、\\(b = 0\\) も考えると、\n$$ V^*U^* A U V = \\begin{bmatrix} 1 \u0026 0 \\\\ 0 \u0026 U'^* \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 0 \\\\ 0 \u0026 A' \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 \u0026 0 \\\\ 0 \u0026 U' \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 0 \\\\ 0 \u0026 U'^*A' U' \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \\\\ \u0026 \\lambda_2 \\\\ \u0026 \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \\lambda_n \\end{bmatrix} $$すると、\\(A\\) は \\(U V\\) で対角化可能であることがわかる。\\(U, V\\) はともにユニタリー行列なのでその積もユニタリーである。よって \\(n\\) の場合に示された。□\n実正規行列の標準化 # 実対称行列の対角化および実直交行列の標準化は次の定理より得られる。\n定理 \\(A \\in M_n(\\R)\\) が正規、すなわち \\(\\t A A = A \\t A\\) であるとき、\\(A\\) は実直交行列で次の行列に相似である。\n$$ \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \\\\ \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 \\lambda_r \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 a_1 \u0026 -b_1 \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 b_1 \u0026 a_1 \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 a_s \u0026 -b_s \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 b_s \u0026 a_s \\end{bmatrix} $$ただし、\\(\\lambda_i \\ (i=1, \\ldots, r), a_j, b_j \\ (j=1,\\ldots,s)\\)は全て実で、 \\(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_r, a_1 \\pm i b_1, \\ldots, a_s \\pm ib_s\\) は重複を含めた \\(A\\) の固有値である。\n実対称行列の固有値は上で示した通りすべて実なので、複素固有値の部分がなくなり対角化できる。 実直交行列の場合固有値の絶対値は1なので、実固有値は \\(\\pm 1\\)、複素固有値は \\(\\cos \\theta + i \\sin \\theta\\) の形をしているので上の定理の形となる。\n証明には次の補題が必要となる。\n補題 \\(A \\in M_n(\\C)\\) が正規で、\\(A u = \\lambda u\\)のとき、\\(A^*u = \\bar{\\lambda} u \\) が成立する。\n補題の証明\n$$ \\|A^* u - \\bar{\\lambda}u\\|^2 = (A^* u - \\bar{\\lambda}u, A^* u - \\bar{\\lambda}u) = (A^*u, A^*u) - (A^*u, \\bar{\\lambda}u) - (\\bar{\\lambda}u, A^*u) + (\\bar{\\lambda}u, \\bar{\\lambda}u) \\cdots (*) $$ここで\n$$ \\begin{aligned} (A^*u, A^*u) \u0026= (u, AA^*u) = (u, A^*Au) = (Au, Au) = (\\lambda u, \\lambda u) = \\abs{\\lambda}^2 (u, u) \\\\ (A^*u, \\bar{\\lambda} u) \u0026= \\lambda (A^*u, u) = \\lambda (u, Au) = \\lambda (u, \\lambda u) = \\lambda \\bar{\\lambda}(u, u) = \\abs{\\lambda}^2 (u, u) \\\\ (\\bar{\\lambda} u, A^*u) \u0026= \\bar{\\lambda} (u, A^*u) = \\bar{\\lambda} (Au, u) = \\bar{\\lambda} (\\lambda u, u) = \\bar{\\lambda} \\lambda (u, u) = \\abs{\\lambda}^2 (u, u) \\\\ (\\bar{\\lambda} u, \\bar{\\lambda} u) \u0026= \\bar{\\lambda} \\lambda (u, u) = \\abs{\\lambda}^2 (u, u) \\end{aligned} $$であるので、\\((*)\\) の右辺は0となる。つまり \\(A^*u = \\bar{\\lambda} u\\) が成り立つ。□\n定理の証明\n複素の場合と同様 \\(n\\) に関する帰納法で示すが、より手順が複雑となる。 \\(n=0, 1\\) の場合は自明なので、\\(n-1, n-2\\) の場合を仮定して \\(n\\) の場合に成立することを示す。\n\\(A \\in M_n(\\R)\\) が正規行列であるとき、\\(A\\) の固有値の一つを \\(\\lambda_1\\) とする。\n\\(\\lambda_1 \\in \\R\\) の場合は、複素の場合と同様に \\(n-1\\) の場合に成立することを用いて示す。 実行列に対する実固有値に関しては、必ず実の(非零)固有ベクトルが1つは存在するのでそれを使えば 複素の場合と同様標準化を実現する実直交行列を構成できる。\nそこで \\(\\lambda_1\\) が実でない、すなわち \\(\\lambda_1 = a_1 + i b_1\\) と実部と虚部に分けたとき \\(b_1 \\not = 0\\) である場合を考える。このとき、\\(A\\) を複素行列とみなしたときの \\(\\lambda_1\\) の非零固有ベクトルを \\(u_1\\) と置く。すると \\(A u_1 = \\lambda_1 u_1\\) が成立する。\\(u_1\\) を \\(u_1 = v_1 + i w_1\\) と実部と虚部に分ける (\\(v_1, w_1 \\in \\R^n\\) である)と、次が成立する。\n$$ A(v_1 + iw_1) = (a_1 + b_1) (v_1 + iw_1) $$ここで、\n$$ \\begin{aligned} \\text{(左辺)} \u0026 = Av_1 + i A w_1 \\\\ \\text{(右辺)} \u0026= (a_1 v_1 - b_1 w_1) + i(a_1 w_1 + b_1 v_1) \\end{aligned} $$であるので、\\(A\\) が実行列であることからこれは両辺の実部と虚部への分解となる。よって\n$$ \\begin{aligned} A v_1 \u0026 = a_1 v_1 - b_1 w_1 \\\\ A w_1 \u0026= b_1 v_1 + a_1 w_1 \\end{aligned} \\ \\cdots (**) $$が成立する。さらに補題より \\(\\t A u_1 = \\bar{\\lambda} u_1\\) が得られるが、これを実部虚部に分けると\n$$ \\t A(v_1 + iw_1) = \\t A v_1 + i \\t A w_1 = (a_1 - i b_1) (v_1 + iw_1) = (a_1 v_1 + b_1 w_1) + i(a_1 w_1 - b_1 v_1) $$となり、次の等式が得られる。\n$$ \\begin{aligned} \\t A v_1 \u0026 = a_1 v_1 + b_1 w_1 \\\\ \\t A w_1 \u0026= -b_1 v_1 + a_1 w_1 \\end{aligned} $$よって、\n$$ \\begin{aligned} (A v_1, v_1) \u0026= (a_1 v_1 - b_1 w_1, v_1) = a_1 (v_1, v_1) - b_1 (w_1, v_1) \\\\ = (v_1, \\t A v_1) \u0026= (v_1, a_1 v_1 + b_1 w_1) = a_1 (v_1, v_1) + b_1 (v_1, w_1) \\end{aligned} $$\\(v_1, w_1\\) は実ベクトルなので \\((v_1, w_1) = (w_1, v_1)\\) であるので、この等式より \\( 2 b_1 (v_1, w_1) = 0\\) が得られ、\\(b_1 \\not = 0\\) より \\((v_1, w_1)\\) が得られる。 つまり \\(v_1\\) と \\(w_1\\) は直交している。\nさらに、\n$$ \\begin{aligned} (Av_1, w_1) \u0026= (a_1 v_1 - b_1 w_1, w_1) = a_1 ( v_1, w_1) - b_1 (w_1, w_1) \\\\ = (v_1, \\t A w_1) \u0026= (v_1, -b_1 v_1 + a_1 w_1) = -b_1(v_1, v_1) + a_1(v_1, w_1) \\end{aligned} $$より、\\(b_1 \\not = 0\\) より \\((w_1, w_1) = (v_1, v_1)\\)、すなわち \\(\\|v_1\\| = \\|w_1\\|\\) が得られる。\nそこで、\\( d = \\|v_1\\|\\) と置き、\\(v_1' = v_1 / d, w_1' = w_1 / d\\) と置くと、\\(v_1', w_1'\\) は \\(\\R^n\\) 上の正規直交系をなすので、ここからグラム・シュミットの直交化を利用して \\(v_1', w_1', u_3, \\ldots, u_n\\) という \\(\\R^n\\) の正規直交基底が構成できる。\nさらに、\\((**)\\) の両辺を \\(d\\) で割ることで、次の等式が得られる。\n$$ \\begin{aligned} A v_1' \u0026 = a_1 v_1' - b_1 w_1' \\\\ A w_1' \u0026= b_1 v_1' + a_1 w_1' \\end{aligned} $$すると、複素の場合と同様、\\(U = [v_1', w_1', u_3, \\ldots, u_n]\\) と置くとこれは実直交行列で、\n$$ AU = [Av_1' Aw_1', Au_3, \\cdots A u_n] = [a_1 v_1' - b_1 w_1', b_1 v_1' + a_1 w_1', Au_3, \\cdots A u_n] = [v_1', w_1', u_3, \\cdots, u_n] \\begin{bmatrix} a_1 \u0026 b_1 \u0026 * \u0026 \\cdots \u0026 *\\\\ -b_1 \u0026 a_1 \u0026 * \u0026 \\cdots \u0026 * \\\\ 0 \u0026 0 \u0026 * \u0026 \\cdots \u0026 * \\\\ \\vdots \u0026 \\vdots \u0026 \\\\ 0 \u0026 0 \u0026 * \u0026 \\cdots \u0026 * \\end{bmatrix} = U \\begin{bmatrix} T(a_1, b_1) \u0026 \\t B \\\\ 0 \u0026 A' \\end{bmatrix} $$となる。ただし、\\(T(a_1, b_1)\\) は\n$$ \\begin{bmatrix} a_1 \u0026 b_1 \\\\ -b_1 \u0026 a_1 \\end{bmatrix} $$という実 \\(2 \\times 2\\) 行列を意味する記号で、\\(B, A'\\) は対応する \\(*\\) の部分を表す \\(2 \\times (n-2)\\) 行列および \\((n-2)\\times(n-2)\\) 行列である。\n複素の場合と同様の議論で、\\(B = 0, \\t A' A' = A' \\t A'\\) が得られるので、\\(n-2\\) の場合に還元でき、その結果を用いて \\(n\\) の場合が示される。□\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/diagonalization/","section":"数学メモ","summary":"","title":"対角化","type":"math_memo"},{"content":" 正方行列 \\(A \\in M_n(\\bk)\\) と多項式 \\(f(t) = \\sum_{k=0}^r c_k t^k\\) に対して、 \\(f(A) \\in M_n(\\bk)\\) を \\(\\sum_{k=0}^r c_k A^k\\) で定義する。\n定理 # \\(A\\) の固有多項式を \\(p_A(t)\\) で表すと、\\(p_A(A)\\) は零行列である。\n証明 # 証明には多様な方法が知られている。ここでは余因子行列を用いる方法で証明する。 単純のため、 \\(p_A(t)\\) は \\(A\\) を省略して \\(p(t)\\)、\\(I_n\\) の \\(n\\) を省略して \\(I\\) で表すこととする。\n\\(p(t)\\) の各項の係数を \\(c_k\\) とする、つまり\n$$ \\begin{equation} p(t) = \\sum_{k=0}^n c_k t^k \\end{equation} $$である。次に、行列 \\(t I - A\\) の余因子行列を \\(B(t)\\) とする。すると余因子行列の性質と \\(p(t) = \\det(t I - A)\\) であることよ\n$$ \\begin{equation} (tI - A)B(t) = p(t) I \\end{equation} $$である。次に、\\(B(t)\\) の各要素はその定義より高々 \\(n-1\\) 次の多項式なので、\\(n\\) 個の行列 \\(B_0, \\ldots, B_{n-1} \\in M_n(\\bk) \\) によって\n$$ \\begin{equation} B(t) = \\sum_{k=0}^{n-1} t^k B_k \\end{equation} $$と表すことができる。(1)および(3)を(2)に代入すると、\n$$ \\sum_{k=0}^{n-1} t^k (tI - A) B_k = \\sum_{k=0}^n c_k t^k I $$左辺は\n$$ \\begin{aligned} \u0026\\sum_{k=0}^{n-1} t^k (t I - A)B_k \\\\ =\u0026 \\sum_{k=0}^{n-1} (t^{k+1} B_k - t^k A B_k) \\\\ =\u0026 t^n B_{n-1} + \\sum_{k=1}^{n-1} t^k(B_{k-1} - AB_k) - AB_0 \\end{aligned} $$よって、多項式の各係数行列を比較すると、\n$$ \\begin{aligned} c_n I \u0026 = B_{n-1} \\\\ c_k I \u0026 = B_{k-1} - AB_k \\ \\ (k=1, \\ldots, n-1) \\\\ c_0 I \u0026= -AB_0 \\end{aligned} $$がわかる(これは右辺はすべて単位行列のスカラー倍であることを意味する)。よって、\n$$ \\begin{aligned} p(A) =\u0026 \\sum_{k=0}^n c_k A^k = \\sum_{k=0}^n A^k (c_k I) \\\\ =\u0026 A^n B_{n-1} + \\sum_{k=1}^{n-1} A^k(B_{k-1} - AB_k) - AB_0 \\\\ =\u0026 (A^n B_{n-1} + A^{n-1}B_{n-2} + \\cdots + A B_0) - (A^n B_{n-1} + \\cdots + A^2B_1 + AB_0) \\\\ =\u0026 O \\end{aligned} $$よって示された。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/cayley_hamilton_theorem/","section":"数学メモ","summary":"","title":"ケーリー・ハミルトンの定理","type":"math_memo"},{"content":" 一般の行列は対角化できるとは限らない。 どんな複素行列でも適用できる強力な手法としてジョルダン標準形がある。 ジョルダン標準形の手前のステップとして、この上半三角化がある。\n注 # 実の場合にはこれらの手法は適用できない。\\(n \\times n\\) 行列の固有多項式の根が重複度も含めて \\(n\\) 個であることが重要であるためである。\n定理 # \\(A \\in M_n(\\C)\\) とする。このとき \\(n \\times n\\) ユニタリー行列\\(P\\)が存在し、\n$$ P^*AP = \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 \u0026 *\\\\ \u0026 \\ddots \\\\ 0\u0026 \u0026 \\lambda_n \\end{bmatrix} $$が成立する。ただし、\\(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_n\\) は \\(A\\) の重複を含む固有値である。\nこのような行列を上半三角行列と呼び、上半三角行列と相似となる行列 \\(P\\) を与えることを上半三角化と呼ぶ。\n証明 # \\(n\\) に関する帰納法で示す。\n\\(n=1\\) の場合は明らか。\\(n-1\\) で証明されていると仮定して \\(n\\) に関して示す。 \\(A\\) の固有値の1つを \\(\\lambda_1\\)、対応する非零固有ベクトルを \\(u_1\\) とする。 \\(u_1\\) を含む正規直交基底をグラム・シュミットの直交化で構成し、それを \\(u_1, \\ldots, u_n\\) と置く。 \\(U = [u_1, \\ldots, u_n]\\) と置くと、\\(U\\) はユニタリー行列で、\n$$ AU = A [u_1, \\ldots, u_n] = [Au_1, \\ldots, Au_n] = [\\lambda_1 u_1, Au_2, \\ldots, Au_n] = [u_1, \\ldots, u_n] \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 * \u0026 \\cdots \u0026 * \\\\ 0 \u0026 * \u0026 \\cdots \u0026 * \\\\ \\vdots \u0026 \\vdots \u0026 \u0026 \\vdots \\\\ 0 \u0026 * \u0026 \\cdots \u0026 * \\end{bmatrix} $$この右辺を\n$$ U \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 * \u0026 \\cdots \u0026 * \\\\ 0 \\\\ \\vdots \u0026 \u0026 A' \\\\ 0 \\end{bmatrix} $$と表す。\nすると、\\(A'\\) は \\((n-1)\\times (n-1)\\) 正方行列なので、帰納法の仮定より \\((n-1)\\times (n-1)\\) ユニタリー行列で対角化可能である。すなわち\n$$ U'^* A' U' = \\begin{bmatrix} \\lambda_2 \\\\ \u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026 \\lambda_n \\end{bmatrix} $$である。そこで、\\(V \\in M_n(\\C)\\) を\n$$ V = \\begin{bmatrix} 1 \u0026 0 \u0026 \\cdots \u0026 0 \\\\ 0 \\\\ \\vdots \u0026 \u0026 U' \\\\ 0 \\end{bmatrix} $$と置くと、\\(U'\\) がユニタリーであることより \\(V\\) もユニタリーであり、\n$$ V^* \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 * \u0026 \\cdots \u0026 * \\\\ 0 \\\\ \\vdots \u0026 \u0026 A' \\\\ 0 \\end{bmatrix} V = \\begin{bmatrix} 1 \u0026 0 \\\\ 0 \u0026 U'^* \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 * \\\\ 0 \u0026 A' \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 \u0026 0 \\\\ 0 \u0026 U' \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 * \\\\ 0 \u0026 U'^*A' \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 \u0026 0 \\\\ 0 \u0026 U' \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026 * \\\\ 0 \u0026 U'^*A'U' \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026\u0026\u0026 *\\\\ \u0026 \\lambda_2 \\\\ \u0026\u0026 \\ddots \\\\ 0 \u0026\u0026\u0026 \\lambda_n \\end{bmatrix} $$となるため、\n$$ V^*U^*A U V = \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \u0026\u0026\u0026 *\\\\ \u0026 \\lambda_2 \\\\ \u0026\u0026 \\ddots \\\\ 0 \u0026\u0026\u0026 \\lambda_n \\end{bmatrix} $$が成立し、 \\(P = UV\\) と置くと \\(P\\) はユニタリーで上半三角化ができることがわかる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/upper_triangulation/","section":"数学メモ","summary":"","title":"上半三角化","type":"math_memo"},{"content":" \\(\\mathbb{R}\\)-r.v. \\(X\\) によって生成される\\(\\mathcal{F}\\)の部分σ-代数 \\(\\sigma(X)\\) を次のように定義する。\n$$ \\sigma(X) = \\{ X^{-1}(A) \\mid A \\in \\mathcal{B} \\} $$ただし、\\(\\mathcal{B}\\)は\\(\\mathbb{R}\\)上のボレル集合族である。\\(\\mathcal{B}\\)は次のような集合族から生成される\n$$ \\{ (-\\infty, t] \\mid t \\in \\mathbb{R} \\} $$ので、\\(\\sigma(X)\\) は次のようにして生成される。\n$$ \\sigma(X) = \\sigma( \\{ X^{-1}((-\\infty, t]) \\mid t \\in \\mathbb{R} \\}) = \\sigma( \\{ \\{ X \\leq t \\} \\mid t \\in \\mathbb{R} \\}) $$半閉区間でなく、半開区間などでも同様である。\\(t\\) は \\(\\mathbb{R}\\)上を動かしているが、\\(\\mathbb{Q}\\) のような \\(\\mathbb{R}\\) の稠密な部分集合を動けば十分である。\n\\(\\sigma(X)\\) の性質 # 以下のような性質がある。\n\\(X\\) は \\(\\sigma(X)\\)-可測である \\(\\sigma(X)\\) は \\(X\\) を可測とする最小のσ-代数である \\(X\\) が高々可算個の値しか取らない場合は、\\(\\sigma(X)\\) は \\(\\Omega\\) の \\(\\mathcal{F}\\)-可測な高々可算な分割によって生成される。すなわち、\\(\\alpha_1, \\ldots, \\) が \\(X\\) の取り得る値であるとすると、\\(\\{ \\{X = \\alpha_n\\} \\}_{n=1,\\ldots}\\) は \\(\\Omega\\) の\\(\\mathcal{F}\\)-可測な高々可算な分割であって、\\(\\sigma(X) = \\sigma(\\{ \\{X = \\alpha_n\\} \\}_{n=1,\\ldots})\\) となる。 \\(\\sigma(X)\\)-可測な確率変数の一致の条件 # 次の命題が成り立つ。\n命題 \\(Y_1, Y_2\\) が次の条件を満たす可積分な \\(\\sigma(X)\\)-可測r.v.であるとき、\\(Y_1\\) と \\(Y_2\\) はa.s. で一致する。\n$$ E[Y_1, \\{X \\leq t\\}] = E[Y_2, \\{X \\leq t\\}] \\text{ for all } t \\in \\mathbb{Q} $$\\(\\mathbb{Q}\\) でなくとも \\(\\mathbb{R}\\) の稠密な部分集合であればよい。 \\(\\{ \\{ X \\leq t\\} \\mid t \\in \\mathbb{Q} \\}\\) がπ-システムであることはすぐわかるので、2つの確率変数が一致する条件の定理が利用できる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/sigma_algebra_generated_by_random_variable/","section":"数学メモ","summary":"","title":"確率変数が生成するσ-代数","type":"math_memo"},{"content":" そのうち書く。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/jordan_normal_form/","section":"数学メモ","summary":"","title":"ジョルダン標準形","type":"math_memo"},{"content":" 確率変数が生成するσ-代数は複数の確率変数の場合に拡張できる。 さらに確率変数の個数が可算無限個の場合にも拡張できる。\n\\(X_1, \\dots, X_N\\) をr.v.とする。このとき、\\(X: \\Omega \\to \\mathbb{R}^N\\)を\n$$ X(\\omega) = (X_1(\\omega), \\ldots, X_N(\\omega)) $$で定義すると、\\(X\\) は \\(\\mathcal{F}\\)-\\(\\mathcal{B}(\\mathbb{R}^N)\\)-可測関数である。そこで、\\(\\sigma(X_1, \\ldots, X_N)\\) を\n$$ \\sigma(X_1, \\ldots, X_N) = \\{ X^{-1}(B) \\mid B \\in \\mathcal{B}(\\mathbb{R}^N)\\} $$で定義する。\n性質 # (1) \\(\\mathcal{B}(\\mathbb{R}^N)\\) は \\(\\{ (-\\infty, t_1] \\times \\cdots \\times (-\\infty, t_N] \\mid t_1, \\ldots, t_N \\in \\mathbb{R} \\}\\), で生成されるので、\n$$ \\sigma(X_1, \\ldots, X_N) = \\sigma(\\{ \\{X_1 \\leq t_1\\} \\cap \\cdots \\cap \\{X_N \\leq t_N \\} \\mid t_1, \\ldots, t_N \\in \\mathbb{R}\\}) $$である。\nこれ以外にも同じσ-代数を生成する集合族として以下のような例が挙げられる。 \\(D\\) は \\(\\mathbb{R}\\) の稠密な部分集合で、\\(\\mathbb{Q}\\) などが通常は用いられる。\n\\(\\{\\{X_1 \\leq t_1\\} \\cap \\cdots \\cap \\{X_N \\leq t_N \\} \\mid t_1, \\ldots, t_N \\in D\\}\\) \\(\\{\\{X_{i_1} \\leq t_{i_1}\\} \\cap \\cdots \\cap \\{X_{i_k} \\leq t_{i_k} \\} \\mid 1 \\leq i_1 \u003c \\cdots \u003c i_k \\leq N, t_{i_1}, \\ldots, t_{i_k} \\in D \\}\\) \\(\\{ \\{X_n \\leq t\\} \\mid 1 \\leq n \\leq N, t \\in D \\}\\) (2) 以下の等式が成立する。特に \\(\\sigma(X_n) \\subset \\sigma(X_1, \\ldots, X_N)\\)である。\n$$ \\sigma(X_1, \\ldots, X_N) = \\sigma(\\sigma(X_1) \\cup \\cdots \\cup \\sigma(X_N)) $$証明\n$$ \\{ \\{X_n \\leq t\\} \\mid 1 \\leq n \\leq N, t \\in D \\} = \\cup_{n=1}^N \\{ \\{X_n \\leq t\\} \\mid t \\in D \\} $$であるため、上で挙げた \\(\\sigma(X_1, \\ldots, X_N)\\) を生成する集合族の例3を考えると、目標の等式の成立がわかる。\n(3) 上の事実より、\\(\\sigma(X_1, \\ldots, X_N)\\) は \\(X_1, \\ldots, X_N\\) を可測とする最小のσ-代数である。\n可算無限個の場合 # 可算無限個 \\((X_n)_{n=1}^\\infty\\) の場合は、無限次元ベクトル空間から考えるのはあまり筋が良くなく、 上の例3から、\n$$ \\sigma(X_1, \\ldots) = \\sigma(\\{ \\{X_n \\leq t \\} \\mid n \\geq 1, t \\in D \\}) $$とするのがよい。\nこの場合も (2) と同様の命題、つまり\n$$ \\sigma(X_1, \\ldots) = \\sigma(\\sigma(X_1)\\cup \\cdots) $$が成立する。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/sigma_algebra_generated_by_multiple_random_variables/","section":"数学メモ","summary":"","title":"複数の確率変数で生成されるσ-代数","type":"math_memo"},{"content":" \\((\\Omega, \\mathcal{F}, P)\\) を確率空間とする。 \\(X\\) を(\\(\\mathcal{F}\\)-可測な)確率変数、\\(\\mathcal{G}\\) を \\((\\Omega, \\mathcal{F})\\) の部分σ-代数とするとき、次を満たす確率変数 \\(Y\\) を \\(\\mathcal{G}\\) に関する \\(X\\) の条件付き期待値と呼び、\\(E[X\\mid \\mathcal{G}]\\) と表す。\n\\(Y\\) は \\(\\mathcal{G}\\)-可測 \\(\\int_A Y dP = \\int_A X dP\\) for all \\(A \\in \\mathcal{G}\\) このような \\(Y\\) はa.s.で一意である。\n存在と一意性 # このようなr.v.の存在と一意性は次のようにして保証される。\n存在 # \\(\\mu_X: \\mathcal{G} \\to \\mathbb{R}\\) を次のように定義する。\n$$ \\mu_X(A) = \\int_A X dP $$すると、\\(\\mu_X\\) は (1) \\(\\mathcal{G}\\) 上の符号付き測度であり、(2) \\(P\\|_{\\mathcal{G}}\\) に絶対連続である。 ただし \\(P|_{\\mathcal{G}}\\) は確率測度 \\(P\\) を \\(\\mathcal{G}\\) に制限した確率測度である。\nすると、ラドン-ニコディムの定理が適用でき、ラドン-ニコディム微分\n$$ \\frac{d\\mu_X}{d (P|_{\\mathcal{G}})} $$を\\(Y\\)と置くと、以下のように条件1、2が満たされる。\nこの定理より条件1は自動的に満たされる この定理より \\(\\int_A Y d (P\\|_{\\mathcal{G}}) = \\mu_X(A) = \\int_A X dP\\) を満たすので、条件2が示される 一意性 # 測度論の一般論として、2つの \\(\\mathcal{G}\\)-可測なr.v. \\(Y\\) と \\(Y'\\) がa.s.で等しいことと次は同値である。\n$$ \\int_A Y dP = \\int_A Y' dP \\text{ for all } A \\in \\mathcal{G} $$すると条件1,2より一意性がわかる。\n注 # 一意性がa.s.でしか言えないので、条件付き期待値はa.s.でしか定義されず、確率0の事象上での差は無視する \\(\\int_A X dP\\) は \\(E[X, A]\\) とも表す。これは良く使う記号である ","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/conditional_expectation/","section":"数学メモ","summary":"","title":"条件付き期待値の定義","type":"math_memo"},{"content":" 行列のノルムは、利用法によって様々に定義される。単純に \\(m\\times n\\) 行列を \\(mn\\) 次元のベクトルとみなして \\(\\ell^p\\) ノルムを考える場合もあるが、それ以外のものもある。\n作用素ノルム # 以下で定義されるノルムを作用素ノルムと呼ぶ。\n$$ \\|A\\| = \\sup_{\\|x\\|=1} \\|Ax\\| = \\sup_{x \\not = 0} \\frac{\\|Ax\\|}{\\|x\\|} $$\\(S^{n-1}\\) はコンパクトなので \\(\\sup\\) は \\(\\max\\) ともできる。 通常のノルムの性質の他に以下が成立する。\n\\(\\|Ax\\| \\leq \\|A\\| \\|x\\|\\) for all \\(A\\): matrix, \\(x\\): vector \\(\\|AB\\| \\leq \\|A\\| \\|B\\|\\) for all \\(A, B\\): matrix 特にベクトル上のノルムとして \\(\\ell^2\\)-ノルムを用いた正方行列(つまり \\(m=n\\))に対する作用素ノルムは スペクトルノルムとも呼ばれ、次の事実が追加で成立する。\n\\(U, V \\in U(n, \\C)\\) (実の時は \\(O(n, \\R\\)) のとき、\\(\\|U^*A V\\| = \\|A\\|\\) \\(\\|A\\| = \\sqrt{(A^*A\\text{の}最大固有値)} = (A\\text{の最大特異値})\\). \\(\\|A^*\\| = \\|A\\|\\) for all \\(A\\): matrix 特異値の計算が必要なので、スペクトルノルムの計算はそれほど容易ではない。\n注 これらの事実自体は \\(\\ell^2\\) ノルムであれば \\(m \\not = n\\) でも成立することが下の証明からわかる。\n証明1 # これはユニタリー行列はノルムを保存する、つまり \\(\\|Vx\\| = \\|x\\|, \\|U^*x\\| = \\|x\\|\\) であることと作用素ノルムの定義よりわかる。\n証明2 # まずは \\(\\C\\)-係数の場合の \\(A^*A\\) の固有値に関する等式を示す。 \\(A^*A\\) は半正定値対称行列なので、対角化可能。\\(\\exists U \\in U(n, \\mathbb{C})\\) s.t.\n$$ U^* A^* A U = \\begin{bmatrix} \\lambda_1 \\\\ \u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026 \\lambda_n \\end{bmatrix} $$ただし、\\(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_n \\geq 0\\) は \\(A^*A\\) の固有値、が成り立つ。 この右辺の行列を \\(\\Lambda\\) とおく。ここでは話を簡単にするため、\\(\\lambda_1\\) が最大固有値であるとする(それ以外の場合でもインデックスを調整すれば同様)。\nすると、次の2つが成り立つ。\n\\(x^* \\Lambda x \\leq \\lambda_1 \\|x\\|^2\\) for all \\(x \\in \\mathbb{C}^n\\) \\(\\hat{x} = \\ ^t[1, 0, \\ldots, 0]\\) と置くと、\\(\\hat{x}^* \\Lambda \\hat{x} = \\lambda_1 \\|\\hat{x}\\|^2\\) 一つ目の不等式は \\(x = \\;^t[x_1, \\ldots, x_n]\\) と置くと、\n$$ x^* \\Lambda x = \\sum_{i=1}^n \\lambda_i x_i^2 \\leq \\sum_{i=1}^n \\lambda_1 x_i^2 = \\lambda_1 \\|x\\|^2 $$となるためOK。2つ目の等式は \\(\\hat{x}^* \\Lambda \\hat{x} = \\lambda_1\\) より明らか。 よって、\n$$ \\|A U x\\|^2 = x^* U^*A^*A U x = x^* \\Lambda x $$よって \\(\\|A U\\| = \\sqrt{\\lambda_1}\\) である。事実1より \\(\\|A\\| = \\|AU\\| = \\sqrt{\\lambda_1}\\) である。\n特異値についてはここまで示した事実を使うと簡単に示せる。\n特異値を \\(\\sigma_1 \\geq \\cdots \\geq \\sigma_n \\geq 0\\) とすると、\\(\\exists U, V \\in U(n, \\mathbb{C})\\) s.t.\n$$ U^*AV = \\begin{bmatrix} \\sigma_1 \\\\ \u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026 \\sigma_n \\end{bmatrix} $$すると、\n$$ V^*A^*AV = (V^*A^*U)(U^* A V) = (U^*A V)^* (U^*A V) = \\begin{bmatrix} \\sigma_1 \\\\ \u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026 \\sigma_n \\end{bmatrix}^2 = \\begin{bmatrix} \\sigma_1^2 \\\\ \u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026 \\sigma_n^2 \\end{bmatrix} $$となり、\\(A^*A\\) の最大固有値 = \\(\\sigma_1^2\\) = 最大特異値の二乗、となるため上の事実を用いれば \\(\\|A\\|\\) が最大特異値と一致することがわかる。\n実の場合は実直交群と転置を用いればよい。\n証明3 # これは、\\(A\\) の特異値と \\(A^*\\) の特異値が等しいことからすぐわかる。\nフロベニウスノルム # \\(m\\times n\\) 行列 \\(A\\) を \\(mn\\) 次元のベクトルとみなしたときの \\(\\ell^2\\) ノルム、すなわち \\(A = (A_{ij})_{i=1,\\ldots, m, j=1,\\ldots,m}\\) としたときの\n$$ \\sqrt{\\sum_{i=1}^m\\sum_{j=1}^n A_{ij}^2} $$をフロベニウスノルムと呼び、\\(\\|A\\|_\\mathrm{F}\\) と表す。 実は、フロベニウスノルムは次の内積による内積空間である。\n$$ \\left = \\mathrm{tr}(A^*B) $$この右辺は次のような表現を持つ。\n$$ \\mathrm{tr}(A^*B) = \\sum_{i=1}^m \\sum_{j=1}^n A_{ij}^* B_{ij} $$フロベニウスノルムは以下のような別表現がある。\n$$ \\begin{aligned} \u0026 \\sqrt{\\mathrm{tr}(A^*A)} \\\\ \u0026 \\sqrt{\\sum_{i=1}^{\\min\\{m,n\\}} \\sigma_i^2} \\end{aligned} $$ただし、\\(\\sigma_1,\\ldots,\\) は \\(A\\) の特異値である。\nまた、フロベニウスノルムは次の劣乗法性を持つ。\n\\(\\|AB\\|_\\mathrm{F} \\leq \\|A\\|_\\mathrm{F} \\|B\\|_\\mathrm{F}\\) for all \\(A, B\\): matrix 内積について # 最初に\n$$ \\mathrm{tr}(A^*B) = \\sum_{i=1}^m \\sum_{j=1}^n A_{ij}^* B_{ij} $$を示そう。この右辺は行列を \\(mn\\) 次元ベクトルをみなしたときの \\(\\ell^2\\)-内積であるので、 この空間が \\((A, B) \\mapsto \\mathrm{tr}(A^*B)\\) による内積空間であること、および \\(\\|A\\| = \\sqrt{\\mathrm{tr}(A^*A)}\\) がわかる。\n\\(A=(A_{ij})\\)、\\(B = (B_{ij})\\) とすると、\n$$ (A^* B)_{ij} = \\sum_{k=1}^m (A^*)_{ik} B_{kj} = \\sum_{k=1}^m A_{ki}^* B_{kj} $$であるので、\n$$ \\mathrm{tr}(A^*B) = \\sum_{l=1}^n (A^* B)_{ll} = \\sum_{l=1}^n \\sum_{k=1}^m A_{kl}^* B_{kl} $$となり目的の等式が示される。この等式はまれに活用される。\n別表現の証明 # 特異値の等式を示す。\\(r = \\min\\{m, n\\}\\)、特異値を \\(\\sigma_1, \\ldots, \\sigma_r\\) とすると、 \\(\\exists U, V\\) s.t.\n$$ U^*AV = \\begin{bmatrix} \\sigma_1 \u0026\u0026 \\\\ \u0026 \\ddots \u0026\u0026 O \\\\ \u0026\u0026 \\sigma_r \\end{bmatrix} $$が成り立つ(これは横長の行列の場合、縦長は下に0がくる)。 よって、\n$$ A^* A = \\begin{bmatrix} \\sigma_1^2 \\\\ \u0026 \\ddots \\\\ \u0026\u0026 \\sigma_r^2 \\\\ \u0026\u0026\u0026 O \\end{bmatrix} $$であるので、\\(\\mathrm{tr}(A^* A) = \\sum_{i=1}^r \\sigma_i^2\\) となりこれの平方根を取ると目的の等式が得られる。\n劣乗法性について # \\(A\\) を \\(\\ell \\times m\\) 行列、\\(B\\) を \\(m \\times n\\) 行列とする。それぞれの行列を、\n$$ A = \\begin{bmatrix} a_1^* \\\\ \\vdots \\\\ a_\\ell^* \\end{bmatrix}, B = \\begin{bmatrix} b_1 \u0026 \\cdots \u0026 b_n \\end{bmatrix} $$と横ベクトルを縦に並べたもの、縦ベクトルを横に並べたもの、として表現する (\\(a_i, b_i \\in \\mathbb{K}^m\\) である)。\nすると、\n$$ AB = \\begin{bmatrix} a_1^*b_1 \u0026 \\cdots \u0026 a_1^* b_n \\\\ \\vdots \u0026\u0026 \\vdots \\\\ a_m^*b_1 \u0026 \\cdots \u0026 a_m^* b_n \\\\ \\end{bmatrix} $$となるため、\n$$ \\|AB\\|_\\mathrm{F}^2 = \\sum_{i=1}^\\ell \\sum_{j=1}^n |a_i^* b_j|^2 $$が成立する。一方、\\(m\\) 次元ベクトル空間上の内積 \\(a_i^* b_j\\) に対するコーシー・シュワルツの不等式より \\( |a_i^* b_j| \\leq \\|a_i\\| \\|b_j\\|\\) であるので、\n$$ \\sum_{i=1}^\\ell \\sum_{j=1}^n |a_i^* b_j|^2 \\leq \\sum_{i=1}^\\ell \\sum_{j=1}^n \\|a_i\\|^2\\|b_j\\|^2 = \\sum_{i=1}^\\ell \\|a_i\\|^2 \\cdot \\sum_{j=1}^n \\|b_j\\|^2 = \\|A\\|_\\mathrm{F}^2 \\|B\\|_\\mathrm{F}^2 $$よって不等式 \\(\\|AB\\|_\\mathrm{F}^2 \\leq \\|A\\|_\\mathrm{F}^2 \\|B\\|_\\mathrm{F}^2\\) が得られ、これの両辺の平方根を取ると目的の不等式が得られる。\nノルムの同値性、完備性 # 有限次元ベクトル空間上のノルムはすべて同値なので、 上で挙げたノルムの収束は互いに同値である。\nまた、\\(\\ell^2\\) ノルム空間は完備であるので、他のノルムでも完備である。\nそのため、以下のようなことがすべての行列ノルムで成立する。\n\\(\\sum_{n=1}^{\\infty} \\|A_n\\| \u003c \\infty\\) ならば、\\(\\sum_{n=1}^{\\infty} A_n \\) は収束し、 \\(\\|\\sum_{k=1}^{\\infty} A_k\\| \\leq \\sum_{k=1}^{\\infty} \\|A_k\\| \\) が成立する。(絶対収束する無限級数の収束性) 証明1\n$$ S_n = \\sum_{k=1}^n A_k $$と置くと、\\(m \u003c n\\) に対し\n$$ \\|S_n - S_m\\| = \\|\\sum_{k=m+1}^n A_k\\| \\leq \\sum_{k=m+1}^n \\|A_k\\| $$が成立し、\\(\\sum_{n=1}^{\\infty} \\|A_n\\| \u003c \\infty\\) より \\(\\sum_{k=m+1}^n \\|A_k\\| \\to 0 \\) for \\(m, n \\to \\infty\\) であるので \\((S_n)_{n \\geq 1}\\) はコーシー列。行列ノルム空間の完備性より収束がわかる。\n不等式は、有限和に関する不等式\n$$ \\|\\sum_{k=1}^{n} A_k\\| \\leq \\sum_{k=1}^{n} \\|A_k\\| $$の両辺の \\(n \\to \\infty\\) を取ればよい。\n参考文献 # https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%8E%E3%83%AB%E3%83%A0 ","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/matrix_norm/","section":"数学メモ","summary":"","title":"行列のノルム","type":"math_memo"},{"content":" 正方行列 \\(A\\) に対する指数行列を次で定義する。\n$$ \\sum_{k=0}^\\infty \\frac{1}{k!} A^k $$この行列は \\(e^A\\) もしくは \\(\\exp A\\) と表現する。\n収束性 # この行列無限級数は任意の行列 \\(A\\) で収束する。\n証明には行列のノルムにおける劣乗法性と、絶対収束する行列無限級数の収束性を用いる。\n$$ \\sum_{k=0}^\\infty \\|\\frac{1}{k!} A^k\\| \\leq \\sum_{k=0}^\\infty \\frac{1}{k!} \\|A\\|^k = e^{\\|A\\|} $$よりOK。この不等式より \\(\\|e^A\\| \\leq e^{\\|A\\|}\\) もわかる。\n可換性 # 指数行列は指数関数と異なり \\(e^{A}e^{B} = e^{A+B}\\) が常には成立しない。これが成立するためには \\(A\\) と \\(B\\) の可換性 \\(AB = BA\\) が必要となる。\nこれの特別の場合として、\\(s, t \\in \\R\\) のとき \\(e^{sA}e^{tA} = e^{(s+t)A}\\) が成立する。\n証明: 可換な行列の指数行列\n零行列 # \\(O\\) を \\(n \\times n\\) の零行列とすると、\\(e^O = I_n\\) である。これは定義より自明であろう。\n逆行列 # \\(e^A\\) は常に正則で、逆行列は \\(e^{-A}\\) と表せる。\nこれは、\\(A\\) と \\(-A\\) が可換であることを用いて、\\(e^{-A}e^{A} = e^Ae^{-A} = e^O = I\\) よりわかる。\n線形微分方程式との関係 # 指数行列は線形微分方程式と深い関係がある。 \\(n \\times n\\) 行列 \\(A\\) に対して次の \\(n\\) 次元の線形微分方程式を考える：\n$$ \\frac{dx}{dt} = Ax $$ただし \\(x \\in \\R^n\\) で初期条件は \\(x(0) = x_0\\) とする。\nすると、\\(t \\in \\R\\) に対して \\(x(t) = e^{tA} x_0\\) はこの微分方程式の解となる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/matrix_exponential/","section":"数学メモ","summary":"","title":"指数行列","type":"math_memo"},{"content":" 条件付き期待値は以下の線形性を満たす。\n$$ E[aX + bY \\mid \\mathcal{G}] = aE[X \\mid \\mathcal{G}] + bE[Y \\mid \\mathcal{G}] $$ただし、\\(X, Y\\)は\\(\\mathbb{R}\\)値r.v.で、\\(a, b \\in \\mathbb{R}\\)、\\(\\mathcal{G}\\)は\\(\\mathcal{F}\\)の部分σ-代数である。\n値が実でなくとも複素でも同様のことが言える r.v. がベクトル値の場合も同様のことが言える 証明 # \\(\\forall A \\in \\mathcal{G}\\)に対して\n$$ \\int_A E[aX + bY \\mid \\mathcal{G}] dP = \\int_A aE[X \\mid \\mathcal{G}] + bE[Y \\mid \\mathcal{G}] dP $$が言えればよい。\n$$ \\begin{aligned} \\text{(左辺)} \u0026 = \\int_A (aX + bY) dP = aE[X] + bE[Y] \\\\ \\text{(右辺)} \u0026 = a \\int_A E[X \\mid \\mathcal{G}] dP + b \\int _A E[Y \\mid \\mathcal{G}] dP = a \\int_A X dP + b \\int_A Y dP = aE[X] + bE[Y] \\end{aligned} $$で両辺は一致する。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/linearity_of_conditional_expectation/","section":"数学メモ","summary":"","title":"条件付き期待値の線形性","type":"math_memo"},{"content":" 2つの \\(n \\times n\\) 行列 \\(A, B\\) が可換である、つまり \\(AB = BA\\) であるとき、\\(e^A e^B = e^B e^A = e^{A+B}\\) が成立する。\n証明 # $$ \\begin{aligned} \\sum_{i=0}^{2n} \\frac{1}{i!} (A+B)^i \u0026 = \\sum_{i=0}^{2n} \\frac{1}{i!} \\sum_{j=0}^i \\;_iC_j A^j B^{i-j} \\\\ \u0026 =\\sum_{i=0}^{2n} \\sum_{j=0}^i \\frac{1}{j! (i-j)!} A^j B^{i-j} \\\\ \u0026 =\\sum_{j=0}^{2n} \\sum_{i=j}^{2n} \\frac{1}{j! (i-j)!} A^j B^{i-j} \\ \\cdots (a)\\\\ \u0026= \\sum_{j=0}^{2n} \\frac{1}{j!} A^j \\sum_{i=j}^{2n} \\frac{1}{(i-j)!} B^{i-j} \\\\ \u0026= \\sum_{j=0}^{2n} \\frac{1}{j!} A^j \\sum_{k=0}^{2n-j} \\frac{1}{k!} B^k \\ \\cdots (b)\\\\ \u0026= \\sum_{j=0}^{n} \\sum_{k=0}^{2n-j} (\\cdots) + \\sum_{j=n+1}^{2n} \\sum_{k=0}^{2n-j} (\\cdots) \\\\ \u0026= [\\sum_{j=0}^{n} \\sum_{k=0}^{n} (\\cdots) + \\sum_{j=0}^{n} \\sum_{k=n+1}^{2n-j} (\\cdots)] + \\sum_{j=n+1}^{2n} \\sum_{k=0}^{2n-j} (\\cdots) \\\\ \\end{aligned} $$(a) の部分は、次の図からわかる。(b) は \\(k = i - j\\) とすると、\\(i\\) が \\(j\\) から \\(2n\\) まで動くとき、\\(k\\) は \\(2n - j\\) まで動くため。\nすると、\n$$ \\sum_{i=0}^{2n} \\frac{1}{i!} (A+B)^i - \\sum_{j=0}^{n} \\frac{1}{j!} A^j \\sum_{k=0}^{n} \\frac{1}{k!} B^k = \\sum_{j=0}^{n} \\frac{1}{j!} A^j \\sum_{k=n+1}^{2n-j} \\frac{1}{k!} B^k + \\sum_{j=n+1}^{2n} \\frac{1}{j!} A^j \\sum_{k=0}^{2n-j} \\frac{1}{k!} B^k $$右辺のノルムを取ると、\n$$ \\|\\sum_{j=0}^{n} \\frac{1}{j!} A^j \\sum_{k=n+1}^{2n-j} \\frac{1}{k!} B^k + \\sum_{j=n+1}^{2n} \\frac{1}{j!} A^j \\sum_{k=0}^{2n-j} \\frac{1}{k!} B^k\\| \\leq \\sum_{j=0}^{n} \\frac{\\|A\\|^j}{j!} \\sum_{k=n+1}^{2n-j} \\frac{\\|B\\|^k}{k!} + \\sum_{j=n+1}^{2n} \\frac{\\|A\\|^j}{j!} \\sum_{k=0}^{2n-j} \\frac{\\|B\\|^k}{k!} $$ここで、\n$$ \\begin{aligned} \\sum_{j=0}^{n} \\frac{\\|A\\|^j}{j!} \u0026 \\leq \\sum_{j=0}^{\\infty} \\frac{\\|A\\|^j}{j!} = e^{\\|A\\|} \\\\ \\sum_{k=n+1}^{2n-j} \\frac{\\|B\\|^k}{k!} \u0026 \\leq \\sum_{k=n+1}^{2n} \\frac{\\|B\\|^k}{k!} = \\sum_{k=1}^{2n} \\frac{\\|B\\|^k}{k!} - \\sum_{k=1}^{n} \\frac{\\|B\\|^k}{k!} \\to e^{\\|B\\|} - e^{\\|B\\|} = 0 \\ (\\text{as } n \\to \\infty) \\end{aligned} $$となるので、第1項→0である。第2項も同様に→0である。 よって \\(n \\to \\infty\\) で\n$$ \\|\\sum_{i=0}^{2n} \\frac{1}{i!} (A+B)^i - \\sum_{j=0}^{n} \\frac{1}{j!} A^j \\sum_{k=0}^{n} \\frac{1}{k!} B^k\\| \\to 0 $$ここで \\(n \\to \\infty\\) で\n$$ \\begin{aligned} \\sum_{i=0}^{2n} \\frac{1}{i!} (A+B)^i \u0026 \\to e^{A+B} \\\\ \\sum_{j=0}^{n} \\frac{1}{j!} A^j \\to e^A \\\\ \\sum_{k=0}^{n} \\frac{1}{k!} B^k \\to e^B \\end{aligned} $$と収束するので、\\(e^{A+B} = e^A e^B\\) が得られる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/commutativity_and_matrix_exponential/","section":"数学メモ","summary":"","title":"可換な行列の指数行列","type":"math_memo"},{"content":" \\(\\mathcal{G}\\) を \\(\\mathcal{F}\\) の部分σ-代数とする。 \\(X\\)を定値確率変数、つまり\\(X = \\alpha \\in \\mathbb{R}\\) (a. s.) とする(これはもちろん\\(\\mathcal{F}\\)可測でも\\(\\mathcal{G}\\)可測でもある)。\nこのとき、\\(X\\) の \\(\\mathcal{G}\\) に関する条件付き期待値は定値確率変数 \\(\\alpha\\) である。すなわち、\n$$ E[X \\mid \\mathcal{G}] = \\alpha \\text{ (a. s.)} $$ 証明 # \\(\\forall A \\in \\mathcal{G}\\) に対して、\n$$ \\int_A E[X \\mid \\mathcal{G}] dP = \\int_A X dP = \\int_A \\alpha \\; dP $$よりわかる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/conditional_expectation_of_constant_random_variable/","section":"数学メモ","summary":"","title":"定値確率変数の条件付き期待値は定値","type":"math_memo"},{"content":" \\(\\mathcal{G}_1 \\subset \\mathcal{G}_2\\) を包含関係にある2つの部分 \\(\\mathcal{F}\\) σ-代数、\\(X\\) をr.v.とする。 このとき次の等式が成立する。\n$$ E[E[X \\mid \\mathcal{G}_2] \\mid \\mathcal{G}_1] = E[X \\mid \\mathcal{G}_1] \\text{ a. s. } $$ 証明 # $$ \\int_A E[E[X \\mid \\mathcal{G}_2] \\mid \\mathcal{G}_1]dP = \\int_A E[X \\mid \\mathcal{G}_1] dP \\text{ for all } A \\in \\mathcal{G}_1 $$を示せばよい。まず条件付き期待値の定義より\n$$ \\begin{aligned} \\text{(左辺)} \u0026 = \\int_A E[X \\mid \\mathcal{G}_2] dP \\\\ \\text{(右辺)} \u0026 = \\int_A X dP \\end{aligned} $$が成立する。次に、\\(A \\in \\mathcal{G}_1 \\subset \\mathcal{G}_2\\)より、条件付き期待値の定義を再び用いて\n$$ \\int_A E[X \\mid \\mathcal{G}_2] dP = \\int_A X dP $$が成立する。よって左辺と右辺が等しいことがわかる。\n逆向きの場合 # 包含関係の向きが逆の場合、つまり \\(\\mathcal{G}_2 \\subset \\mathcal{G}_1\\) の場合は\n$$ E[E[X \\mid \\mathcal{G}_2] \\mid \\mathcal{G}_1] = E[X \\mid \\mathcal{G}_2] \\text{ a. s. } $$が成立する。これは \\(\\mathcal{G}_2 \\subset \\mathcal{G}_1\\) と \\(E[X \\mid \\mathcal{G}_2]\\) が \\(\\mathcal{G}_2\\)-可測 であることより、\\(E[X \\mid \\mathcal{G}_2]\\) は \\(\\mathcal{G}_1\\)-可測であることと、\\(\\mathcal{G}\\)-可測な確率変数の条件付き期待値は元の確率変数と一致することよりわかる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/conditional_expectation_of_conditional_expectation/","section":"数学メモ","summary":"","title":"条件付き期待値の条件付き期待値","type":"math_memo"},{"content":" \\(\\mathcal{G}\\)は\\(\\mathcal{F}\\)の部分σ-代数、\\(X, Y\\)はr.v.で\n$$ X \\leq Y \\text{ (a. s. ) } $$を満たすとする。このとき\n$$ E[X \\mid \\mathcal{G}] \\leq E[Y \\mid \\mathcal{G}] \\text{ (a. s.) } $$が成立する。\n証明 # 測度論の一般論で、次が成り立つ。\n命題 \\(X, Y\\) をr.v.とする。次は同値\n\\(X \\leq Y\\) (a.s.) \\(\\forall A \\in \\mathcal{F}\\) について \\(\\int_A X dP \\leq \\int_A Y dP\\) よって、\\(\\mathcal{G}\\)-可測な関数の比較なので次を示せばよい。\n$$ \\int_A E[X \\mid \\mathcal{G}] dP \\leq \\int_A E[Y \\mid \\mathcal{G}] dP \\text{ for all } A \\in \\mathcal{G} $$この不等式の両辺は条件付き期待値の定義よりそれぞれ\n\\(\\int_A X dP\\) \\(\\int_A Y dP\\) に等しく、\\(X \\leq Y\\) (a. s.) よりこの2つに関し次の不等式が成立するので、目的の不等式が成立する。\n$$ \\int_A X dP \\leq \\int_A Y dP $$","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/preserving_the_order_of_conditional_expectation/","section":"数学メモ","summary":"","title":"条件付き期待値の順序の保存","type":"math_memo"},{"content":" \\((X_n)_{n=1,\\ldots}\\) を単調なr.v.の列とする。つまり、任意の \\(n\\) に関して\n$$ X_n \\leq X_{n+1} \\text{ (a. s.) } $$が成立するとする。このとき、測度論における単調収束定理より、\\((X_n)_{n=1,\\ldots}\\) は(\\(+\\infty\\)を含めれば)あるr.v. (\\(X_{\\infty}\\) と表す)に概収束し、次の等式が成り立つ。\n\\begin{equation} \\lim_{n\\to \\infty} \\int_A X_n dP = \\int_A X_\\infty dP \\text{ for all } A \\in \\mathcal{F} \\end{equation}\nすると任意の部分σ-代数 \\(\\mathcal{G}\\) に対して次の等式が成立する。\n$$ E[X_n \\mid \\mathcal{G}] \\to E[X_\\infty \\mid \\mathcal{G}] \\text{ (a. s.) } $$ 証明 # まず、条件付き期待値の順序の保存より、 \\((E[X_n \\mid \\mathcal{G}])_{n=1}^\\infty\\)は単調である。 すると上の議論と同様に測度論の単調収束定理より、\\(\\exists Z\\): \\(\\mathcal{G}\\)-可測なr.v. s.t.\n\\begin{align} E[X_n \\mid \\mathcal{G}] \\to Z \\text{ (a. s.), as } n \\to \\infty \\ \\lim_{n\\to\\infty} \\int_A E[X_n \\mid \\mathcal{G}] dP = \\int_A Z dP \\text{ for all } A \\in \\mathcal{G} \\end{align}\nここで、\\(A \\in \\mathcal{G}\\)ならば条件付き期待値の定義より\n\\begin{equation} \\int_A E[X_n \\mid \\mathcal{G}] dP = \\int_A X_n dP \\end{equation}\nであるので、(1)(3)(4)より\n$$ \\int_A X_\\infty dP = \\int_A Z dP $$がすべての \\(\\mathcal{G}\\)-可測集合 \\(A\\) で成立する。\\(Z\\) は \\(\\mathcal{G}\\)-可測なr.v.であるので、条件付き期待値の定義より\n$$ Z = E[X_\\infty \\mid \\mathcal{G}] \\text{ (a. s.)} $$である。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/monotone_convergence_theorem_on_conditional_expectation/","section":"数学メモ","summary":"","title":"条件付き期待値の単調収束定理","type":"math_memo"},{"content":" \\(\\mathcal{G}\\) を \\(\\mathcal{F}\\) の部分σ-代数、 \\(X, Y\\)はr.v.とする。 \\(X\\)が\\(\\mathcal{G}\\)-可測なr.v.の場合、次が成立する。\n$$ E[X Y \\mid \\mathcal{G}] = X E[Y \\mid \\mathcal{G}] \\text{ a. s. } $$特に\\(Y \\equiv 1\\)である場合、定値確率変数の条件付き確率は定値という事実を用いると次が成立する。\n$$ E[X \\mid \\mathcal{G}] = X \\text{ a. s. } $$ 証明 # 次の4段階で証明する。\n\\(X\\) が \\(\\mathcal{G}\\)-可測集合の指示関数である場合。すなわち\\(\\exists B \\in \\mathcal{G}\\) s.t. \\(X = \\mathbf{1}_B\\) \\(X\\) が \\(\\mathcal{G}\\)-可測集合の指示関数の線形結合で表せる場合 \\(X\\) が非負r.v.である場合 一般の場合 Step 1. \\(X\\) が \\(\\mathcal{G}\\)-可測集合の指示関数である場合 # 両辺は \\(\\mathcal{G}\\)-可測なので、\n\\begin{equation} \\int_A E[X Y \\mid \\mathcal{G}] dP = \\int_A X E[Y \\mid \\mathcal{G}] dP \\text{ for all } A \\in \\mathcal{G} \\end{equation}\nを示せばよい。この場合は、\n$$ \\begin{aligned} \\text{((1)の左辺)} \u0026 = \\int_A XY dP = \\int_A \\mathbf{1}_B Y dP = \\int_{A \\cap B} Y dP \\\\ \\text{((1)の右辺)} \u0026 = \\int_A \\mathbf{1}_B E[Y \\mid \\mathcal{G}] dP = \\int_{A \\cap B} E[Y \\mid \\mathcal{G}] dP = \\int_{A \\cap B} Y dP \\end{aligned} $$より、(1)の両辺が等しいことがわかる。\nStep 2. \\(X\\) が \\(\\mathcal{G}\\)-可測集合の線形和である場合 # この場合は、\\(\\exists B_1, \\ldots, B_n, \\alpha_1, \\ldots, \\alpha_n\\), s.t.\n$$ X = \\sum_{i=1} \\alpha_i \\mathbf{1}_{B_i} $$であるため、\n$$ \\begin{aligned} E[XY \\mid \\mathcal{G}] \u0026= E[(\\sum_i \\alpha_i \\mathbf{1}_{B_i}) Y \\mid \\mathcal{G}] \\cdots (a)\\\\ \u0026= \\sum_i \\alpha_i E[\\mathbf{1}_{B_i} Y \\mid \\mathcal{G}] \\cdots (b)\\\\ \u0026= \\sum_i \\alpha_i\\mathbf{1}_{B_i} E[Y \\mid \\mathcal{G}] \\cdots (c)\\\\ \u0026= X E[Y \\mid \\mathcal{G}] \\end{aligned} $$となり等式が等しいことがわかる。(a) → (b)では条件付き期待値の線形性を、(b)→(c)ではStep 1を用いている。\nStep 3. \\(X, Y\\) がともに非負r.v.である場合 # この場合、\\(X\\)を指示関数の線形和(このような関数は単関数と呼ばれる)の単調増大極限で表される(単関数近似)。 すなわち、\\((X_n)_{n=1}^\\infty\\)を単関数の単調増大列で、\\(X_n \\nearrow X\\) (a. s. )を満たすものとする。 このとき次が成立する。\n\\(X_n \\nearrow X\\)であるため、\\((X_n Y)_{n=1}^\\infty\\) は単調増大列であり、\\(XY\\) に概収束する。 よって条件付き期待値の単調収束定理より \\(E[X_n Y \\mid \\mathcal{G}] \\nearrow E[XY \\mid \\mathcal{G}]\\) \\(X_n\\) は単関数であるので、Step. 2より \\(E[X_n Y \\mid \\mathcal{G}] = X_n E[Y \\mid \\mathcal{G}]\\) よって、\n$$ E[XY \\mid \\mathcal{G}] = \\lim_{n\\to \\infty} E[X_n Y \\mid \\mathcal{G}] = \\lim_{n \\to \\infty} X_n E[Y \\mid \\mathcal{G}] = X E[Y \\mid \\mathcal{G}] $$が成立する。\nStep. 4 一般の場合 # \\(X, Y\\)を正の部分と負の部分に分ける。つまり \\(X = X^+ - X^-\\)、\\(Y = Y^+ - Y^-\\)と分け、\\(XY = X^+Y^+ - X^+Y^- - X^-Y^+ + X^-Y^-\\) と分けることで、Step 3と条件付き期待値の線形性を用いて目的の等式が示せる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/identity_on_conditional_expectation_of_conditional_expectation/","section":"数学メモ","summary":"","title":"G-可測な確率変数の条件付き期待値","type":"math_memo"},{"content":" \\(\\mathcal{G}_0\\) が \\(\\mathcal{F}\\) と適合的な \\(\\Omega\\) の高々加算な分割であり、分割の各要素は確率が正であるとする。つまり、\n$$ \\begin{aligned} \\mathcal{G}_0 \u0026\\subset \\mathcal{F} \\text{ (これが適合的の定義)}\\\\ \\mathcal{G}_0 \u0026= (A_n)_{n=1,\\ldots} \\\\ m \\not = n \u0026 \\text{ ならば } A_n \\cap A_m = \\emptyset \\\\ \\cup_{n} A_n \u0026 = \\Omega \\\\ P(A_n) \u0026 \u003e 0 \\end{aligned} $$とする。このとき、\\(\\mathcal{G} = \\sigma(\\mathcal{G}_0)\\) と置くと、\\(\\mathcal{G}\\) は \\(\\mathcal{G}_0\\) の高々可算個の和集合の集まりとなる。つまり:\n$$ \\mathcal{G} = \\{ A_{i_1} \\sqcup A_{i_2} \\sqcup \\cdots \\mid i_1 \u003c i_2 \u003c \\ldots \\} \\cup \\{ \\emptyset \\}. $$このとき、r.v. \\(X\\) の \\(\\mathcal{G}\\) に関する条件付き期待値は次のように表される。\n\\begin{equation} E[X \\mid \\mathcal{G}] = \\sum_n \\frac{E[X, A_n]}{P(A_n)} \\mathbf{1}_{A_n} \\end{equation}\n証明 # \\(X\\) が非負の場合に示せば、\\(X = X^+ - X^-\\) と正負に分ければ一般の場合に証明できる。 そのため \\(X\\) が非負の場合にのみ示せば十分。\n(1) の右辺は \\(\\mathcal{G}\\)-可測であることは明らかなので、\\(\\forall B \\in \\mathcal{G}\\) に対し\n\\begin{equation} \\int_B E[X \\mid \\mathcal{G}] dP = \\int_B \\sum_n \\frac{E[X, A_n]}{P(A_n)} \\mathbf{1}_{A_n} dP \\end{equation}\nを示せばよい。\\(B\\) は空でない限り\n$$ B = A_{i_1} \\sqcup A_{i_2} \\sqcup \\cdots $$と直和で表わされるので、(2)を示すためにはルベーグ積分の領域可算直和に関する性質より次の等式を \\(\\forall j\\) で示せばよい:\n\\begin{equation} \\int_{A_{i_j}} E[X \\mid \\mathcal{G}] dP = \\int_{A_{i_j}} \\sum_n \\frac{E[X, A_n]}{P(A_n)} \\mathbf{1}_{A_n} dP \\end{equation}\n(3) の左辺は条件付き期待値の定義より次に等しい:\n\\begin{equation} \\int_{A_{i_j}} X dP = E[X, A_{i_j}] \\end{equation}\n(3) の右辺はルベーグ積分の単調収束定理より次に等しい:\n\\begin{equation} \\sum_n \\frac{E[X, A_n]}{P(A_n)} \\int_{A_{i_j}} \\mathbf{1}_{A_n} dP \\end{equation}\n\\(\\int_{A_{i_j}} \\mathbf{1}_{A_n} dP\\) は \\(A_{i_j} = A_n\\) である場合のみ正で、それ以外では0であるので(5)は\n\\begin{equation} \\frac{E[X, A_{i_j}]}{P(A_{i_j})} \\int_{A_{i_j}} \\mathbf{1}_{A_{i_j}} dP = \\frac{E[X, A_{i_j}]}{P(A_{i_j})} P(A_{i_j}) = E[X, A_{i_j}] \\end{equation}\nと等しい。(4)と(6)が一致するので(3)が成立する。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/conditional_expectation_on_a_partition/","section":"数学メモ","summary":"","title":"分割から生成されるσ-代数に対する条件付き期待値","type":"math_memo"},{"content":" \\(n \\times n\\) 行列 \\(A\\) に対し、固有値の集合\n$$ \\sigma(A) = \\{ \\lambda \\in \\C \\mid \\det(\\lambda I_n - A) = 0 \\} $$をスペクトルと呼ぶ。スペクトルの補集合 \\(\\rho(A) = \\C \\backslash \\sigma(A)\\) をレゾルベント集合と呼ぶ。 \\(s \\in \\rho(A)\\) ならば \\(s I_n - A\\) は正則なので、逆行列が定義できる。この逆行列\n$$ R(s, A) = (s I_n - A)^{-1} $$をレゾルベント(行列)と呼ぶ。\nスペクトル半径 # スペクトル半径 \\(r(A)\\) を\n$$ r(A) = \\lim_{n \\to \\infty} (\\|A^n\\|)^{1/n} $$として定義する(これの収束性は後で証明する)。すると \\(\\|A^n\\| \\leq \\|A\\|^n \\) より\n$$ r(A) \\leq \\|A\\| $$が成立することがわかる。\nまた、スペクトル半径は固有値の絶対値の中で最大のものと一致する。つまり\n$$ r(A) = \\max_{\\lambda \\in \\sigma(A)} \\abs{\\lambda} $$が成立する。\n無限級数 # \\(|s| \u003e r(A)\\) ならば \\(s \\in \\rho(A)\\) となりレゾルベントを持ち、 この行列は以下の無限級数で表現できる。\n$$ \\sum_{i=0}^\\infty \\frac{A^i}{s^{i+1}} $$ 証明 # スペクトル半径について # ジョルダン標準形の証明より、\\(\\C^n\\) は次のように分解される。\n$$ \\C^n = \\bigoplus_{\\lambda \\in \\sigma(A)} \\ker (\\lambda I - A)^{n_\\lambda} $$\\(P_\\lambda\\) を上の分解に対応する \\(\\C^n\\) から \\( \\ker (\\lambda I - A)^{n_\\lambda} \\) への射影とし、 任意の \\(u \\in \\C^n\\) に対して \\(u_\\lambda = P_\\lambda u \\) とする。すると \\( u = \\sum_{\\lambda \\in \\sigma(A)} u_\\lambda\\) と分解できる。\nこのとき、\\( \\mu = \\max_{\\lambda \\in \\sigma(A)} \\abs{\\lambda}\\)、\\( R = \\max_{\\lambda \\in \\sigma(A)} \\|A - \\lambda I\\| \\) と置くと\n$$ \\begin{aligned} \\|A^n u\\| \u0026= \\|A^n(\\sum_\\lambda u_\\lambda)\\| = \\|\\sum_\\lambda [(A - \\lambda I) + \\lambda I]^n u_\\lambda\\| = \\|\\sum_\\lambda \\sum_{i=0}^n (A - \\lambda I)^i \\lambda^{n-i} u_\\lambda\\| = \\|\\sum_\\lambda \\sum_{i=0}^{n_\\lambda - 1} (A - \\lambda I)^i \\lambda^{n-i} u_\\lambda\\| \\\\ \u0026\\leq \\sum_\\lambda \\sum_{i=0}^{n_\\lambda - 1} \\|A - \\lambda I\\|^i \\abs{\\lambda}^{n-i} \\|u_\\lambda\\| \\\\ \u0026\\leq \\sum_\\lambda \\sum_{i=0}^{n_\\lambda - 1} R^i \\mu^{n-i} \\|u_\\lambda\\| = \\sum_\\lambda \\mu^n \\frac{1 - (R/\\mu)^{n_\\lambda}}{1 - (R/\\mu)} \\|u_\\lambda\\| = \\sum_\\lambda \\mu^n \\frac{1 - (R/\\mu)^{n_\\lambda}}{1 - (R/\\mu)} \\|P_\\lambda u\\| \\leq \\sum_\\lambda \\mu^n \\frac{1 - (R/\\mu)^{n_\\lambda}}{1 - (R/\\mu)} \\|P_\\lambda\\|\\|u\\| \\ \\cdots (*)\\\\ \\end{aligned} $$ここで、\n$$ C := \\max_{\\lambda \\in \\sigma(A)} \\frac{1 - (R/\\mu)^{n_\\lambda}}{1 - (R/\\mu)}\\|P_\\lambda\\| $$と置くと、\n$$ (*) \\leq \\mu^n C\\#\\sigma(A) \\|u\\| $$よって \\( u \\not = 0 \\) のとき\n$$ \\frac{\\|A^nu\\|}{\\|u\\|} \\leq \\mu^n C \\#\\sigma(A) $$なので\n$$ \\|A^n\\| \\leq \\mu^n C \\#\\sigma(A) $$一方、絶対値最大を実現する固有値を \\(\\lambda_{\\max}\\)、この固有値に対応する0でないの固有ベクトルを \\(u_{\\max}\\)、とすると\n$$ \\mu^n\\|u_{\\max}\\| = \\abs{\\lambda_{\\max}^n}\\|u_{\\max}\\| = \\|\\lambda_{\\max}^n u_{\\max}\\| = \\|A^n u_{\\max}\\| \\leq \\|A^n\\| \\|u_{\\max}\\| $$より \\(\\mu^n \\leq \\|A^n\\|\\) である。よって\n$$ \\mu \\leq \\|A^n\\|^{1/n} \\leq \\mu (C\\cdot \\#\\sigma(A) )^{1/n} $$より \\(n \\to \\infty\\)とすると\n$$ \\|A^n\\|^{1/n} \\to \\mu $$が示される。\n無限級数の収束性 # まず、\\( \\sum_{i=0}^n A^i / s^{i+1} \\) が \\(n\\) に関してコーシー列であることを示す。 \\(n \u003c m\\) に対して\n$$ \\|\\sum_{i=0}^m A^i / s^{i+1} - \\sum_{i=0}^n A^i / s^{i+1}\\| = \\|\\sum_{i=n+1}^m A^i / s^{i+1} \\| \\leq \\sum_{i=n+1}^m \\|A^i\\| / \\abs{s}^{i+1} $$ここで \\(\\|A^i\\|^{1/i} \\to r(A)\\) より \\(\\|A^i/s^i\\|^{1/i} \\to r(A)/s \u003c 1\\)、よって適当な \\(0 \u003c r \u003c 1\\) が存在し、十分大きな \\(n\\) に対し \\(i \u003e n\\) ならば \\(\\|A^i/s^i\\|^{1/i} \u003c r\\) が成立する。つまり \\(\\|A^i/s^i\\| \u003c r^i\\) なので\n十分大きな \\(n\\) に対して\n$$ \\sum_{i=n+1}^m \\|A^i\\| / \\abs{s}^{i+1} = \\frac{1}{\\abs{s}} \\sum_{i=n+1}^m r^i = \\frac{1 - r^{m-n}}{sr^{n+1}(1 - r)} $$この右辺は \\(n \\to \\infty\\) で 0 に収束するので目標の列はコーシー列であることがわかり、無限級数は収束することがわかる。\nそこでこの収束先が \\(sI - A\\) の逆行列であることを示す。そのため \\((s I - A) \\sum_{i=0}^n A^i / s^{i+1}\\) を計算する。\n$$ (s I - A) \\sum_{i=0}^n A^i / s^{i+1} = \\sum_{i=0}^n A^i / s^{i} - \\sum_{i=0}^n A^{i+1} / s^{i+1} = A^0/s^0 - A^{n+1} / s^{n+1} = I - A^{n+1} / s^{n+1} $$\\(\\|A^{n+1}\\| / \\abs{s}^{n+1} \\to 0\\) であるため、この右辺は \\(I\\) に収束する。つまり\n$$ (s I - A) \\sum_{i=0}^\\infty A^i / s^{i+1} = I $$である。逆順の積も同様に単位行列であることがわかり、\n$$ (sI - A)^{-1} = \\sum_{i=0}^\\infty A^i/s^{i+1} $$が示された。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/resolvent/","section":"数学メモ","summary":"","title":"スペクトルとレゾルベント","type":"math_memo"},{"content":" \\(\\mathcal{F}\\)の部分σ-代数 \\(\\mathcal{G}\\) と、\\(A \\in \\mathcal{G}\\) に対し、 \\(\\mathcal{G}\\)-可測なr.v. \\(P(A \\mid \\mathcal{G})\\) を次のように定義する。\n$$ P(A \\mid \\mathcal{G}) = E[\\mathbb{1}_A \\mid \\mathcal{G}] $$ただし \\(\\mathbb{1}_A\\) は \\(A\\) の指示関数を意味する。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/conditional_probability/","section":"数学メモ","summary":"","title":"条件付き確率","type":"math_memo"},{"content":" 部分σ-代数に対する条件付き確率は基本的な条件付き確率:\n$$ P(A \\mid B) = \\frac{P(A \\cap B )}{P(B)} $$と似ているように見えないが、同じ名前が付いているのだから何らかの関連性があるべきである。 実は、分割から生成されるσ-代数に対する条件付き期待値の命題から、 部分σ-代数 \\(\\mathcal{G}\\) が高々可算分割 \\((B_n)_{n=1,\\ldots}\\) から生成されている場合は次のことが言える。\n$$ P(A \\mid \\mathcal{G}) = \\sum_n \\frac{P(A \\cap B_n)}{P(B_n)} \\mathbf{1}_{B_n} $$これは事象に対する条件付き確率を用いると\n$$ P(A \\mid \\mathcal{G}) = \\sum_n P(A \\mid B_n) \\mathbf{1}_{B_n} $$と表わされる。つまり、\\(\\omega \\in B_n\\) ならば\n$$ P(A \\mid \\mathcal{G})(\\omega) = P(A \\mid B_n) $$なのである。この左辺の記号はσ-代数に関する条件付き確率で右辺は事象に対する条件付き確率である。 つまり、\\(P(A \\mid \\mathcal{G})\\) は \\(P(A \\mid B_n)\\) という形の条件付き確率の情報を(比較的)自然な形で全て含んでいるのである。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/validity_of_conditional_probability/","section":"数学メモ","summary":"","title":"部分σ-代数に対する条件付き確率の妥当性","type":"math_memo"},{"content":" 統計学では確率変数で条件付けられた条件付き確率 \\(P(A \\mid X=x)\\) や条件付き期待値 \\(E[Y \\mid X=x]\\) がよく考えられる。 確率変数が生成するσ-代数によって条件付けられた 条件付き期待値や条件付き確率 \\(E[Y \\mid \\sigma(X)], P(A \\mid \\sigma(X))\\) の性質について調べる。\n記法 # \\(E[Y \\mid \\sigma(X)], P(A \\mid \\sigma(X))\\) はそれぞれ \\(E[Y \\mid X], P(A \\mid X)\\) とも表すこととする。\nドゥーブ・ディンキン (Doob-Dynkin) の補題 # 詳しくは ドゥーブ・ディンキンの補題 を参照。\n条件付き期待値がボレル可測関数\\(f\\)によって\n$$ E[Y \\mid X] = f(X) $$と表現することが可能であることを保証する定理。\n\\(L^2\\) 最良近似 # \\(X\\) が二乗可積分の場合、\\(E[X \\mid Z]\\) は \\(X\\) をデータ \\(Z\\) から推定する時の \\(L^2\\) 最良近似となる。 ドゥーブ・ディンキンの補題によって存在が保証されている \\(f(Z) := E[X \\mid Z]\\) となるボレル可測関数 \\(f\\) は、次の期待二乗誤差を最小にする。\n$$ f = \\argmin_{\\phi:\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}, Borel可測} E[(X - \\phi(Z))^2] $$詳しくは期待値のL2内積と条件付き期待値参照。\n確率変数の独立性との関連 # 次の2つの定理が成り立つ。\n(1) \\(X\\) と \\(Y\\) が独立であるとき、\n$$ E[X \\mid Y] = E[X] \\text{ (a.s.) } $$である。独立の場合、左辺のr.v.が右辺のような定数になることを言っている。\n(2) 置換公式\n\\(X\\), \\(Y\\) が独立なr.v.で、\\(g: \\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}\\)はボレル可測写像とする。このとき、Borel可測関数 \\(h: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\\) を\n$$ h(y) := E[g(X, y)] $$で定義すると、\n$$ E[g(X, Y) \\mid Y] = h(Y) $$が成立する。\n証明 # 確率変数の独立性と条件付き期待値を参照。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/conditional_expectation_on_a_sigma_algebra_generated_by_random_variable/","section":"数学メモ","summary":"","title":"確率変数が生成するσ-代数による条件付き期待値","type":"math_memo"},{"content":" 統計学では確率変数で条件付けられた条件付き確率 \\(P(A \\mid X=x)\\) がよく考えられる。 確率変数が生成するσ-代数によって条件付けられた 条件付き期待値や条件付き確率 \\(E[Y \\mid \\sigma(X)], P(A \\mid \\sigma(X))\\) と 確率変数で条件付けられた条件付き確率や条件付き期待値の関係を理解するための基本的な定理がこの補題である。\n定理 \\(X, Y\\) を r.v. とする。次の2つは同値である。\n\\(Y\\) は \\(\\sigma(X)\\)-可測である \\(Y\\) はあるボレル可測関数 \\(f:\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\\) によって \\(Y = f(X)\\) と表すことができる 特に \\(E[Y \\mid \\sigma(X)]\\) は \\(\\sigma(X)\\)-可測であるので、\n$$ E[Y \\mid \\sigma(X)] = f(X) $$となるボレル可測関数 \\(f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\\) が常に存在することがわかる。\n証明 # 2 -\u0026gt; 1 は明らかなので、1 -\u0026gt; 2を示す。証明は、次の4つのステップで示される。\n\\(Y\\) が指示関数の場合 \\(Y\\) が単関数の場合 \\(Y\\) が正値の場合 一般の場合 Step 1. \\(Y\\) が指示関数の場合 # \\(Y = \\mathbf{1}_A\\), \\(A \\in \\sigma(X)\\) の場合。 このとき、\\(\\sigma(X) = \\{X^{-1}(B) \\mid B \\in \\mathcal{B}\\}\\) (\\(\\mathcal{B}\\) は \\(\\mathbb{R}\\) のボレル集合族) であるため、\\(\\exists B \\in \\mathcal{B}\\) s.t. \\(A = X^{-1}(B)\\)。\nすると、\n$$ \\mathbf{1}_A = \\mathbf{1}_{X^{-1}(B)} = \\mathbf{1}_{B}(X) $$であるため、\\(f = \\mathbf{1}_B\\) とすればよい。\nStep 2. 2. \\(Y\\) が単関数の場合 # \\(Y = \\sum_{n=1}^N \\alpha_n \\mathbf{1}_{A_n}\\) の場合、Step 1. より \\(\\exists B_1, \\ldots, B_N\\) s.t.\n$$ Y = \\sum_{n=1}^N \\alpha_n \\mathbf{1}_{B_n}(X) $$となるため、\\(f = \\sum_{n=1}^N \\alpha_n \\mathbf{1}_{B_n}\\) とすればよい。\nStep 3. \\(Y\\) が正値の場合 # この場合は、単関数近似によって、\\(\\exists (Y_n)_n\\): 単関数の増大列 s.t. \\(Y_n \\nearrow Y\\) とできる。 Step 2.の結果によって、各 \\(n\\) に対して \\(\\exists f_n: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\\), ボレル可測関数 s.t. \\(Y_n = f_n(X)\\)、となる。\nすると、\\(f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\\) を \\(f := \\limsup_{n \\to \\infty} f_n\\)で定義すると、\\(f\\) は常に定義可能でボレル可測関数である。このとき\\(f(X) = \\limsup_{n \\to \\infty} f_n(X)\\)である。\n\\(\\because\\) \\(\\forall \\omega \\in \\Omega\\) に対して \\(f_n(X(\\omega)) = Y_n(\\omega)\\)。両辺 \\(\\limsup_{n \\to \\infty}\\) を取ると、 左辺は \\(f(X(\\omega))\\) に、右辺は \\(\\lim_{n \\to \\infty} Y_n(\\omega) = Y(\\omega)\\) に収束するため \\(f(X) = Y\\) が得られる。\nStep 4. 一般の場合 # この場合は \\(Y = Y^+ - Y^-\\) と分解してそれの\\(Y^+, Y^-\\)に対してボレル可測関数で表現すればよい。\n拡張 # この補題は、条件付けるr.v.が複数個、また可算個の場合も成立する。\n定理 \\(X_1, \\ldots, X_N, Y\\) を r.v. とする。次の2つは同値である。\n\\(Y\\) は \\(\\sigma(X_1, \\ldots, X_N)\\)-可測である \\(Y\\) はあるボレル可測関数 \\(f:\\mathbb{R}^N \\to \\mathbb{R}\\) によって \\(Y = f(X_1, \\ldots, X_N)\\) と表すことができる 可算個の場合は、\\(f:\\mathbb{R}^\\infty \\to \\mathbb{R}\\) というボレル可測関数を考えることとなる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/doob_dynkin_lemma/","section":"数学メモ","summary":"","title":"ドゥーブ・ディンキンの補題","type":"math_memo"},{"content":" \\(\\mathbb{R}\\)-確率変数で、二乗可積分、つまり \\(E[\\|X\\|^2] \u003c \\infty\\) であるものの集合は、\n$$ \\left\u003c X, Y\\right\u003e = E[XY] $$という内積で内積空間となる。a.s. で等しい確率変数は同じものであるとみなすと、この空間は完備(つまりヒルベルト空間)となる。 この空間は \\(L^2(\\Omega, \\mathcal{F}, P)\\) と表す。\n部分空間 # \\(\\mathcal{G}\\) を \\(\\mathcal{F}\\) の部分σ-代数とし、確率変数を \\(\\mathcal{G}\\)-可測なものに制限した \\(L^2(\\Omega, \\mathcal{G}, P)\\) を考えよう。すると \\(L^2(\\Omega, \\mathcal{G}, P)\\) は \\(L^2(\\Omega, \\mathcal{F}, P)\\) の閉部分空間となる。\n証明\n部分空間になることは自明なので、閉であることを示せばよい。すなわち \\(X_n \\in L^2(\\Omega, \\mathcal{F}, P)\\) が \\(X\\) に \\(L^2\\) で収束するとき、\\(X\\) も \\(L^2(\\Omega, \\mathcal{F}, P)\\) に含まれることを示せばよい。 \\(X\\) が二乗可積分であることは明らかなので、\\(\\mathcal{G}\\)-可測であることを示せばよい。\nここで、次の2つの定理より上の事実が言える。\n\\(X\\) に \\(L^2\\) 収束する可測関数の列は、\\(X\\) に概収束する列を部分列として持つ。 \\(\\mathcal{G}\\)-可測なr.v.の列が概収束するとき、その収束先は \\(\\mathcal{G}\\)-可測である。 直交性 # ここでは部分σ-代数が確率変数 \\(Y\\) で生成される場合を考える。すると、\\(X - E[X \\mid Y]\\) は \\(L^2(\\Omega, \\sigma(Y), P)\\) の任意の元と直交する。つまり \\(X - E[X \\mid Y] \\in L^2(\\Omega, \\sigma(Y), P)^{\\perp}\\)。\n証明 \\(Z \\in L^2(\\Omega, \\sigma(Y), P)\\) とする。すると\\(\\mathcal{G}\\)-可測な確率変数の条件付き期待値の定理を用いて\n$$ E[(X - E[X \\mid Y])Z \\mid Y] = Z E[X - E[X \\mid Y] \\mid Y] = Z (E[X \\mid Y] - E[E[X \\mid Y] \\mid Y]) = Z(E[X \\mid Y] - E[X \\mid Y]) = 0 $$よって、\n$$ E[E[(X - E[X \\mid Y])Z \\mid Y]] = E[(X - E[X \\mid Y])Z] $$であり、この左辺は0であるので、右辺が0であることがわかる。\n\\(L^2\\) 最良近似 # ドゥーブ・ディンキンの補題より、 \\(f(Z) = E[X \\mid Z]\\) となるボレル可測関数 \\(f\\) が存在する。\n実は、この関数は以下の期待二乗誤差を最小化する関数である。\n$$ f = \\argmin_{\\phi:\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}, Borel可測} E[(X - \\phi(Z))^2] $$これは、内積空間の視点から言うと、\\(X\\) の \\(L^2(\\Omega, \\sigma(Z), P)\\) への直交射影は \\(E[X \\mid Z]\\) であることを意味する。 統計的推定の視点から言うと、\\(Z\\) という情報から \\(X\\) を推定する場合、その推定の善し悪しを期待二乗誤差で測ることとすると \\(E[X \\mid Z]\\) が最適であることを意味する。\n証明\nこれは、以下の不等式を示せばよい。\n$$ E[(X - \\phi(Z))^2] \\geq E[(X - f(Z))^2] $$右辺は \\(E[(X - E[X\\mid Z])^2]\\) であるので、\n$$ E[(X - \\phi(Z))^2] \\geq E[(X - E[X\\mid Z])^2] $$を示せばよい。そこで、\n$$ \\begin{aligned} E[(X - \\phi(Z))^2] \u0026= E[\\left((X - E[X\\mid Z]) + (E[X \\mid Z] -\\phi(Z))\\right)^2] \\\\ \u0026 = E[(X - E[X\\mid Z])^2] + 2E[(X - E[X\\mid Z])(E[X \\mid Z] -\\phi(Z))] + E[(E[X \\mid Z] -\\phi(Z))^2] \\ \\cdots (a)\\\\ \u0026 = E[(X - E[X\\mid Z])^2] + E[(E[X \\mid Z] -\\phi(Z))^2] \\ \\cdots (b) \\\\ \u0026 \\geq E[(X - E[X\\mid Z])^2] \\end{aligned} $$ここで(a)と(b)の等号は、 \\(E[X \\mid Z] -\\phi(Z)\\) は \\(\\sigma(Z)\\)-可測であるので、上で示した直交性を用いると第2項が0であることがわかる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/l2_inner_product_and_conditional_expectation/","section":"数学メモ","summary":"","title":"期待値のL2内積と条件付き期待値","type":"math_memo"},{"content":" 独立な確率変数による条件付け # \\(X\\) と \\(Y\\) が独立であるとき、\n$$ E[X \\mid Y] = E[X] \\text{ (a.s.) } $$である。独立の場合、左辺のr.v.が右辺のような定数になることを言っている。\n証明 # \\(E[X \\mid Y]\\) は \\(\\sigma(Y)\\)-可測なので、この等式を示すには、\\(\\forall A \\in \\sigma(Y)\\) に対して\n$$ \\int_A E[X \\mid Y] dP = \\int_A E[X] dP $$を示せばよい。この式の左辺は条件付き期待値の定義より \\(\\int_A X dP\\) で、右辺は \\(P(A) E[X]\\) であるので、\n$$ \\int_A X dP = P(A) E[X] $$を示せばよい。\\(A \\in \\sigma(Y)\\) より、\\(\\exists B \\in \\mathcal{B}(\\mathbb{R})\\) s.t. \\(A = Y^{-1}(B)\\)。よって\n$$ \\int_A X dP = \\int_{Y^{1}(B)} X dP = \\int \\mathbf{1}_{Y^{-1}(B)} X dP = \\int \\mathbf{1}_{B}(Y) X dP = E[\\mathbf{1}_{B}(Y) X] $$すると、この式は \\(X\\) と \\(Y\\) の独立性より\n$$ = E[\\mathbf{1}_{B}(Y)] E[X] = E[\\mathbf{1}_{A}] E[X] = P(A) E[X] $$となり、求める等式が得られる。\n置換公式 (substitution law, freezing law) # \\(X\\), \\(Y\\) が独立なr.v.で、\\(g: \\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}\\)はボレル可測写像とする。このとき、Borel可測関数 \\(h: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\\) を\n$$ h(y) := E[g(X, y)] $$で定義すると、\n$$ E[g(X, Y) \\mid Y] = h(Y) $$が成立する。\n証明\n証明の中心となるのはフビニの定理である。(1) \\(h(Y)\\) が \\(\\sigma(Y)\\) 可測であること (2) \\(\\int_A g(X, Y) dP = \\int_A h(Y) dP\\) が任意の \\(A \\in \\sigma(Y)\\) で成立すること、の2つが示されれれば、測度論の一般論より目標の等式が得られる。\n(1) については、\n$$ \\begin{aligned} h(y) \u0026 = \\int g(X, y) dP = \\int g(x, y) X_*(P)(dx) \\end{aligned} $$である(\\(X_*(P)\\) は像測度である)が、この右辺はフビニの定理より変数 \\(y\\) に関して可測である。\n(2) については、まず \\(A \\in \\sigma(Y)\\) より \\(\\exists B\\in \\mathcal{B}(\\mathbb{R}) A\\) s.t. \\(A = Y^{-1}(B)\\) となることがポイントとなる。 (2) の式の右辺は\n$$ \\int_A h(Y) dP = \\int \\mathbf{1}_{A} h(Y) dP = \\int \\mathbf{1}_B(Y) h(Y) dP = \\int \\mathbf{1}_B(y) h(y) Y_*(P)(dy) = \\int \\int \\mathbf{1}_B(y) g(x, y) X_*(P)(dx) Y_*(P)(dy) = \\int \\int \\mathbf{1}_B(y) g(x, y) (X_*(P) \\times Y_*(P))(dx dy) $$となる(最後の等式はフビニの定理を用いている)。確率変数の独立性より、この右辺に現れる \\(X_*(P) \\times Y_*(P)\\) という直積測度は \\((X,Y)_*(P)\\)という同時分布測度と等しい。 よって、これは\n$$ \\int 1_B(Y) g(X, Y) dP $$と等しく、\\(A = Y^{-1}(B)\\) よりこれは \\(\\int_A g(X, Y) dP\\)と等しい。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/independence_of_random_variables_and_conditional_expectation/","section":"数学メモ","summary":"","title":"確率変数の独立性と条件付き期待値","type":"math_memo"},{"content":" \\(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_n\\) に対して行列\n$$ V = V(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_n) = \\begin{bmatrix} 1 \u0026 \\lambda_1 \u0026 \\lambda_1^2 \u0026 \\cdots \\lambda_1^{n-1} \\\\ \\vdots \u0026\u0026\u0026 \\vdots \\\\ 1 \u0026 \\lambda_n \u0026 \\lambda_n^2 \u0026 \\cdots \\lambda_n^{n-1} \\\\ \\end{bmatrix} $$をヴァンデルモンド行列(Vandermonde matrix)と呼ぶ。\n活用法 # \\(f(s) = a_0 + a_1 s + \\cdots + a_{n-1} s^{n-1}\\) という \\(n-1\\) 次多項式を考える。\n\\(f(\\lambda_i) = b_i\\) for \\(i=1, \\ldots, n\\) という \\(n\\) 個の等式から \\(a_0, \\ldots, a_{n-1}\\) という定数を決定する問題を考える。 これは \\(\\{(\\lambda_i, b_i) \\in \\R^2 \\mid i = 1, \\ldots, n \\}\\) という \\(n\\) 点を通る曲線を \\(n-1\\) 次多項式として決定する問題、つまり多項式による曲線補完である。 すると方程式は\n$$ V(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_n) \\begin{bmatrix} a_0 \\\\ \\vdots \\\\ a_{n-1} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} b_0 \\\\ \\vdots \\\\ b_{n-1} \\end{bmatrix} $$とヴァンデルモンド行列で表現される。そこでこの行列が正則かどうか、逆行列はどのように計算されるか、が問題となる。\n行列式 # 正則性を調べる一つの方法として、行列式を計算する方法がある。ヴァンデルモンド行列の行列式は次の表式があることが知られている。\n$$ \\det V(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_n) = \\prod_{1 \\leq i \u003c j \\leq n} (\\lambda_j - \\lambda_i) $$よって、\\(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_n\\) が互いに異なることが、ヴァンデルモンド行列の正則性の必要十分条件となる。\n合流型ヴァンデルモンド行列 # \\(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_K\\) と \\(n_1 + \\cdots + n_K = n\\) を満たす正の整数 \\(n_1, \\ldots, n_K\\) に対し、 次の \\(n \\times n\\) 行列を合流型ヴァンデルモンド行列(Confluent Vandermonde matrix)と呼ぶ。\n$$ CV(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_K, n_1, \\ldots, n_K) = \\begin{bmatrix} 1 \u0026 \\lambda_1 \u0026 \\cdots \u0026 \u0026 \u0026 \\lambda_1^{n-1}\\\\ \u0026 1 \u0026 2 \\lambda_1 \u0026 \\cdots \u0026 \u0026 (n-1)\\lambda_1^{n-2}\\\\ \u0026 \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 1 \u0026 \\cdots \u0026 \\frac{(n-1)!}{(n-n_1)!} \\lambda_1^{n - n_1} \\\\ 1 \u0026 \\lambda_2 \u0026 \\cdots \u0026 \u0026 \u0026 \\lambda_2^{n-1} \\\\ \u0026 1 \u0026 2 \\lambda_2 \u0026 \\cdots \u0026 \u0026 (n-1)\\lambda_2^{n-2}\\\\ \u0026 \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 1 \u0026 \\cdots \u0026 \\frac{(n-1)!}{(n-n_2)!} \\lambda_2^{n - n_2} \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \\vdots \\\\ 1 \u0026 \\lambda_K \u0026 \\cdots \u0026 \u0026 \u0026 \\lambda_K^{n-1} \\\\ \u0026 1 \u0026 2 \\lambda_K \u0026 \\cdots \u0026 \u0026 (n-1)\\lambda_K^{n-2}\\\\ \u0026 \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 1 \u0026 \\cdots \u0026 \\frac{(n-1)!}{(n-n_K)!} \\lambda_K^{n - n_K} \\\\ \\end{bmatrix} $$これはヴァンデルモンド行列の一般化で、似たような性質を持っている。詳しくは次を参照： 合流型ヴァンデルモンド行列 。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/vandermonde_matrix/","section":"数学メモ","summary":"","title":"ヴァンデルモンド行列","type":"math_memo"},{"content":" r.v \\(X_1, \\ldots, X_N\\) が 交換可能 (exchangeable) であるとは、任意の置換 \\(\\pi \\in S_N\\) に対して、 \\((X_1, \\ldots, X_N)\\) と \\(X_{\\pi(1)}, \\ldots, X_{\\pi(N)}\\) の分布(像測度)等しいこと、すなわち\n$$ (X_1, \\ldots, X_N)_* P = (X_{\\pi(1)}, \\ldots, X_{\\pi(N)})_* P $$であることである。\n独立同分布ならば交換可能 # \\(X_1, \\ldots, X_N\\) が i.i.d. (独立同分布) ならば交換可能である。\n証明 独立性より、\n$$ (X_1, \\ldots, X_N)_* P = (X_1)_*P \\times \\cdots \\times (X_N)_*P $$同分布より\n$$ (X_i)_*P = (X_j)_*P \\text{ for all } 1 \\leq i, j \\leq N $$この2つより示される。\n期待値による交換可能性の特徴付け # \\(X_1, \\ldots, X_N\\) が交換可能であることと、次は同値。\n\\(\\forall \\pi \\in S_n\\)、\\(\\forall g: \\mathbb{R}^N \\to \\mathbb{R}\\): Borel可測、に対して \\(E[g(X_1, \\ldots, X_N)] = E[g(X_{\\pi(1)}, \\ldots, X_{\\pi(N)})]\\) 証明\n(⇒)\n$$ \\begin{aligned} E[g(X_1, \\ldots, X_N)] \u0026= \\int g(X_1, \\ldots, X_N) dP \\\\ \u0026=\\int g(x_1, \\ldots, x_N) (X_1, \\ldots, X_N)_*P(dx_1 \\cdots dx_N) \\\\ \u0026=\\int g(x_1, \\ldots, x_N) (X_{\\pi(1)}, \\ldots, X_{\\pi(N)})_*P(dx_1 \\cdots dx_N) \\\\ \u0026=\\int g(X_{\\pi(1)}, \\ldots, X_{\\pi(N)}) dP \\\\ \u0026= E[g(X_{\\pi(1)}, \\ldots, X_{\\pi(N)})] \\end{aligned} $$(⇐) \\(\\forall A \\in \\mathcal{B}(\\mathbb{R}^N)\\) に対し、\n$$ (X_1, \\ldots, X_N)_*P(A) = (X_{\\pi(1)}, \\ldots, X_{\\pi(N)})_*P(A) $$を示せばよい。左辺は\n$$ P((X_1, \\ldots, X_N) \\in A) $$と等しく、これは\n$$ \\int \\mathbf{1}_A(X_1, \\ldots, X_N) dP $$に等しく、\\(\\mathbf{1}_A\\) はBorel可測なので\n$$ \\int \\mathbf{1}_A(X_{\\pi(1)}, \\ldots, X_{\\pi(N)}) dP = (X_{\\pi(1)}, \\ldots, X_{\\pi(N)})_*P(A) $$と等しい。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/exchangeability/","section":"数学メモ","summary":"","title":"確率変数の交換可能性","type":"math_memo"},{"content":" \\(\\pi \\in S_N\\): 置換に対し、座標入れ替え写像 \\(\\phi_{\\pi}: \\mathbb{R}^N \\to \\mathbb{R}^N\\) を\n$$ \\phi_{\\pi}(x_1, \\ldots, x_N) = (x_{\\pi(1)}, \\ldots, x_{\\pi(N)}) $$で定義する。\\(B \\in \\mathcal{B}(\\mathbb{R}^N)\\) が対称であるとは \\(\\forall \\pi \\in S_N\\) に対し \\(\\phi_{\\pi}(B) = B\\) が成立することである。\n\\(X_1, \\ldots, X_N\\) から生成される交換可能σ-代数を次の \\(\\mathcal{E}\\) で定義する。\n$$ \\begin{aligned} \\hat{\\mathcal{E}}_N \u0026= \\{ B \\in \\mathcal{B}(\\mathbb{R}^N) \\mid B \\text{ は対称 } \\} \\\\ \\mathcal{E} \u0026= \\{ (X_1, \\ldots, X_N)^{-1}(B) \\mid B \\in \\hat{\\mathcal{E}}_N \\} \\end{aligned} $$ 定義の妥当性 # \\(\\hat{\\mathcal{E}_N}\\) がσ-代数であることがわかれば、\\(\\mathcal{E}\\) はσ-代数の可測関数による引き戻しなので、これもσ-代数であることがわかる。 そこで \\(\\hat{\\mathcal{E}_N}\\) がσ-代数であることを示す。\n\\(\\emptyset \\in \\hat{\\mathcal{E}_N}\\) は明らか \\(B \\in \\hat{\\mathcal{E}}_N\\) のとき、\\(\\mathbb{R}^N \\backslash B \\in \\hat{\\mathcal{E}}_N\\) を示す。 \\(\\forall \\pi \\in S_N\\) を固定する。 \\((x_1, \\ldots, x_N) \\in \\mathbb{R}^N \\backslash B\\) ⇔ \\((x_1, \\ldots, x_N) \\not\\in B\\) ⇔ \\((x_{\\pi(1)}, \\ldots, x_{\\pi(N)}) \\not\\in B\\) ⇔ \\((x_{\\pi(1)}, \\ldots, x_{\\pi(N)}) \\in \\mathbb{R}^N \\backslash B\\) よりわかる。 \\(B_i \\in \\hat{\\mathcal{E}}_N\\) for \\(i=1,\\ldots\\) のとき、 \\(\\cup_i B_i \\in \\hat{\\mathcal{E}}_N\\) を示す。 これは、\\((x_1, \\ldots, x_N) \\in \\cup_i B_i\\) ⇔ \\(\\exists i\\) s.t. \\((x_1, \\ldots, x_N) \\in B_i\\) という事実から簡単にわかる。 基本的性質 # \\(\\hat{\\mathcal{E}}_N \\subset \\mathcal{B}(\\mathbb{R}^N)\\) であるため、\\(\\mathcal{E} \\subset \\sigma(X_1, \\ldots, X_N)\\) である。 交換可能σ-代数での条件付け # \\(X_1, \\ldots, X_N\\) を交換可能なr.v.、 \\(\\mathcal{E}\\) を上で定義した交換可能σ-代数とすると、\\(\\forall i, j\\) に対し\n$$ E[X_i \\mid \\mathcal{E}] = E[X_j \\mid \\mathcal{E}] $$が成立する。\n証明 # この等式を示すには、2つの確率変数が一致する条件 より、\n$$ E[X_i , A] = E[X_j , A] \\ \\forall A \\in \\mathcal{E} $$を示せばよい。そこで、\\(i \u003c j\\) として \\(A \\in \\mathcal{E}\\) を任意に取る。すると \\(\\mathcal{E}\\) の定義より \\(A = (X_1, \\ldots, X_N)^{-1}(B)\\) となる対称な \\(B \\in \\hat{\\mathcal{E}}_N\\) が存在する。すると、\n$$ \\begin{aligned} E[X_i, A] \u0026 = \\int X_i \\mathbf{1}_A dP \\\\ \u0026= \\int X_i \\mathbf{1}_{(X_1, \\ldots, X_N)^{-1}(B)} dP \\\\ \u0026= \\int X_i \\mathbf{1}_B(X_1, \\ldots, X_N) dP \\\\ \u0026= \\int X_i \\mathbf{1}_B(X_1, \\ldots, X_i, \\ldots, X_j, \\ldots, X_N) dP \\ \\cdots (a) \\\\ \u0026= \\int X_j \\mathbf{1}_B(X_1, \\ldots, X_j, \\ldots, X_i, \\ldots, X_N) dP \\ \\cdots (b) \\\\ \u0026= \\int X_j \\mathbf{1}_B(X_1, \\ldots, X_i, \\ldots, X_j, \\ldots, X_N) dP \\ \\cdots (c) \\\\ \u0026= \\int X_j \\mathbf{1}_{(X_1, \\ldots, X_N)^{-1}(B)} dP \\\\ \u0026= \\int X_j \\mathbf{1}_A dP = E[X_j, A] \\end{aligned} $$(a)と(b)の等式は確率変数の交換可能性の期待値による特徴付けから、 (b)と(c)の等式は \\(B\\) が対称であることから導かれる。\n対称な関数を経由して生成されるσ-代数 # \\(\\psi: \\mathbb{R}^N \\to \\mathbb{R}^M\\) を対称なBorel可測写像(関数)、つまり \\(\\forall \\pi \\in S_N\\) と \\(\\forall x_1 \\ldots x_N \\in \\mathbb{R}\\) に対して\n$$ \\psi(x_1, \\ldots, x_N) = \\psi(x_{\\pi(1)}, \\ldots, x_{\\pi(N)}) $$が成立する写像とする。このとき、\\(X_1, \\ldots, X_N\\) ：r.v. に対して\n$$ \\sigma(\\psi(X_1, \\ldots, X_N)) \\subset \\mathcal{E} $$が成立する。\n証明 # \\((\\psi(X_1, \\ldots, X_N))^{-1}(B) = (X_1, \\ldots, X_N)^{-1}(\\psi^{-1}(B))\\) であるため、 任意の \\(B \\in \\mathcal{B}(\\mathbb{R}^M)\\) に対して \\(\\psi^{-1}(B) \\in \\hat{\\mathcal{E}}_N\\) を示せばよい。そこで、 \\(\\forall \\pi \\in S_N\\) に対して、\n$$ \\begin{aligned} \u0026 (x_1, \\ldots, x_N) \\in \\psi^{-1}(B) \\\\ \\Leftrightarrow \u0026 \\ \\psi(x_1, \\ldots, x_N) \\in B \\ \\cdots (a)\\\\ \\Leftrightarrow \u0026 \\ \\psi(x_{\\pi(1)}, \\ldots, x_{\\pi(N)}) \\in B \\ \\cdots (b) \\\\ \\Leftrightarrow \u0026 \\ (x_{\\pi(1)}, \\ldots, x_{\\pi(N)}) \\in \\psi^{-1}(B) \\end{aligned} $$(a)と(b)の間の同値性は \\(\\psi\\) の対称性から得られる。\n交換可能σ-代数を生成する確率変数 # \\(X_1, \\ldots X_N\\) が \\(\\\\{0, 1\\\\}\\)-値確率変数(ベルヌーイ変数)である場合、 \\(X_1 + \\cdots + X_N\\) は交換可能σ-代数を生成する。 \\(g: \\mathbb{R}^N \\to \\mathbb{R}^N\\) を \\(N\\) 個の実数を昇順に並べる写像であるとすると、 順序統計量 \\(g(X_1, \\ldots, X_N)\\) は一般の確率変数に対して交換可能σ-代数を生成する。 経験分布、つまり \\(\\mathcal{M}(\\mathbb{R})\\)-値r.v. \\(\\frac{1}{N}\\sum_{n=1}^N \\delta_{X_n}\\) は一般の確率変数に対して交換可能σ-代数を生成する。 どれも上で説明した対称な関数を経由して生成されるので、\\(\\sigma(S_N) \\subset \\mathcal{E}, \\sigma(g(X_1, \\ldots, X_N)) \\subset \\mathcal{E}\\) などはわかる。逆の包含関係が問題となる。\n順序統計量 # まずは2.の場合を考える。このときは、 \\(\\\\{g^{-1}(B) \\mid B \\in \\mathcal{B}(\\mathbb{R}^N)\\\\} = \\hat{\\mathcal{E}}_N\\) を示すことができる。 \\(\\subset\\) は上の証明で示されているので \\(\\supset\\) を示せばよい。 そこで \\(B \\in \\hat{\\mathcal{E}}_N\\) であるとき、 \\(g^{-1}(g(B)) = B\\) であることを示せば \\(\\supset\\) の包含関係が示される。\n\\(g^{-1}(g(B)) \\supset B\\) は写像の逆像に関する標準的な包含関係であるので、\\(g^{-1}(g(B)) \\subset B\\) を示せばよい。 そこで \\((x_1, \\ldots, x_N) \\in g^{-1}(g(B))\\) と置くと、\\(g(x_1, \\ldots, x_N) \\in g(B)\\) である。 よって \\(\\exists (y_1, \\ldots, y_N)\\) s.t.\n\\begin{equation} g(x_1, \\ldots, x_N) = g(y_1, \\ldots, y_N) \\end{equation}\nが成立する。 そこで、\\(x_1, \\ldots, x_N\\) および \\(y_1, \\ldots, y_N\\) を昇順に並べかえるための置換をそれぞれ \\(\\pi, \\tau \\in S_n\\) とおく。すなわち、\n$$ \\begin{aligned} x_{\\pi(1)} \u0026\\leq \\cdots \\leq x_{\\pi(N)} \\\\ y_{\\tau(1)} \u0026\\leq \\cdots \\leq y_{\\tau(N)} \\end{aligned} $$となるようにすると、(1) より\n$$ x_{\\pi(1)} = y_{\\tau(1)}, \\ldots, x_{\\pi(N)} = y_{\\tau(N)} $$が得られる。これは\n$$ x_1 = y_{\\pi^{-1} \\circ \\tau(1)}, \\ldots, x_N = y_{\\pi^{-1} \\circ \\tau(N)}, $$を意味するので、\\(\\pi^{-1} \\circ \\tau \\in S_n\\) と \\((y_1, \\ldots, y_N) \\in B\\), さらに \\(B\\) が対称であることより\n$$ (x_1, \\ldots, x_N) = (y_{\\pi^{-1} \\circ \\tau(1)}, \\ldots, y_{\\pi^{-1} \\circ \\tau(N)}) \\in B $$である。これで示された。\n総和(平均) # 1.の場合について考える。この場合、\\(\\psi: \\{0, 1\\}^N \\to \\{0, \\ldots, N\\}\\) を\n$$ \\psi(x_1, \\ldots,x_N) = \\sum_{n=1}^N x_n $$と定義すると、\\(X_1 + \\cdots + X_N = \\psi(X_1, \\ldots, X_N)\\) であるため、\\(\\sigma(X_1 + \\cdots + X_N)\\) は\n$$ \\{ (X_1, \\ldots, X_N)^{-1}(\\psi^{-1}(B)) \\mid B \\in \\mathcal{B}(\\{0, \\ldots, N\\}) \\} $$と表される。一方、\\(\\hat{\\mathcal{E}}_N\\) の定義より\n$$ \\hat{\\mathcal{E}}_N = \\{ B \\in \\mathcal{B}(\\{0, 1\\}^N) \\mid B \\text{ は対称} \\} $$とも表せるので、順序統計量の証明と同様に\n$$ \\hat{\\mathcal{E}}_N = \\{ \\psi^{-1}(B) \\mid B \\in \\mathcal{B}(\\{0, \\ldots, N\\}) \\} $$を示せばよい。\\(\\supset\\) はこの右辺が対称な関数を経由して生成されるσ-代数であるのでよく、\\(\\subset\\) を示せばよい。 やはり順序統計量の場合の証明と同様に、\\(A \\in \\mathcal{B}(\\{0, 1\\}^N)\\) ならば \\(A = \\psi^{-1}(\\psi(A))\\)、を示す。 \\(\\subset\\) は写像の逆像の一般論からわかるので \\(\\supset\\) を示す。\n$$ \\begin{aligned} \\mathcal{B}(\\{0, 1\\}^N) \u0026= 2^{\\{0, 1\\}^N} \\\\ \\end{aligned} $$に注意して、\\(A \\subset \\\\{0, 1\\\\}^N\\) であるので、\\((x_1, \\ldots, x_N) \\in \\psi^{-1}(\\psi(A))\\) とすると、 \\(\\psi(x_1, \\ldots, x_N) \\in \\psi(A)\\)。よって \\(\\exists (y_1, \\ldots, y_N) \\in A\\) s.t.\n$$ \\psi(x_1, \\ldots, x_N) = \\psi(y_1, \\ldots, y_N) $$すると \\(\\sum_{n=1}^N x_n = \\sum_{n=1}^N y_n\\) と総和が等しい。ここで \\(x_n, y_n\\) が0か1のどちらかであるので、この総和は「\\(x_1, \\ldots, x_N\\) に含まれる 1 の個数」に等しい(これは0/1でないと成り立たない)。 \\(y_n\\) のほうも同様である。 よって、適当な置換 \\(\\pi\\in S_N\\) によって\n$$ (x_1, \\ldots, x_N) = (y_{\\pi(1)}, \\ldots, y_{\\pi(N)}) $$と並び換えで一致する。\\((y_1, \\ldots, y_N) \\in A\\) で \\(A\\) は対称なので、これは \\(A\\) に含まれる。すなわち \\((x_1, \\ldots, x_N) \\in A\\) であり、証明したいことが示された。\n注 ベルヌーイ変数の場合、 \\(\\sigma(X_1, \\ldots, X_N)\\) は\n$$ \\{\\{X_1 = x_1\\} \\cup \\cdots \\{X_N = x_N\\} \\mid x_1, \\ldots, x_N \\in \\{0, 1\\} \\} $$という分割から生成されるので、\\(\\mathcal{E}\\) はこれより荒い分割から生成される。 具体的にはこの分割は \\(\\\\{X_1 + \\cdots + X_N = k \\mid 0 \\leq k \\leq N\\\\}\\) である。\n経験分布 # 3の経験分布については、\\(h: \\mathcal{M}(\\mathbb{R}) \\to \\mathbb{R}^N\\) を以下の写像で定義する：\n$$ \\begin{aligned} h(\\mu) \u0026 = (h_{1}(\\mu), \\ldots, h_{N}(\\mu)) \\\\ h_n(\\mu) \u0026= \\inf\\{ x \\in \\mathbb{R} \\mid \\mu((-\\infty, x]) \\geq n / N \\} \\end{aligned} $$すると \\(\\varphi: \\mathbb{R}^n \\to \\mathcal{M}(\\mathbb{R})\\) をデータから経験分布を構成する写像、すなわち\n$$ \\varphi(x_1, \\ldots, x_N) = \\frac{1}{n} \\sum_{n=1}^N \\delta_{x_n} $$とすると、\n$$ \\begin{aligned} g \u0026 = h \\circ \\varphi \\\\ \\varphi \u0026 = \\varphi \\circ g \\end{aligned} $$であるので、順序統計量が交換可能σ-代数を生成することを経由して経験分布も交換可能σ-代数を生成することが導かれる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/exchangeable_sigma_algebra/","section":"数学メモ","summary":"","title":"交換可能σ-代数","type":"math_memo"},{"content":" \\(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_K\\) と \\(n_1 + \\cdots + n_K = n\\) を満たす正の整数 \\(n_1, \\ldots, n_K\\) に対し、 次の \\(n \\times n\\) 行列を合流型ヴァンデルモンド行列(Confluent Vandermonde matrix)と呼ぶ。\n$$ CV(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_K, n_1, \\ldots, n_K) = \\begin{bmatrix} 1 \u0026 \\lambda_1 \u0026 \\cdots \u0026 \u0026 \u0026 \\lambda_1^{n-1}\\\\ \u0026 1 \u0026 2 \\lambda_1 \u0026 \\cdots \u0026 \u0026 (n-1)\\lambda_1^{n-2}\\\\ \u0026 \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 1 \u0026 \\cdots \u0026 \\frac{(n-1)!}{(n-n_1)!} \\lambda_1^{n - n_1} \\\\ 1 \u0026 \\lambda_2 \u0026 \\cdots \u0026 \u0026 \u0026 \\lambda_2^{n-1} \\\\ \u0026 1 \u0026 2 \\lambda_2 \u0026 \\cdots \u0026 \u0026 (n-1)\\lambda_2^{n-2}\\\\ \u0026 \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 1 \u0026 \\cdots \u0026 \\frac{(n-1)!}{(n-n_2)!} \\lambda_2^{n - n_2} \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \\vdots \\\\ 1 \u0026 \\lambda_K \u0026 \\cdots \u0026 \u0026 \u0026 \\lambda_K^{n-1} \\\\ \u0026 1 \u0026 2 \\lambda_K \u0026 \\cdots \u0026 \u0026 (n-1)\\lambda_K^{n-2}\\\\ \u0026 \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 1 \u0026 \\cdots \u0026 \\frac{(n-1)!}{(n-n_K)!} \\lambda_K^{n - n_K} \\\\ \\end{bmatrix} $$これはヴァンデルモンド行列の一般化で、似たような性質を持っている。\n利用法 # \\(f(x) = \\sum_{k=0}^{n-1} a_k x^k\\) という多項式で、\n$$ \\frac{d^j}{dx^j} f(\\lambda_i) = b_{ij} \\ (i=1, \\ldots, K, j=0, \\ldots, n_i - 1) $$を満たす係数 \\(a_0, \\ldots, a_{n-1}\\) を見つける問題は、\n$$ CV(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_K, n_1, \\ldots, n_K) \\begin{bmatrix} a_0 \\\\ \\vdots \\\\ a_{n-1} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} b_{1,0} \\\\ \\vdots \\\\ b_{1, n_1 - 1} \\\\ b_{2, 0} \\\\ \\vdots \\\\ b_{K, n_K - 1} \\end{bmatrix} $$を \\(a_0, \\ldots, a_{n-1}\\) について解く線形方程式として表現できる。\n重根を持つ多項式に対するコンパニオン行列の標準化 # See コンパニオン行列。\n行列式 # $$ \\det CV(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_K, n_1, \\ldots, n_K) = (\\prod_{i=1}^K \\prod_{j=1}^{n_i - 1} j!)\\cdot(\\prod_{1 \\leq i \u003c j \\leq K} (\\lambda_j - \\lambda_i)^{n_i n_j}) $$となる。よって合流型ヴァンデルモンド行列が正則となる必要十分条件は \\(\\lambda_1, \\ldots, \\lambda_K\\) が互いに異なることである。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/confluent_vandermonde_matrix/","section":"数学メモ","summary":"","title":"合流型ヴァンデルモンド行列","type":"math_memo"},{"content":" \\(c_0, c_1, \\ldots, c_{n-1} \\in \\R\\) に対して以下の \\(n \\times n\\) 行列をコンパニオン行列と呼ぶ。 フロベニウスの同伴行列とも呼ばれる。\n$$ \\begin{bmatrix} 0 \u0026 1 \u0026 0 \u0026 \\cdots \u0026 0 \\\\ \\vdots \u0026 \u0026 1 \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \\ddots \\\\ 0 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 1 \\\\ -c_0 \u0026 -c_1 \u0026 \\cdots \u0026 -c_{n-2} \u0026 -c_{n-1} \\end{bmatrix} $$ 固有多項式 # コンパニオン行列で最も重要な性質は、この行列(\\(A\\) と表す)の固有多項式 \\(P_A(s)\\) が以下の形になることである。\n$$ s^n + c_{n-1}s^{n-1} + \\cdots + c_1 s + c_0 $$そこでこのコンパニオン行列を、「多項式 \\(s^n + c_{n-1}s^{n-1} + \\cdots + c_1 s + c_0 \\) に関するコンパニオン行列」とも呼ぶ。 コンパニオン行列は与えられた多項式を固有多項式として持つ行列を設計したい場合に活用できる。\nレゾルベント # \\( s \\) が固有値でない場合、レゾルベント \\((sI - A)^{-1}\\) が存在する。\\(B = \\;^t[0 \\ \\cdots \\ 0 \\ 1]\\) と置いたとき、\n$$ (s I - A)^{-1} B = \\frac{1}{P_A(s) } \\begin{bmatrix} 1 \\\\ s \\\\ \\vdots \\\\ s^{n-1} \\end{bmatrix} $$となる。\n固有ベクトルと対角化 # \\(\\lambda\\) を固有値、つまり多項式 \\(P_A(s)\\) の根とすると、 $$\\;^t \\begin{bmatrix} 1 \u0026 \\lambda \u0026 \\cdots \u0026 \\lambda^{n-1} \\end{bmatrix} $$ はコンパニオン行列の固有値 \\(\\lambda\\) の固有ベクトルとなる。\nよって、コンパニオン行列の固有方程式が重根を持たないならば、\\(n\\) 個の固有値から定義されるヴァンデルモンド行列によってコンパニオン行列は対角化される。\n固有多項式が重根を持つ場合 # 固有多項式が重根を持つ場合は、対角化はできないが、ジョルダン標準形に似たある種の標準化が合流型ヴァンデルモンド行列を用いて具体的に記述できる。\n\\(\\lambda\\) が \\(n_\\lambda\\) 重根であるとすると、\n$$ \\begin{aligned} u_\\lambda^{(i)} \u0026= \\begin{bmatrix} u_{i,0} \\\\ \\vdots \\\\ u_{i,n-1} \\end{bmatrix} \\ (i=0, \\ldots, n_\\lambda - 1)\\\\ u_{i,j} \u0026 = \\frac{d^i}{ds^i} s^j \\lvert_{s = \\lambda} = \\begin{cases} 0 \u0026 \\text{if } i \u003e j \\\\ \\frac{j!}{(j-i)!} \\lambda^{j-i} \u0026 \\text{if } i \\leq j \\end{cases} \\end{aligned} $$とする、具体的に書くと、\n$$ u_\\lambda^{(0)} = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ \\lambda \\\\ \\vdots \\\\ \\lambda^{n-1} \\end{bmatrix}, u_\\lambda^{(1)} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 2 \\lambda \\\\ \\vdots \\\\ (n-1)\\lambda^{n-2} \\end{bmatrix}, u_\\lambda^{(2)} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 2 \\\\ 6 \\lambda \\\\ \\vdots \\\\ (n-1)(n-2)\\lambda^{n-3} \\end{bmatrix}, \\ldots, u_\\lambda^{(n_\\lambda - 1)} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ \\vdots \\\\ 0 \\\\ n_\\lambda! \\\\ \\frac{(n_\\lambda+1)!}{2!} \\lambda\\\\ \\vdots \\\\ \\frac{(n-1)!}{(n-n_\\lambda)!}\\lambda^{n-n_\\lambda} \\end{bmatrix}, $$である。すると、\n$$ \\begin{aligned} A u_\\lambda^{(0)} \u0026= \\lambda u_\\lambda^{(0)} \\\\ A u_\\lambda^{(i)} \u0026= i u_\\lambda^{(i-1)} + \\lambda u_\\lambda^{(i)} \\ (i=1, \\ldots, n_\\lambda - 1) \\end{aligned} $$が成立する。これは合流型ヴァンデルモンド行列でジョルダン標準形に似た形に変換できることを意味する。 このときはジョルダンブロックの代わりに次のブロックが現れる。\n$$ \\begin{bmatrix} \\lambda \u0026 1 \\\\ \u0026 \\lambda \u0026 2 \u0026 \\\\ \u0026 \u0026 \\ddots \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \\lambda \u0026 n_\\lambda - 1 \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 \\lambda \\end{bmatrix} $$ 証明 # 固有多項式 # \\(A\\) をコンパニオン行列とすると、\n$$ \\begin{aligned} \u0026\\det(sI - A) \\\\ =\u0026 \\begin{vmatrix} s \u0026 -1 \u0026 0 \u0026 \\cdots \u0026 0 \\\\ 0 \u0026 s \u0026 -1 \\\\ \\vdots \u0026 \u0026 \\ddots \u0026 \\ddots \\\\ 0 \u0026 \u0026 \u0026 s \u0026 -1 \\\\ c_0 \u0026 c_1 \u0026 \\cdots \u0026 c_{n-2} \u0026 s + c_{n-1} \\end{vmatrix} \\\\ =\u0026 s \\begin{vmatrix} s \u0026 -1 \\\\ \u0026 \\ddots \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 s \u0026 -1 \\\\ c_1 \u0026 \\cdots \u0026 c_{n-2} \u0026 s + c_{n-1} \\end{vmatrix} +(-1)^{n-1} c_0 \\begin{vmatrix} -1 \u0026 \\\\ s \u0026 -1 \\\\ \u0026 \\ddots \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 s \u0026 -1 \\\\ \\end{vmatrix} \\\\ =\u0026 s \\begin{vmatrix} s \u0026 -1 \\\\ \u0026 \\ddots \u0026 \\ddots \\\\ \u0026 \u0026 s \u0026 -1 \\\\ c_1 \u0026 \\cdots \u0026 c_{n-2} \u0026 s + c_{n-1} \\end{vmatrix} + c_0 \\end{aligned} $$となり、\n$$ s \\cdot (\\text{一つサイズの小さいコンパニオン行列式}) + c_0 $$という形となり、一つサイズの小さいコンパニオン行列式へと帰納的に帰結される。\nサイズ1のコンパニオン行列式は \\(s + c_0\\) であるので、 一つサイズの小さいコンパニオン行列式は\n$$ c_1 + c_2 s + \\cdots + c_{n-1} s^{n-2} $$となるので、\n$$ \\det(sI - A) = c_0 + c_1 s + \\cdots + c_{n-1} s^{n-1} $$がわかる。\nレゾルベント # \\((sI - A)^{-1} B\\) は \\((sI - A)^{-1}\\) の右端の列 (第n列) を取り出したものである。 \\((sI - A)^{-1}\\) の \\((i, n)\\) 要素は \\(sI - A\\) の \\((n, i)\\) 小行列式を \\(\\det(sI - A)\\)、つまり固有多項式で割ったものである。\nよって、\\(sI - A\\) の \\((n, i)\\) 小行列式が \\(s^{i-1}\\) であることを示せばよい。\n固有ベクトル # $$ \\begin{bmatrix} 0 \u0026 1 \u0026 0 \u0026 \\cdots \u0026 0 \\\\ \\vdots \u0026 \u0026 1 \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \\ddots \\\\ 0 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 1 \\\\ -c_0 \u0026 -c_1 \u0026 \\cdots \u0026 -c_{n-2} \u0026 -c_{n-1} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 \\\\ \\lambda \\\\ \\vdots \\\\ \\lambda^{n-1} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\lambda \\\\ \\vdots \\\\ \\lambda^{n-1} \\\\ -c_0 -c_1 \\lambda - \\cdots - c_{n-1} \\lambda^{n-1} \\end{bmatrix} $$ここで、\\( \\lambda \\) は固有方程式の根なので、\\(P_A(\\lambda) = \\lambda^n + c_{n-1}\\lambda^{n-1} + \\cdots + c_1 \\lambda + c_0 = 0\\) なので\n$$ (右辺) = \\begin{bmatrix} \\lambda \\\\ \\vdots \\\\ \\lambda^{n-1} \\\\ \\lambda^n \\end{bmatrix} = \\lambda \\begin{bmatrix} 1 \\\\ \\vdots \\\\ \\lambda^{n-2} \\\\ \\lambda^{n-1} \\end{bmatrix} $$重根の場合\n\\(Ae_\\lambda^{(0)} = \\lambda e_\\lambda^{(0)}\\) は上で示したこととまったく同じなので、 \\(Ae_\\lambda^{(i)} = i e_\\lambda^{(i-1)} + \\lambda e_\\lambda^{(i)}\\) for \\((1 \\leq i \\leq n_\\lambda - 1)\\) を示す。\n\\(\\lambda\\) は \\(n_\\lambda\\) 重根なので、\\(1 \\leq i \\leq n_\\lambda - 1\\) に対して \\(\\frac{d^i}{ds^i}P_A(\\lambda) = 0 \\) が成り立つ。これは \\(u_{i,j}\\) を使って\n$$ \\frac{d^i}{ds^i}P_A(\\lambda) = \\frac{d^i}{ds^i}|_{s=\\lambda} (\\sum_{j=0}^n c_j s^j + s^n) = \\sum_{j=0}^n c_j u_{i,j} + \\frac{n!}{(n-i)!} s^{n-i}= 0 $$と表すことができる。よって、\n$$ A e_\\lambda^{(i)} = \\begin{bmatrix} 0 \u0026 1 \u0026 0 \u0026 \\cdots \u0026 0 \\\\ \\vdots \u0026 \u0026 1 \\\\ \u0026 \u0026 \u0026 \\ddots \\\\ 0 \u0026 \u0026 \u0026 \u0026 1 \\\\ -c_0 \u0026 -c_1 \u0026 \\cdots \u0026 -c_{n-2} \u0026 -c_{n-1} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} u_{i,0} \\\\ \\vdots \\\\ u_{i,n-1} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} u_{i,1} \\\\ \\vdots \\\\ u_{i,n-1} \\\\ -\\sum_{j=0}^n c_j u_{i,j} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} u_{i,1} \\\\ \\vdots \\\\ u_{i,n-1} \\\\ \\frac{n!}{(n-i)!} \\lambda^{n-i} \\end{bmatrix} \\ \\cdots(*) $$ここで \\(u_{i,j+1}, u_{i,j}, u_{i-1,j}\\) の間には \\(u_{i,j+1} = i u_{i-1,j} + \\lambda u_{i,j}\\) という関係がある。\n\\(i - 1 \u003e j\\) の場合は、これらはすべて0となるので問題ない、 \\(i - 1 \\leq j\\) の場合は、\\(i \\leq j + 1\\) でもあるので $$ u_{i,j+1} - i u_{i-1,j} - \\lambda u_{i,j} = \\frac{(j+1)!}{(j-i+1)!} \\lambda^{j-i+1} - i \\frac{j!}{(j-i+1)!} \\lambda^{j-i+1} - \\frac{j!}{(j-i)!} \\lambda^{j-i+1} = \\frac{j!}{(j-i+1)!}[(j+1) - i - (j - i + 1)]\\lambda^{j-i+1} = 0 $$となる。さらに \\( \\frac{n!}{(n-i)!} \\lambda^{n-i} = i u_{i-1, n-1} + \\lambda u_{i,n-1}\\) が成立する。\n$$ (右辺) = i \\frac{(n-1)!}{(n-i)!} \\lambda^{n-i} + \\lambda \\frac{(n-1)!}{(n-i-1)!} \\lambda^{n-i-1} = \\frac{(n-1)!}{(n-i)!}[i + (n-i)]\\lambda^{n-i} = \\frac{(n-1)!}{(n-i)!} n \\lambda^{n-i} = (左辺) $$よって\n$$ (*) = \\begin{bmatrix} i u_{i-1, 0} + \\lambda u_{i,0} \\\\ \\vdots \\\\ i u_{i-1, n-2} + \\lambda u_{i,n-2} \\\\ i u_{i-1, n-1} + \\lambda u_{i,n-1} \\\\ \\end{bmatrix} = i \\begin{bmatrix} u_{i-1, 0} \\\\ \\vdots \\\\ u_{i-1, n-1} \\end{bmatrix} + \\lambda \\begin{bmatrix} u_{i, 0} \\\\ \\vdots \\\\ u_{i, n-1} \\end{bmatrix} = i e_\\lambda^{(i-1)} + \\lambda e_\\lambda^{(i)} $$ ","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/linear_algebra/companion_matrix/","section":"数学メモ","summary":"","title":"コンパニオン行列","type":"math_memo"},{"content":" 数学では、一般的に集合の増大列をフィルトレーションと呼ぶ。\n確率論の文脈では、増大列 \\(\\mathcal{F}_1 \\subset \\mathcal{F}_2 \\subset \\cdots\\) であって、各 \\(\\mathcal{F}_n\\) が \\(\\mathcal{F}\\) の部分σ-代数であるときに、フィルトレーションと呼ぶ。\n減少列を考える場合は、後ろ向きフィルトレーション、逆フィルトレーションなどと呼ぶ。 確率論の文脈では、増大列 \\(\\mathcal{F}_1 \\supset \\mathcal{F}_2 \\supset \\cdots\\) であって、各 \\(\\mathcal{F}_n\\) が \\(\\mathcal{F}\\) の部分σ-代数であるときに、後ろ向きフィルトレーションと呼ぶ。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/filtration/","section":"数学メモ","summary":"","title":"フィルトレーション","type":"math_memo"},{"content":" \\((\\mathcal{F}_n)_{n \\geq 1}\\) をフィルトレーション、\\((X_n)_{n \\geq 1}\\) をr.v.の列とする。 次の条件を満たすとき、\\((X_n)_{n\\geq 1}\\) はフィルトレーション \\(\\mathcal{F}\\) に関するマルチンゲールであるという。\n各 \\(X_n\\) は \\(\\mathcal{F}_n\\)-可測 各 \\(X_n\\) は可積分。つまり \\(E[\\|X_n\\|] \u003c +\\infty\\) すべての \\(n\\geq 1\\) に対し、 \\(E[X_{n+1} \\mid \\mathcal{F}_n] = X_n\\) が成立する 条件3の等号が \\(\\geq\\) に置き換わった場合には劣マルチンゲール、\\(\\leq\\) に置き換わった場合は優マルチンゲールと呼ぶ。\n劣マルチンゲール収束定理 # マルチンゲールに関しては次の劣マルチンゲール収束定理が重要である。\n定理\n\\((X_n)_{n\\geq 1}\\) はフィルトレーション \\(\\mathcal{F}\\) に関する劣マルチンゲールであるとする。 \\((X_n)_{n\\geq 1}\\) が上に一様有界である、つまり\n$$ \\sup_{n} E[X_n^+] \u003c \\infty $$とすると、r.v.の列 \\((X_n)_n\\) はあるr.v. \\(X_\\infty\\) に概収束する。 さらにその \\(X_\\infty\\) は可積分である。つまり \\(E[\\lvert X_n\\rvert] \u003c \\infty\\) である。\nドゥーブの最適停止定理 # 停止時刻に関する定理。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/martingale/","section":"数学メモ","summary":"","title":"マルチンゲール","type":"math_memo"},{"content":" 後ろ向きフィルトレーション \\((\\mathcal{F}_n)_{n\\geq 1}\\) に対して、マルチンゲールと似た逆マルチンゲールが定義でき、対応して収束定理が成り立つ。\n定義\n\\((X_n)_{n \\geq 1}\\) が後ろ向きフィルトレーション \\((\\mathcal{F}_n)_{n\\geq 1}\\) に関する逆マルチンゲールであるとは、次の3つを満たすことを言う。\n各 \\(X_n\\) は \\(\\mathcal{F}_n\\)-可測 各 \\(X_n\\) は可積分。すなわち \\(E[\\lvert X_n \\rvert] \u003c \\infty\\) 各 \\(n\\) に対して、\\(E[X_n \\mid \\mathcal{F}_{n+1}] = X_{n+1}\\) a.s. 条件3の等号が \\(\\geq\\) の場合、逆劣マルチンゲールと呼び、\\(\\leq\\) の場合逆優マルチンゲールと呼ぶ。\nドゥーブの逆劣マルチンゲール収束定理 (Doob\u0026rsquo;s reverse submartingale convergence theorem) # \\((X_n)_{n \\geq 1}\\) が後ろ向きフィルトレーション \\((\\mathcal{F}_n)_{n\\geq 1}\\) に関する逆劣マルチンゲールであり、期待値が下に有界、すなわち\n$$ \\inf_n E[X_n] \u003e -\\infty $$であるとする。このとき \\((X_n)_{n}\\) はあるr.v. \\(X_\\infty\\) に概収束する。 さらにこれは \\(L^1\\)-収束でもある。\n注 # 条件3の不等式の期待値を取ると、\n$$ E[X_n] \\geq E[X_{n+1}] $$が得られるため、期待値は単調減少する。そのため、下に有界という条件は\n$$ \\lim_{n \\to \\infty} E[X_n] \u003e -\\infty $$という条件で置き換えることができる。\n例 # \\((X_n)_{n\\geq 1}\\) : r.v. の可算無限列、に対して、\n$$ \\mathcal{F}_n = \\sigma(X_1+ \\cdots+ X_n, X_{n+1}, X_{n+2}, \\ldots) $$と置くと、これは後ろ向きフィルトレーションになる。さらに \\((X_n)_{n\\geq 1}\\) が交換可能である時、 \\(S_n = \\sum_{i=1}^n X_i\\) と置くと、\\((S_n)_{n\\geq 1}\\) が逆マルチンゲールとなる。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/reverse_martingale/","section":"数学メモ","summary":"","title":"逆マルチンゲール","type":"math_memo"},{"content":" \\((\\mathcal{F}_n)\\) をフィルトレーションとする。 r.v. \\(\\tau\\) が \\((\\mathcal{F}_n)\\) に対する 停止時刻(stopping time) であるとは、次の2つを満たす場合を言う。\n\\(\\tau\\) は非負の整数値もしくは \\(+\\infty\\) を値として取る \\(\\forall n \\geq 0\\) に対して \\(\\{\\tau = n \\} \\in \\mathcal{F}_n\\) ドゥーブの最適停止定理 # \\((X_n)_{n \\geq 1}\\) を \\((\\mathcal{F}_n)_{n \\geq 1}\\) に関する劣マルチンゲール、\\(\\tau, \\sigma\\) を停止時刻とする。 もし、\\(\\tau \\leq \\sigma\\) かつ \\(\\tau, \\sigma\\) が有界、すなわち \\(\\exists K \\in \\mathbb{N}\\) s.t. \\(\\tau(\\omega) \\leq \\sigma(\\omega) \\leq K\\) for all \\(\\omega \\in \\Omega\\)、が成立するならば、次の2つが成立する。\n\\(E[X_\\tau] \\leq E[X_\\sigma]\\) \\(E[X_\\sigma \\mid \\mathcal{F}_\\tau] \\geq X_\\tau\\) ただし、\\(X_\\tau\\): r.v. は\n$$ X_\\tau(\\omega) = X_{\\tau(\\omega)}(\\omega) \\ (\\omega \\in \\Omega), $$で、\\(\\mathcal{F}_\\tau\\) : \\(\\mathcal{F}\\) の部分σ-代数、は\n$$ \\mathcal{F}_\\tau = \\{ A \\in \\mathcal{F} \\mid \\forall n\\geq 0, A \\cap \\{\\tau=n\\} \\in \\mathcal{F}_n \\} $$で、それぞれ定義される。\n","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/probability_theory/stopping_time/","section":"数学メモ","summary":"","title":"停止時刻","type":"math_memo"},{"content":"","date":"2026/10/06","externalUrl":null,"permalink":"/blog/","section":"Blog","summary":"","title":"Blog","type":"blog"},{"content":"A researcher on applied mathematics. I am a professor at Okayama University. I am also a visiting professor at Advanced Institute for Matrials Research (AIMR), Tohoku University. My research interests are various kinds of applied mathematics, including dynamical systems, topological data analysis, and applied statistics.\nPlan/予定 # 講義/Lectures ・ 出張等/Travels ・ 休暇 ・ その他 ・ まとめ\n","date":"2026/10/06","externalUrl":null,"permalink":"/","section":"Ippei Obayashi's Website","summary":"","title":"Ippei Obayashi's Website","type":"page"},{"content":"","date":"2026/10/06","externalUrl":null,"permalink":"/tags/","section":"Tags","summary":"","title":"Tags","type":"tags"},{"content":"","date":"2026/10/06","externalUrl":null,"permalink":"/tags/test/","section":"Tags","summary":"","title":"Test","type":"tags"},{"content":"2026年2月現在で使っている researchmap の blog 機能がなくなるそうなので移動先として作ったものです。\n","date":"2026/10/06","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2026-10-06-intro/","section":"Blog","summary":"","title":"これについて","type":"blog"},{"content":"","date":"2025/10/07","externalUrl":null,"permalink":"/tags/computer/","section":"Tags","summary":"","title":"Computer","type":"tags"},{"content":"","date":"2025/10/07","externalUrl":null,"permalink":"/tags/linux/","section":"Tags","summary":"","title":"Linux","type":"tags"},{"content":"apt-get upgradeなどでアップグレードしたパッケージを元のバージョンに戻したい場合があります。例えばGoogle Chromeは頻繁にアップグレードしますが、時々バグを導入してしまっていることがあります。\nこういうときの戻しかたについて、色々試した結果一番手っ取り早そうな方法を説明します。\nこれはUbuntuで試したものですが、Debianでも同様だと思われます。\n1. 直前のバージョンを探す # これは /var/log/apt/history.log を見てください。今回の例では\nUpgrade: ... google-chrome-stable:amd64 (140.0.7339.207-1, 141.0.7390.54-1), ... というのを見つけ、141.0.7390.54-1を140.0.7339.207-1に戻します。\n2. 情報収集 # % apt-cache madison google-chrome-stable としてパッケージの配布元を見ます。\ngoogle-chrome-stable | 141.0.7390.54-1 | https://dl.google.com/linux/chrome/deb stable/main amd64 Packages というのが得られます。次に、\napt-cache show google-chrome-stable | grep \u0026quot;^Filename\u0026quot; としてパッケージのファイル名を探します。\nFilename: pool/main/g/google-chrome-stable/google-chrome-stable_141.0.7390.54-1_amd64.deb のようなものが得られます。\n3. アップグレード前のパッケージのダウンロードとインストール # 上で調べた情報を使ってURLを構築し、パッケージをダウンロードします。\nwget https://dl.google.com/linux/chrome/deb/pool/main/g/google-chrome-stable/google-chrome-stable_1140.0.7339.207-1_amd64.deb とします。パッケージ配布元のURLとファイル名をくっつけて、バージョンの部分を古いものに置き換えます。これで古いパッケージがダウンロードできるはずです(場合によっては古いものが消されている可能性もありますが、大概の場合はそのまま残っていると思われます)。\nあとは dpkg -i でインストールします。\ndpkg -i google-chrome-stable_1140.0.7339.207-1_amd64.deb とします。\nちなみに私が直面した「新しく導入された問題」は https://issues.chromium.org/issues/449370049 のようです。\n","date":"2025/10/07","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2025-10-07-downgrade-ubuntu-package/","section":"Blog","summary":"","title":"UbuntuやDebianでアップグレードしたパッケージを戻す","type":"blog"},{"content":"","date":"2025/06/19","externalUrl":null,"permalink":"/tags/homcloud/","section":"Tags","summary":"","title":"Homcloud","type":"tags"},{"content":"","date":"2025/06/19","externalUrl":null,"permalink":"/tags/math/","section":"Tags","summary":"","title":"Math","type":"tags"},{"content":"2025/06/16 から 2025/06/20 まで，京都大学の益川ホールで実施された研究集会 TDA Week 2025での発表「HomCloud: Persistent Homology-Based Data Analysis Software」の発表スライドです。\nThe following PDF is a presentation slide for TDA Week 2025, held from Jun. 16, 2025, to Jun. 20, 2025. The title of he presentation is \u0026ldquo;HomCloud: Persistent Homology-Based Data Analysis Software.\u0026rdquo;\nhttps://drive.google.com/file/d/1N4C9e4xAPx660gWJAjDRmpbc4_x3Kn1Y/view?usp=sharing\n反省点：「HomCloudにこういう機能が欲しいときはどうすれはいいですか」みたいなスライドを入れとけばよかったかもしれない。\n","date":"2025/06/19","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2025-06-19-tdaweek2025/","section":"Blog","summary":"","title":"Presentation slide for TDA Week 2025","type":"blog"},{"content":"この話はLinux全般で通用する話だと思いますが，試したのはUbuntu 24.04です。\nはじめに # Fortinet VPNはFortinetが提供するVPNで，SSL-VPNなどを提供しています。SSL-VPNはTLS/SSLを使ったVPN技術で，現実的な利点としてはTCPの443(HTTPSと同じ)を使うため各種フィルターを通過できる可能性が高く，ネットワーク関係のトラブルを回避しやすいことが挙げられます(こういった通信の制限は理念的には不適切ですが現実には良くあります。またネットワーク提供者の意図でなくとも技術的な未熟さが原因でHTTPSもどきの通信でないとうまくいかないというのもしばしばあります)。\nFortinet VPNはFortinetがクライアントを提供していますが，Linux版はあまりこなれていません。openfortivpnというソフトウェアがOSS(GPLv3)で提供されており，VPNクライアントとして利用可能です。\nopenfortivpnは最近SAMLログインという機能が実装され，標準的でない認証，例えばブラウザを経由した2FA認証など，を利用可能になりました。これの使い方を説明します。\nSAMLによるVPNの仕組み # ここでは vpn.example.com というサーバーの443番ポートを利用する場合を例として説明します。一般的なSAMLの話はせずにFortivpnでこうしているだろう，という仕組みについて説明します。外側からの観察で得られた予想なので詳細は間違っているかもしれません。あとrealmのような機能は今回は使わないものとします。\nopenfortivpn (もしくは適当なVPNクライアント)を起動をすると，localhost:8020 でHTTPサーバーが待ち受ける ブラウザで https://vpn.example.com/remote/saml/start?redirect=1 にアクセスする。このサーバーはVPNサーバーでもあるが，ポート443を待ち受けているのでHTTPSとしても反応できる サーバーから組織のIdPへのリダイレクトが帰ってくる (リダイレクトの指示にVPNからだという情報を何らかの形で含む) IdPサーバーでブラウザ経由で認証する 認証成功後，https://vpn.okayama-u.ac.jp/remote/saml/login に認証情報がJavascriptのコード経由でpostされる VPNサーバーはセッショントークンを作成し，http://127.0.0.1:8020/?id=\u0026lt;session-token\u0026gt; へとリダイレクトする このローカルホストのポートに待ち受けていたVPNクライアントがこのリダイレクトのリクエストを受け取り，セッショントークンを受け取る vpn.example.com の 443番ポート経由でこのセッショントークンを利用してVPNを張る。同じポートを利用するが，ここでは VPN のセッションを張るために利用される 実際の利用法 # 以下のようなスクリプトを作って実行します。プログラムは $HOME/opt/bin/openfortivpn にインストールするものとします。\n#!/bin/sh OPENFORTIVPN=$HOME/opt/bin/openfortivpn HOST=vpn.example.com PORT=443 BROWSER=google-chrome VPNOPTS=\u0026quot;\u0026quot; # --trusted-cert などを指定する $BROWSER https://$HOST:$PORT/remote/saml/start?redirect=1 sudo $OPENFORTIVPN $HOST:$PORT --saml-login $VPNOPTS すると，ブラウザが開いて認証が実行されます。またsudoでopenfortivpnを動かすのでパスワードを入力する必要があります。\nVPNの接続に成功するとターミナルには以下のように出力されます。\n: INFO: Interface ppp0 is UP. INFO: Setting new routes... INFO: Adding VPN nameservers... INFO: Tunnel is up and running. VPNを停止させたい場合はターミナルでCTRL-Cを入力してください。\n","date":"2025/04/07","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2025-04-07-linux-fortinet-vpn-2/","section":"Blog","summary":"","title":"Linux で Forti VPN のSAML loginを openfortivpn で使う方法","type":"blog"},{"content":"岡山大でVPNがFortinetのになったのでUbuntuで使えないか試してみた。\n結論としては以下のworkaroundが有効であることがわかった。\nhttps://zenn.dev/kobar9568/articles/300c37f50aac87 https://askubuntu.com/questions/1527215/how-to-install-and-use-the-app-depends-on-libappindicator1-in-ubuntu-24-04 なんかうまくいかないときは\n上記のパッケージの入れ直し sudo systemctl daemon-reload 本当にworkaroundなのでそのうちこういったことはやらずに済ませたい。あとサーバー証明書の信頼性の確認ができないようなのでfingerprintはメモしておくように。Androidでも証明書の信頼性の確認ができないぽい。ちゃんとした証明書にしておいて欲しいのだが。\n","date":"2025/03/06","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2025-03-06-linux-fortinet-vpn-1/","section":"Blog","summary":"","title":"Ubuntu 24.04 で FortiClient VPN を使う方法","type":"blog"},{"content":"/usr/share/ca-certificates/mozilla/ 以下にある Security_Communication_RootCA2.crt を使えばよい。\n","date":"2025/02/09","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2025-02-09-eduroam-rootca-cert/","section":"Blog","summary":"","title":"Ubuntu で Eduroam を使うときの Root CA","type":"blog"},{"content":"","date":"2024/12/16","externalUrl":null,"permalink":"/tags/hobby/","section":"Tags","summary":"","title":"Hobby","type":"tags"},{"content":"この記事は「大都会岡山 Advent Calendar 2024」の16日目のエントリーでした。blog 移行でこの記事のURLが変わっています。\n2021年に岡山大に赴任した大林です。最近(2023年〜)趣味でサイクイングをやっています。そこまで本格的でもありませんが楽しいです。そこで岡山のお勧めのサイクリングルートを紹介します。\nまず前提条件としてサイクリングルートは以下のような条件をできるだけ満たしているほうがいいです。\n舗装されている 非舗装道路を走る自転車(マウンテンバイクなど)もありますがそうでもなければ舗装されていたほうが快適です 車が来ない，または車道と分離されている *特に大型車両は怖い 信号が少ない 信号や一時停止はちゃんと止まる必要があるが，停止が多いほど快適さは損なわれる 人通りが少ない また，以下のような条件を考慮すべきです。\nアップダウンの激しさ これは坂が好き/平地が好きという好み 風景 途中のコンビニ等の店や自販機など というわけで紹介するのは以下のルートです。\nhttps://maps.app.goo.gl/vSSzAFUb1MH8VXQ16\n岡山市消防局 中消防署・水防センター前 → 中原橋→県道27号線 → 大原橋 → 県道81号線 → 県道461号線→県道457号線 →建部福渡，というルートです。35kmのゆったりとした登り坂です。\nお勧めポイントは以下の通りです。\n魅力1 県道27号線部分 # 中原橋〜大原橋は歩行者自転車道になっていますが，舗装が良くて歩行者全然いなくて川に近いほうを走ると信号もなくて非常に快適です。それほど距離はありませんがちょっと走りたいときはここだけ往復したしります。\n魅力2 - 県道81号線，461号線，457号線 # 一番狭い所で1.7m幅なので車がほとんど来ません! もちろんそんな所に信号なんてありませんしそもそも人もいません 舗装は多少痛んでいる部分もありますが十分許容範囲内です ゆるやかなアップダウンのルートで走っていて楽しいです 雰囲気も良いです 川のそばの開けた所から竹薮の暗い場所まで 457は採石場の前を通るのでそのあたりだけ注意 休憩場所は金川にするとよいと思います (461から歩行者自転車橋を渡る) 昼御飯も食べれます 福渡まで一気に行くのも十分可能です 魅力3 - 建部八幡温泉 # せっかくなので温泉に入っていきましょう。あまりゆっくりはできないですが。着替えも持っていってよいでしょう。帰りも汗をかいちゃいますが。\n帰り # 帰りは基本下り坂なので行きより楽です。また，81号線の代わりに対岸の218号線を行くのもよいです。81よりは交通量がありますが，それほど大したものではなく快適に走れます。\n快適に走るためのこつ # スタートの消防署の横を通って川沿いに北に向かいます 県道27号線は中原橋から南は自転車で走りずらいのでルートをアレンジするにしてもそこは避けましょう 県道27号線は川沿いのほうを走りましょう。橋が架かっていないので信号がありません とにかく国道53号線は避けましょう。自転車で走る道ではないと思います 楽しく安全にサイクリングをしましょう。\n","date":"2024/12/16","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2024-12-16-cycling/","section":"Blog","summary":"","title":"岡山市のお勧めサイクリングルート","type":"blog"},{"content":"PythonにはmanylinuxというLinux用にビルドした，C/C++で書かれたPythonの拡張ライブラリを様々な環境(異なるディストリビューション)で動作させるための仕組みがあります。仕組みを調べたのでここにメモをしておきます。\n参考文献 # https://cibuildwheel.pypa.io/en/stable/ cibuildwheel というツールの文書。ここのドキュメントが一番有用だと思われる https://www.python.org/dev/peps/pep-0600/ 仕様や思想を説明した文書。 目標 # 目標は上に書いた通りLinux用にビルドしたC/C++によるPythonの拡張ライブラリを様々な環境(異なるディストリビューション)で動作させることです。\n問題と解決策 # 1. カーネルとlibcの互換性 # まずはLinuxカーネルとlibcの互換性の問題について考えます。これらはLinuxで動作する殆どのソフトウェアで必要とされる部品で，これの互換性がないとソフトウェアはまともに動作しません。ありがたいことにLinuxカーネルとlibc (glibc) は開発者の努力により高い後方互換性があり，古いバージョン用にビルドしたバイナリは新しいカーネル\u0026amp;libcでもちゃんと動作します。\nそこでこの互換性の問題は「適当に古いバージョンのLinuxカーネルとlibcの下でソフトウェアをビルドする」となります。あまり古すぎてサポートの問題があっても困るので，「適当に古く」「メンテナンスが続いているディストリビューション」を使うことになります。いくつか利用可能な環境があり，manylinux2014 (CentOS 7 ベース)，manylinux_2_28 (AlmaLinux 8 ベース)などがあります。\n2. 共有ライブラリの互換性 # 次に共有ライブラリの問題について考えましょう。これはこの手のバイナリのポータビリティに関して常に問題になることです。ある環境でビルド\u0026amp;リンクした共有ライブラリを別の環境に持っていくとその共有ライブラリが存在しない，もしくはバージョンが異なり互換性がない，という問題です。この問題のmanylinuxにおける解決は以下の通りです。\nビルドしたバイナリに動的リンクされる共有ライブラリをそのバイナリを解析して列挙する それらの共有ライブラリをシステムから抽出して拡張ライブラリを配布するパッケージに含める 実際にこれらの処理を実行するのは auditwheel というツールです。このツールは共有ライブラリの内容から計算したハッシュ値をファイル名に付け足すなどして共有ライブラリ名の不用意な衝突を避ける仕組みもあります。\nこのアプローチには限界があり，dlopenを使って動的に共有ライブラリをリンクする場合には対応できません。これの対策としてはdlopenを使わないことです。dlopenとmanylinuxの組み合わせをどうしても使いたいなら開発者が頑張るしかありません。\n3. 共有ライブラリの衝突 # 3つ目の問題は複数の拡張ライブラリを同時に使うときに生じる問題です。拡張ライブラリAと拡張ライブラリBが同時に同じ共有ライブラリXを使っている，ただし利用するXのバージョンが異なる，というときに生じる問題です。一般的に異なるバージョンの共有ライブラリを同時に読み込ませることはできません(まったく不可能というわけではないと思いますがそういう無理をすると大概トラブルの原因となります)。一方で上で説明したようにパッケージに共有ライブラリを含める仕組みにするとこういう問題が生じがちです。\nこれの対策ですが，明示された文章が見付からなかったのですがおそらく以下のような方法で対応することが想定されているものと思われます。\n環境はDockerなどを使って世界中の開発者の間で共有する 共有ライブラリはそのDocker imageの中から正当な方法でインストールするものに限る(デフォルトのディストリビューションのパッケージリポジトリだけを使って yum や apt でインストール) こうすれば同じ共有ライブラリの異なるバージョンが同時に利用される，ということはなくなるはずです。\nまあこれは開発者が共通の認識を持って運用する必要があるので本当にうまくいっているのかは不明です。\nツール # こういった処理を一通り自動化するツールとして上に挙げた cibuildwheel があります。自分の使っているCIにcibuildwheelを組み込んでビルドする，という感じです。\nLinux以外は？ # OSXやWindowsでも同様の問題があるはずですがmanylinuxのような仕組みはないようです。cibuildwheel自体はOSXやWindowsでもビルドもできるのですが，auditwheelはOSXも対応しているようですが，実際これをどのように使うべきなのか，という方針があまりないようです。つまり何となく動いてる，というような感じでしょうか。\n現状はどのmanylinuxが使われているのか # Numpyは manylinux2014 を使っているのでこれが一番普及しているのではないか，という気がします。しかしこれの元となっているCentOS 7は最近(2024/6/30)EOLになったので次に移行しようとする動きになると予想されます。とはいえこういった移行は時間がかかるのでしばらくこのままでしょう。\n追記 # NumPy 2.3.0 (2025/06 リリース) で manylinux2014 から manylinux_2_28 に更新されました。\n","date":"2024/10/18","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2024-10-18-manylinux/","section":"Blog","summary":"","title":"Pythonのmanylinuxの仕組み","type":"blog"},{"content":"","date":"2024/07/27","externalUrl":null,"permalink":"/tags/information/","section":"Tags","summary":"","title":"Information","type":"tags"},{"content":"最近公開した2編のプレプリントです。\nKoichi Mayumi, Shinya Miyajima, Ippei Obayashi, and Kazuaki Tanaka. Error evaluation of partial scattering functions obtained from contrast variation small-angle neutron scattering. Arxiv preprint (2024). https://arxiv.org/abs/2406.00311\nコントラスト変調小角散乱データから推定される部分散乱関数というものの誤差解析，という論文。大林は(何故か)統計パートの担当でベイズ統計を普通に使って解析しています。 Emi Minamitani, Takenobu Nakamura, Ippei Obayashi, and Hideyuki Mizuno. Persistent homology elucidates hierarchical structures in amorphous solids responsible for mechanical properties. Arxiv preprint (2024). https://arxiv.org/abs/2407.17707\nアモルファスの原子レベルの構造と弾性率の間の関係をPHで解明する，という論文。南谷さん渾身の一作。私はPH解析の手伝いをしています。 ","date":"2024/07/27","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2024-07-27-preprints/","section":"Blog","summary":"","title":"最近のプレプリントx2","type":"blog"},{"content":"この記事では，パーシステントホモロジーを応用したい人が「位相的データ解析から構造発見へ - パーシステントホモロジーを中心に」を読むのにはどうすればよいか，ということを作者の一人として独断を持って説明します。数学の証明はとりあえずわからなくとも良い(知りたければ後から読めばよい)，という方針で説明します。\nまず第一にこの本は理論，方法論，応用事例，といった内容を中心としていて，実際にデータ解析する例などは載っていないので，それは別の方法で補う必要があります。大林が作ったHomCloudを使うならそこのチュートリアルをやるとよいでしょう。日本語の解説もあります。\nというわけでこの本の読み方ですが，まずは1章に目を通して雰囲気を掴んだら応用事例が述べられた5章にいきなり行くとよいです。一部機械学習を使う話をしているのですが，それは4.1.3あたりにさっと目を通しましょう。4.1.2のパーシステンスランドスケープなどは5章をで使われていないのでとりあえず飛ばしてよいです。\nそれでパーシステントホモロジーが使えそうだ，となったら上で説明したHomCloudのチュートリアルをやってみるといいでしょう。それで自分のデータを解析してみてうまくいきそうだったら本を読むよりそっちをやったほうがよいかもしれません。\n一方，これだと何をしているのかよくわからない，という人も多いでしょう。パーシステントホモロジーによる解析を解釈したい場合などはもっと勉強したくなると思われます。すると次に読むべきは2章です。まずは2.1節を読んでいきます。ホモロジーの基礎は線形代数なのですが，結構線形代数を奇妙な形で利用します。数学科で代数学を勉強した人であれば簡単ですが，そうでなければ難しいでしょう。まあ量子力学での線形代数の使いかたはこの比ではなく奇妙なので大学で物理を専攻した人なら頑張ってください。読むべきは2.1.1節で，ここに関しては演習も一通り全部やると良いです。2.1.2の立方体複体は画像への応用に興味のある人が読めばよく，飛ばしてもかまいません。2.1.3は目を通して雰囲気を感じる程度でいいです。2.1.3で重要な点は(1)単体的複体や立方体的複体以外でもホモロジーが定義できる(2)「ホモトピー同値」な図形同士は同じホモロジーの情報を持つ，の2点です。\n2.2節はデータ解析の視点からは重要なことが色々書かれています。Vietoris-Rips複体とアルファ複体の構成とその性質は理解しておくと良いです。脈体の話は重要なのですが脈体定理の話は難しくこの本の中でも異質な部分なので「円盤の集まりの孔や空洞を調べたいときは対応する単体的複体を調べればよいことを保証する数学的理論」というくらいでふんわり理解しておけば良いでしょう。\n次は2.3節ですが，これを読みきればパーシステントホモロジーは理解したと言ってよいでしょう。\nその次は2.4をとりあず飛ばして2.5に目を通すとよいです。ここで説明されている安定性定理は実用上重要です。2.5では定理の説明はありますが証明は後回しです。\n実際の所，このくらい読めば応用には不自由しないでしょう。4章は気になる所だけつまみぐいすれば良いです。\nしかし，パーシステンス図計算アルゴリズムまで理解しないと責任が持てない，学術論文でパーシステントホモロジーを使うのならアルゴリズムまで理解したい，という人は2.4節にチャレンジしましょう。2.4はこの本の一番の山場です。\n3章については読まなくていいです。この章は数学者向けに書かれていますので応用に主眼がある人は対象外です。\n6章は短いまとめなので適当に読んでおいてください。読み方の説明は以上です。\n","date":"2024/06/11","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2024-06-11-book/","section":"Blog","summary":"","title":"応用がしたい人のための「位相的データ解析から構造発見へ」の読み方","type":"blog"},{"content":"2024年4月27日のMfIP連携探索ワークショップ(数学を軸とする新たな価値創造に向けて@明治大学中野キャンパス)で講演の機会をいただいたので，そのときのスライドを公開します。すごい評判が良かった，というわけでもないのですが多少うけた人もいるようです。\nhttps://drive.google.com/file/d/1ttzkMKEpScDeEsrS9yFlIs-nJnQE2kjS/view?usp=drive_link\n","date":"2024/05/22","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2024-05-22-mfip/","section":"Blog","summary":"","title":"2024年4月27日のMfIP連携探索ワークショップのスライド","type":"blog"},{"content":"rbs-inlineのDoc style syntaxはYARDで記述できる情報と似ています(@param @return など)。そこでyardが出力するドキュメントにrbs-inilineの情報を残す方法としては次のようにすれば良いです。\nyardのドキュメントとrbsの型宣言の情報を以下のような感じで混ぜて記述する。rbs-inlineはこれで解釈してくれる https://gist.github.com/ohai/6388bb6d9c84168b9b8bd83b6521f84f\nyardoc のコマンドラインに \u0026ndash;tag rbs:rbs を渡す。以下のような感じ\nyardoc lib/**/*.rb --tag rbs:rbs 出力されるhtmlは以下のようにレンダリングされる。\nYARDのプラグインを作るのがよりよいやりかただとは思いますがまあとりあえずはこんなんでもいいのではないでしょうか。\n","date":"2024/05/18","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2024-05-18-yard-rbs-inline/","section":"Blog","summary":"","title":"rbs-inlineの宣言とYARDのドキュメントを共存させる当面の方法","type":"blog"},{"content":"","date":"2024/05/18","externalUrl":null,"permalink":"/tags/ruby/","section":"Tags","summary":"","title":"Ruby","type":"tags"},{"content":"xevで調べた結果：\n左ボタンクリック ホイールクリック 右ボタンクリック ホイール回転奥向き ホイール回転手前向き () () 戻る 進む () () () ボタンが沢山あるマウスは上記の空いている所に割り当てられる。\nプレゼンテーション用のポインタのようなものの場合はキーボードイベント(右と左)が発生する場合もある。\n","date":"2024/04/24","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2024-04-24-linux-mouse-button-numbers/","section":"Blog","summary":"","title":"マウスのボタンの番号 on Linux (X Window system)","type":"blog"},{"content":"デベロッパーツールのConsoleを見ると\n3Dmol-min.js:2 WARNING: Too many active WebGL contexts. Oldest context will be lost. となっているのを発見。\nブラウザのWebGLはアクティブな「コンテキスト」の数の上限が決まっていてそれを越すと適当に古いのを消してしまうらしい。\nおそらく素の3dmol.jsも同様だろう。\nというわけでHomCloudのチュートリアルをなんとかする必要があるがどうしようかな。\n","date":"2024/04/18","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2024-04-18-py3dmol/","section":"Blog","summary":"","title":"py3Dmol を使っていると前にレンダリングした結果が消えたり見え方が変になる問題","type":"blog"},{"content":"最近公開した 4.4.0 では立方体(つまり正六面体)でなくとも直方体であれば周期境界条件が設定できるようになりました。これは最近のCGAL(5.6以降)で立方体でない周期境界がサポートされたことに依ります。というわけでこの機能を使うためにはCGALも新しいものを使う必要があります。\n本当は平行六面体までサポートできると良いんでしょうけどそれは大変そうです。\n","date":"2024/04/09","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2024-04-09-homcloud-noncubic-bc/","section":"Blog","summary":"","title":"HomCloudでは最近立方体でない周期境界条件が設定できるようになりました","type":"blog"},{"content":"最近 https://emacs-jp.github.io/tips/startup-optimization とか https://github.com/uwabami/emacs を見てEmacsの起動の高速化を図りました。ベースは leaf.el を使っています。emacs-init-timeで0.6秒弱まで縮めたので満足。\n","date":"2024/04/06","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2024-04-06-emacs/","section":"Blog","summary":"","title":"Emacsの起動の高速化","type":"blog"},{"content":"2022にJPSJから出したパーシステントホモロジーとHomCloudのレビュー論文が 「2022年にJPSJから出版された論文で2023年に引用数が上位10位以内」となったそうです。\nhttps://journals.jps.jp/page/jpsj/mc1y_2023\nありがたいことに色々な人にパーシステントホモロジーやHomCloudを活用してもらっているようです。\n","date":"2024/04/02","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2024-04-02-cert/","section":"Blog","summary":"","title":"「2022年にJPSJから出版された論文で2023年に引用数が上位10位以内」にパーシステントホモロジーとHomCloudのレビュー論文がなったそうです","type":"blog"},{"content":"Linuxでgitのhttpsアクセスのパスワードを保持する場合は，git-credential-libsecret - libsecret - Gnome Keyring という構造で最終的にはGnome Keyringが管理します。それでGnome Keyringが保持している各種パスワード情報を見たい場合は seahorse というアプリケーションを使えばよいです。\n","date":"2024/03/31","externalUrl":null,"permalink":"/blog/2024-03-31-gnome-keyring/","section":"Blog","summary":"","title":"Gnome Keyringが管理しているパスワードを調べる方法","type":"blog"},{"content":" Recognitions - 表彰など # 令和7年度岡山大学工学部研究功績賞 令和4年度岡山大学工学部研究功績賞 2019 JSC-JAPAN優秀論文賞「Understanding diffraction patterns of glassy, liquid and amorphous materials via persistent homology analyses」 第11回 桜舞賞 研究奨励賞「Development of topological data analysis software and its industrial applications」 (2020/03/10) 第6回藤原洋数理科学賞 奨励賞「パーシステントホモロジー応用開発」(link1, link2) 日本応用数理学会 2017 年度 論文賞 (Ippei Obayashi, Shinya Aoi, Kazuo Tsuchiya, Hi- roshi Kokubu, Common formation mechanism of basin of attraction for bipedal walk-ing models by saddle hyperbolicity and hybrid dynamics, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics 2015, Vol.32, pp.315-332, による ) (link) 日本応用数理学会 2017 年度 ベストオーサー賞 ( 大林一平 , パーシステンス図の逆問題, 応用数理 2016, Vol.26, No.4, pp.7-14 による ) (link) AIMR International Symposium 2017 (AMIS2017) Best Poster Award for the poster entitled \u0026ldquo;Analysis of Digital Images from Material Science using Persistence Diagrams and Machine Learning\u0026rdquo; プレスリリース # トポロジーで紐解くアモルファスの硬さが決まるメカニズム―柔らかさの鍵は階層構造― (2025/09/25) 薄膜生成時の枝分かれ現象を、トポロジー・物理・AIの融合で解明〜Beyond 5Gを支える基盤技術への応用に期待〜 (2025/04/08) 中性子小角散乱法を用いた多成分系ナノ構造解析における誤差評価手法を開発――食品や医薬品など多成分物質の構造解析の高精度化・高効率化に貢献―― (2024/12/17) 金属酸化物結晶中のネットワーク構造の乱れが電池の負極特性を低下させることを解明～リチウムイオン電池の放電容量と安全性の向上に寄与～ (2024/12/10) トポロジー✕機械学習で開く物性シミュレーション～カタチからエネルギーをズバリと当てる新技術～ (2023/08/22) アモルファス構造のトポロジーから熱伝導率を予測する技術を開発～ミクロな構造と材料機能の相関解明に期待～ (2022/06/23) 複雑な構造の”かたち”から”ながれ”を直接予測 岩石内の流体流動をトポロジーによって読み解く (2021/09/22) 世界一構造秩序のあるガラスの合成と構造解析に成功 －ガラスの一見無秩序な構造の中に潜む秩序を抽出－ (2020/12/25) ガラスにならない超高温酸化物液体が持つ特異構造－宇宙・地上での実験と大規模理論計算･先端数学の連携による発見－ (2020/06/02) ミクロな見た目の “かたち” で材料の欠陥がわかる (2018/02/26) その他 # Most Cited Articles in 2023 from Vol. 91 (2022) 翻訳監修： 日経サイエンス 2024年1月号 特集ビッグデータの幾何学 K. ヒューストン=エドワーズ著 トポロジーでデータの「かたち」を捉える 学会活動など # 日本応用数理学会 第21回 研究部会連合発表会応用数理学会 実行委員長 (2024年3月) 日本応用数理学会 理事 (2024〜2025年度) 日本応用数理学会 位相的データ解析部会 主査 (2021年度〜) RIMS共同研究「力学系理論の展開と応用」 代表者(2023年度) RIMS共同研究「力学系の理論と諸分野への応用」 代表者(2022年度) 第 10 回 JST 数学領域 未解決問題ワークショップ オーガナイザー (2026年度) 第 9 回 JST 数学領域 未解決問題ワークショップ オーガナイザー (2025年度) 第 8 回 JST 数学領域 未解決問題ワークショップ オーガナイザー (2024年度) 第 7 回 JST 数学領域 未解決問題ワークショップ オーガナイザー (2023年度) 第 6 回 JST 数学領域 未解決問題ワークショップ オーガナイザー (2022年度) 第 3 回 JST 数学領域 未解決問題ワークショップ オーガナイザー (2019年度) 第 2 回 JST 数学領域 未解決問題ワークショップ オーガナイザー (2018年度) 第 1 回 JST 数学領域 未解決問題ワークショップ オーガナイザー (2017年度) 第 2 回 JST CREST 「数学」領域横断若手合宿 運営幹事 (2014年度) 第 1 回 JST CREST 「数学」領域横断若手合宿 運営幹事 (2013年度) 研究プロジェクト # 科学研究費補助金 基盤研究 (B) 「時空間パターンデータのパーシステントホモロジー解析手法開発応用」 JSTさきがけ 「数理構造活用」領域 - パーシステントホモロジーによる位相高次構造抽出手法開発 科学研究費補助金・学術変革領域研究（A）「超秩序構造が創造する物性科学」 ","externalUrl":null,"permalink":"/activities/","section":"Ippei Obayashi's Website","summary":"","title":"Activities","type":"page"},{"content":"","externalUrl":null,"permalink":"/authors/","section":"Authors","summary":"","title":"Authors","type":"authors"},{"content":"","externalUrl":null,"permalink":"/categories/","section":"Categories","summary":"","title":"Categories","type":"categories"},{"content":" Education # Ph. D. (D. Sc.) March 2010, Kyoto University Advisor: Prof. H. Kokubu Thesis: Exponential decay of correlations for surface semiflows with an expanding direction Field: Mathematics M. Sc. March 2006, Kyoto University Advisor: Prof. H. Kokubu Thesis: Decay of correlations for suspension semiflows defined by the beta transformations Field: Mathematics B. Sc. March 2004, Kyoto University (mathematics) Professional Experience # April 2021 - present: Professor, Artificial Intelligence and Mathematical Data Science Center (Angels), Cyber-physical Engineering Informatics Research Core (Cypher), Okayama University Concurrent appointments: Faculty of Engineering, Graduate School of Environmental, Life, Natural Science and Technology June 2018 - March 2021: Research scientist, Center for Advanced Intelligence Project, RIKEN April 2018 - May 2018: Associate professor, AIMR, Tohoku University April 2015 - March 2018: Assistant professor, AIMR, Tohoku University April 2010 - March 2015: JST CREST postdoctoral fellow, Kyoto University Other Experience # April 2020 - February 2021: Part-time lecturer at Kyoto University December 2018 - February 2019: Part-time lecturer at Tohoku University October 2014 - February 2015: Part-time lecturer at Kyoto University April 2006 - March 2010: Part-time programmer at Trans New Technology, Inc http://www.trans-nt.com/ Research Interest # Topological data analysis, Persistent homology, Dynamical systems, Applied statistics, Applied mathematics, Computational science\nRecognition # Award of the Outstanding Papers Published in the JCS-Japan in 2019: http://doi.org/10.2109/jcersj2.19143 11th Ohbu Research Incentive Award \u0026ldquo;Development of topological data analysis software and its industrial applications\u0026rdquo; (March 2020) 6th Hiroshi Fujiwara Prize on Mathematical Science, Young Researchers Prize (September 2017) 2017 JJIAM Best Paper Award (by Ippei Obayashi, Shinya Aoi, Kazuo Tsuchiya a, Hiroshi Kokubu, Common formation mechanism of basin of attraction for bipedal walking models by saddle hyperbolicity and hybrid dynamics, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics 2015, Vol.32, pp.315-332) http://www2.jsiam.org/ronbun-bestauthor2017 (September 2017) 2017 JSIAM Best Author Award (by 大林一平, パーシステンス図の逆問題, 応用数理 2016, Vol.26, No.4, pp.7-14) http://www2.jsiam.org/ronbun-bestauthor2017 (September 2017) AIMR International Symposium 2017 (AMIS2017) Best Poster Award for the poster entitled \u0026ldquo;Analysis of Digital Images from Material Science using Persistence Diagrams and Machine Learning\u0026rdquo; (February 2017) Membership of Academic Societies # Mathematical Society of Japan The Japan Society for Industrial and Applied Mathematics Research Funding # As a Principal Investigator # Grant-in-Aid for Scientific Research (B): 2026\u0026ndash;2031 \u0026ldquo;Development and Application of Persistent Homology Analysis Methods for Spatio-Temporal Pattern\u0026rdquo; JST PRESTO (さきがけ) Elucidating mathematical structures in real/virtual world objects and their utilization [Math-Structure]: 2019\u0026ndash;2023 JSPS Grant-in-Aid for Young Scientists (B): 2016\u0026ndash;2020 \u0026ldquo;Analysis focusing on the formation mechanism of the suction area of ​​the two-legged as a hybrid dynamical system\u0026rdquo; As a Co-investigator # Grant-in-Aid for Scientific Research (C): 2026\u0026ndash;2029 旧β高次配置のMI指標化によるTi-6Al-4V L-PBF材の疲労強度予測 Grant-in-Aid for Transformative Research Areas (A): 2020\u0026ndash;2025 \u0026ldquo;Hyper-Ordered structure\u0026rdquo; Grant-in-Aid for Scientific Research (A): 2019\u0026ndash;2024 \u0026ldquo;Determination of trigger sites for crack formation in aeronautical composite by combining X-ray microscopy and applied mathematics\u0026rdquo; Activities # Board member of JSIAM (2024, 2025) ","externalUrl":null,"permalink":"/cv/","section":"Ippei Obayashi's Website","summary":"","title":"Curriculum Vitae","type":"page"},{"content":"Graduate School of Environmental, Life, Natural Science and Technology at Okayama University, to which Obayashi belongs, is looking for graduate students. We research in topological data analysis, especially persistent homology, which is a kind of applied mathematics. We welcome applications from students who are interested in the following topics.\nResearch on data analysis methods using persistent homology Application of persistent homology to data analysis in materials science, etc. Of course, applications to other fields are welcome. Research on algorithms and software for persistent homology Research on the mathematical theory of topological data analysis Scholarship # Our laboratory do not provide its own scholarship or research assistant payment. We recommend that an applicant who needs scholarship applies to MEXT scholarship through embassy recommendation.\nMEXT scholarship through university recommendation is based on university exchange agreements; therefore, a potential applicant for university recommendation must consult with their university.\nMaster course # Master course applicants must have:\nSufficient Japanese skills (JLPT N1 or equivalent) University-level mathematics skills Programming skills Japanese skills are requred since master course students must have courseworks in Japanese. Math and programming skills and required for courseworks and research works.\nDoctor course # Doctor course applicants must have:\nSufficient research skills Research plan in our laboratory ","externalUrl":null,"permalink":"/looking_for_joining_our_research_group_en/","section":"Ippei Obayashi's Website","summary":"","title":"Graduate student program","type":"page"},{"content":"大林研究室は，\n岡山大学工学部数理データサイエンスコースからの4年生 岡山大学大学院環境生命自然科学研究科 に進学する大学院生 を歓迎します。\n岡山大学工学部数理データサイエンスコース以外の学生でも，数学・統計学・情報学・物理学などを勉強していて「数学的手法を活用したデータ解析」に興味がある学生，情報科学を勉強していて「トポロジーという数学にもとづくデータ解析手法の開発」に興味がある学生，また数学が専門で「位相的データ解析の数学」に興味がある学生，を歓迎します。 数理に重みを置くか手法に重みを置くか解析対象となる分野に重みを置くかは学生の興味と適正に基づいて決めます。\n大林の研究分野について # 大林の分野は応用数学，特に位相的データ解析です。その他力学系や応用統計，マテリアルズインフォマティクスなどにも興味があります。\nこれまでの学生の卒論・修論のタイトル # 卒論：\nパーシステントホモロジーを用いたSiO₂の結晶構造解析 位相的データ解析による​口コミデータのパターン抽出と可視化 パーシステントホモロジーのアルゴリズム化について 修論：\nパーシステントホモロジーによる延伸処理を加えたリン酸塩ガラスの構造解析 進学相談 # 進学希望者はまずは大林 (i.obayashi@okayama-u.ac.jp) まで連絡をください。 希望分野や研究計画について相談したいと思います。\n研究紹介 - パーシステントホモロジー # 位相的データ解析とは数学のトポロジーを使ったデータ解析手法の総称で，複雑なデータの形を数学の力で定量化し，「形のデータサイエンス」を実現するための手法です。 材料科学，生命科学，画像処理など様々な方面で応用が今まさに進んでいる分野です。 大林は特にパーシステントホモロジーという手法の研究に取り組んでいます。\nパーシステントホモロジーではデータから形の情報を縮約したパーシステンス図を計算し，この図を使ってデータの形の特徴を探索します。\nアモルファスシリカの原子配置からパーシステンス図を計算する {: width=\u0026ldquo;600px\u0026rdquo;}\nこのヒストグラムの各点が1がデータに含まれる孔やリング・空洞といった構造を表しています。\nパーシステントホモロジーの応用例 - 金属ガラスの乱れた構造の解析 # https://doi.org/10.1038/s43246-020-00100-3\n金属ガラスは周期的な構造を持たない，乱れた原子配置を持つ金属です。 代表的な固体である結晶は三次元周期構造を持ち，その周期構造が様々な物性(物質の示す物理的性質)を決定します。 一方ガラスは周期的を持たず，乱れた構造を持っています。特に合金のガラスを金属ガラスと呼びます。 以下の図はパラジウムとケイ素の二元素からなる金属ガラスの原子配置です。\n分子動力学シミュレーションで計算された Pd-Si ガラスの原子配置; O. Adjaoud and K. Albe. Acta Materialia, 113 284-292 (2016) より引用 {: width=\u0026ldquo;300px\u0026rdquo;}\n金属ガラスはこの乱れた構造が物性の鍵と考えられていますが，その構造をどのように特徴付けるべきかは決定的な方法がありません。 そこで，パーシステントホモロジーを使って構造を特徴付ける試みをしました。 パーシステントホモロジーで形を定量化し，機械学習を組み合わせてその背後にあるパターンを抽出することで特徴的なパターンを発見したのがこの研究です。\nPd-Si ガラスが持つ特徴的局所パターン; 上記論文より引用 パーシステントホモロジーによるデータ解析ソフトウェア HomCloud # 大林研究室ではパーシステントホモロジーに基くデータ解析ソフトウェア HomCloud を開発しています。 以下のような機能を持っています。\nデータからパーシステンス図を計算 点群データや画像データからパーシステンス図が計算できます。 パーシステントホモロジーの逆解析機能 機械学習とパーシステントホモロジーの連携機能 HomCloud は大林研究室の様々な研究，例えば材料科学への応用などに利用されています。\nHomCloud によってパーシステンス図を計算するPythonコード。Google Colaboratoryで動いている。 パーシステントホモロジーの手法研究 - 逆解析・機械学習とパーシステントホモロジーの組み合わせ # https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/17M1159439 https://doi.org/10.1007/s41468-023-00119-8\nHomCloud の所で説明したように，パーシステントホモロジーによるデータ解析ではデータからパーシステンス図を計算し，この図からデータの幾何的特徴を読み解きます。 このとき，パーシステンス図が持っている幾何的情報が元データのどのような形に対応するかを特定するのが「逆解析」です。\nパーシステンス図はデータの形の情報を圧縮するための手法なので，元データとは一対一に対応していません。 この対応を復元するためには工夫が必要で，この研究では線形計画法といった数理最適化の手法が用いられています。 数学と計算機科学の組み合わせによってこの手法が実現されているのです。\n逆解析の概念図。データから計算したパーシステンス図の一点に対応するリング構造を抽出する。 https://doi.org/10.1007/s41468-018-0013-5\nパーシステントホモロジーはデータの形を定量的に特徴付けるための手法で，機械学習はデータの背後にあるパターンを抽出するための技法です。 そこでこの二つを組み合わせると，データの特徴的幾何パターンを抽出することができるようになります。 この研究ではパーシステンス図，パーシステントホモロジーの逆解析，そして線形モデルを組み合わせることで「解釈性の高い形の機械学習」が実現できることを示しています。\n逆解析機能の概要 研究紹介 - マテリアルズインフォマティクス # マテリアルズインフォマティクスは材料科学に情報学の手法を導入し，研究の効率化と新展開を目指す科学です。 材料科学(もっと広く物理学)では伝統的に実験，理論，計算機シミュレーションといった手法が用いられ研究が進められてきました。 そして，実験やシミュレーションのデータをより効果的に活用する「データ駆動的手法」の重要性が比較的古くから認識されていました。 そこで機械学習や計算機統計などの情報学の手法を導入していくという潮流がマテリアルズインフォマティクスです。\n上で挙げたパーシステントホモロジーによる金属ガラスの解析などもマテリアルズインフォマティクスの一例と捉えることができます。 大林は応用数学の専門家としてこういったマテリアルズインフォマティクスの問題にも取り組んでいます。\n中性子小角散乱実験のデータのノイズ除去 # https://doi.org/10.1107/S1600576724010872\nこの研究ではコントラスト変調中性子小角散乱実験のデータから部分散乱関数を高精度かつ効率的に推定する手法を提案したものです。 この実験は中性子を試料に照射して散乱強度を測定し，物質のナノ構造を解析する手法です。 水素の一部を重水素に置き換えた複数試料を用いることで，多成分系の構造情報を成分ごとに抽出可能となる強力な手法です。 試料のミクロ構造情報から部分散乱関数が決まり，部分散乱関数から散乱強度が決まるため，これを散乱強度から逆向きに推定することで構造を推定することができます。 中性子実験は実験が大変でコストが高いため，できるだけ少ない照射時間で精度の高い推定ができる手法が必要とされています。\nこの研究ではガウス過程回帰と呼ばれるベイズ推定の一種を利用し，部分散乱関数を高精度に推定する手法を開発しました。\n左が従来の手法で推定した部分散乱関数で右が提案手法によって推定された部分散乱関数。右のほうがエラーバーが小さく自然な曲線が推定されている; 上記論文より引用 学生の研究課題について # 大学院生の研究課題としては，以下のようなものが挙げられます。 もちろんこれらに限定されるものではありませんが，あまりかけ離れていると大林が指導するのが難しくなります。\nこれらのトピックは大林のこれまでの研究と関連するものや，今後の研究の方向性と関連しているトピックです。\n位相的データ解析を使ったデータ解析 # 以下のようなトピックが考えられます。\nパーシステントホモロジーを用いた原子配置データの解析 HomCloud を活用して解析します。 ガラスやアモルファスといった乱れた構造の解析が有望なターゲットです。 分子動力学シミュレーションや逆モンテカルロ法などで計算された構造を利用します。 物理や化学の専門家との共同研究となります (学生 + 大林 + 材料の専門家 という組み合わせになります)。 パーシステントホモロジーを用いた材料科学画像解析 原子顕微鏡などで観測したデータなどが対象です。 パーシステントホモロジーを用いた時空間パターン解析 パターンダイナミクス，群集運動のようなアクティブマター，流体，破壊現象といった空間パターンが時間的に変化する様子をパーシステントホモロジーで解析します。 パーシステントホモロジーの「マルチスケールなデータの解析を可能にする」「複雑な幾何的特徴を定量化できる」「3次元パターンの解析に有用」といった特徴を活用し，時空間パターンが持つダイナミクスを特徴付けることを目指します。 マッパーを用いたデータ解析 最近我々の研究室で始めたことです。自然言語処理 + マッパーで Wikipedia のデータ解析を行っています。 パーシステントホモロジーによる細胞計測データの解析 山本先生 (東京都立大機械システム工学科) との共同研究。 以下の図のようなデータを解析します。 細胞集団の秩序性と生物学的性質の間の相関を解明することが目標です。 細胞画像データ(左)とそれを処理したデータ(右)。この処理済みデータをさらに解析していく。; 図はYamamoto et al., Nat. Biomed. Eng. (2019)より引用。まだ共同研究を始める前のもの。 材料科学や細胞のデータなどは大林が共同研究者に依頼して収集することができますが，それ以外のデータをやりたい場合は自分でデータを探してくる必要があります。\nこの分野は数理(線形代数，微積，統計，基本的な機械学習など)とプログラミング(Pythonを使います)がバランス良くできる学生が向いています。\nまた，解析対象となるデータに関する知見があると非常に有用です。 専門が材料科学の場合は，材料科学の研究室に所属して大林の研究室と共同研究する，という体制も良いでしょう。そちらの研究室の教員とも相談してください。\n中性子小角散乱データの解析手法開発 # 上で挙げた原子配置データや材料科学画像の解析などに加え，中性子小角散乱データの解析手法開発といったトピックがあります。 こちらは眞弓先生 (東大物性研) との共同研究です。\n眞弓先生が得意としている散乱実験であるコントラスト変調中性子小角散乱は，試料の重水素化率を変化させることで成分ごとの中性子散乱強度を変化させ，多成分系の構造を推定可能な手法です。 最終的に知りたい構造の情報(例えば球形の分子の半径など)と実験データとの間には複雑な物理モデルがあり，実験データから構造を推定するにはこれらの物理モデルを適切に統計モデルとして表現し，その推定方法を改善する方法を開発します。\nこの分野も数理と計算機がバランス良くできる学生が向いています。特にベイズ推定を勉強しておくとよいでしょう。\n位相的データ解析の手法開発 # パーシステントホモロジーを利用した解析手法開発は大林の重要なトピックです。例として以下のような研究内容を想定しています。\nパーシステントホモロジーによる説明可能機械学習 最近流行っている説明可能AIをパーシステントホモロジーによる機械学習でも実現しようというものです。 少数データでの機械学習の予測精度 データ量が多い場合，予測タスクではパーシステントホモロジーを使うより GBDT (勾配ブースティング決定木) や DNN (深層ニューラルネットワーク) といった手法のほうが有利な場合が多いでしょう。 一方データが100件程度の場合にはパーシステントホモロジーが有利な場合もあるのではないか，と考えています。 これを実証的に検証できると面白そうです。 パーシステントホモロジーのアルゴリズム研究 計算幾何学，逆解析など GPGPUを使ったパーシステントホモロジーの各種アルゴリズムの高速化なども良いかもしれません この分野(数学アルゴリズムなど)に関しては，数学と情報科学の両方でそれなりに高度な知識が必要です。 「数学アルゴリズム」はブルーオーシャンな分野が結構あって位相的データ解析もその一つだと思いますが，数学と情報科学の2つの道具を駆使する必要があります。\nパーシステントホモロジーの理論研究 # 数理データサイエンスコースの学生にはお勧めしませんが，理学部数学科で数学の勉強をしてきた学生であればパーシステントホモロジーの理論研究も指導可能なトピックの一つです。 大林研究室でやるのであれば計算機での実装可能性も重視したいのでハードルが高い(数学と計算機を両方勉強してきて欲しい)ですが，こういった挑戦的な問題に取り組む学生を歓迎します。\nマテリアルズインフォマティクス # 大林研究室では材料科学データのデータ解析をよく行っています。 このようなマテリアルのデータを研究対象とする利点には以下のようなものがあり，材料科学データ解析はお勧めするトピックの一つです。\n生物データや社会データに比べるとデータの性質が良い。\n実験の制御がしやすく，余計なノイズが入らないような実験設計が可能です。 例え余計なノイズが避けられないにしても，そのノイズだけを別に計測するようなことが可能な場合が多いです。 実験や観測も生物などより幅広くできる。 X線で内部構造を観察する場合，生物だとX線強度が強すぎると細胞が傷付いてまともに計測できませんが，無機材料だとそういった問題はありません。 データのばらつき具合が良く知られた確率分布に従うことが多い。 様々な誤差が正規分布に従います。生物データや社会データは正規分布で考えるには無理のあるデータも多いです。 正規分布以外でも，例えば中性子の観測数はポアソン分布などにかなり正確に従います。 シミュレーションの場合は統計力学に基づいたアルゴリズムが用いられるので，統計的な性質が非常に良くなります。 シミュレーションの信頼性が高い。\n生物学のシミュレーションや社会シミュレーションなどはシミュレーションモデル設計の難しさから，結果が定量的に合うことはあまり期待されていません。 どちらかというと定性的性質を調べることが目標です。 一方材料科学のシミュレーションは良く知られた物理法則に基づくもので，高い定量性が期待できます。 比較的大量のデータを集めやすい。\n大林の共同研究先に材料科学の研究者が多いためデータを探しやすい。\nどのような勉強をするとよいか # 以上のようなトピックについて研究をしたい場合は，以下のような内容を勉強する必要があります。\n数学・統計学・情報学など 線形代数，微分積分，数理統計学，機械学習あたりの分野を身に付けると良いでしょう。 統計・機械学習は線形回帰やロジスティック回帰，主成分分析のような次元削減やクラスタリングくらいまで知っていると良いでしょう。 プログラミング言語 Python を使います。 これ以外でも，以下のような知識があると研究に有利です。\nホモロジーなどの位相幾何学 基本的には研究室に入ってから勉強しますが，あらかじめ勉強しておくと非常に有利です。 解析対象となるデータに関する知見 材料科学，医学生物学など解析対象となるデータに関する学術的知見は非常に有用です。 パターンダイナミクスなど時空間パターン解析をやりたい場合はシミュレーションが自分でできると非常に有利です。 教科書 # 手前味噌ですが，パーシステントホモロジーに関しては大林も執筆に参加した以下の教科書がお勧めです。\n池祐一, E.G. エスカラ, 大林一平, 鍛冶静雄. 位相的データ解析から構造発見へ - パーシステントホモロジーを中心に. サイエンス社 (2023) https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=978-4-7819-1580-7\u0026y=2023 大学院のシステムについて # 岡山大学大学院環境生命自然科学研究科は岡山大学の理・工・農学の多くの分野を統合した研究科です。 大林研究室に進学する学生はこの研究科に所属します。\n募集要項は以下の通りです。\n博士前期課程 学生募集要項 博士後期課程 学生募集要項 この研究科は，学位プログラム / コース / 研究分野 / 指導教員という4段階で構成されていて，各学生はこれらを選択します。大学院のシステムは組織変更のため階層が多くなっています。大林研究室の場合\n博士前期課程 (修士課程)： 数理情報科学学位プログラム / 数理データ科学コース / 数理データ活用学分野 / 大林一平 博士後期課程： 先進理工科学学位プログラム / 数理データ科学コース / 数理データ活用学分野 / 大林一平 という階層になっています。\n博士前期課程は2年でコースワーク(授業)と指導教員の指導による研究を行い，必要な単位を取得し最終的に修士論文の執筆と研究発表を実施することで修士の学位が認められます。 数理データ科学コースの提供する授業を中心に受講します。 数理情報科学学位プログラムの提供する授業であれば幅広く取ることもできます。 つまり数理データ科学コースの授業の他に数学や情報科学のコースの授業なども取ることができます。 また，企業や官公庁へのインターンシップ，学会発表などによる単位取得が修了条件に含まれます。\n博士後期課程は3年間の研究を博士論文にまとめることで博士の学位が認められます。 博士後期課程は研究者養成課程であって，その学位は研究者として最低限の能力があることを証明するものなので，学術雑誌への論文の執筆，投稿，査読者とのやりとり，学術講演，といった研究者としての一通りの活動を経験する必要があります。 そのためこれらの経験も学位の条件として設定されています。\n","externalUrl":null,"permalink":"/looking_for_joining_our_research_group/","section":"Ippei Obayashi's Website","summary":"","title":"Obayashi Laboratory","type":"page"},{"content":" Books (in Japanese) # 池祐一, E.G. エスカラ, 大林一平, 鍛冶静雄. 位相的データ解析から構造発見へ - パーシステントホモロジーを中心に. サイエンス社 (2023) https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=978-4-7819-1580-7\u0026y=2023\n伊藤聡 編・ 吉田亮・劉暢・Stephen Wu・野口瑶・山田寛尚・赤木和人・大林一平・山下智樹 著. マテリアルズインフォマティクス. 共立出版 (2022) https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10013510.html\nPapers # K. Masuzawa, A. L. Foggiatto, S. Kunii, R. Nagaoka, M. Taniwaki, T. Yamazaki, C. Mitsumata, I. Obayashi, Y. Hiraoka and M. Kotsugi. Explainable analysis of the complex maze magnetic domain structure through extension of the Landau free energy model by adding an entropy feature. Scientific Reports volume 16, Article number: 12889 (2026). https://doi.org/10.1038/s41598-026-39617-x\nNaoto Kitamura, Yizhong Tang, Koji Kimura, Ippei Obayashi, Yohei Onodera, Ken Nakashima, Chiaki Ishibashi, Yasushi Idemoto, and Koichi Hayashi. Cation distribution and diffusion-path topologies of A-site-deficient perovskite LixLa(1−x)/3NbO3. Journal of the Ceramic Society of Japan, 134 (4), 225\u0026ndash;231 (2026). https://doi.org/10.2109/jcersj2.25074\nYasuaki Hiraoka, Ken Nakashima, Ippei Obayashi, and Chenguang Xu. Refinement of Interval Approximations for Fully Commutative Quivers. Japan J. Indust. Appl. Math. (2025). https://doi.org/10.1007/s13160-025-00739-w\nEmi Minamitani, Takenobu Nakamura, Ippei Obayashi \u0026amp; Hideyuki Mizuno. Persistent homology elucidates hierarchical structures responsible for mechanical properties in covalent amorphous solids. Nature Communications 16, Article number: 8226 (2025). https://doi.org/10.1038/s41467-025-63424-z\nMichiki Taniwaki, Ryunosuke Nagaoka, Ken Masuzawa, Shunsuke Sato, Alexandre Lira Foggiatto, Chiharu Mitsumata, Takahiro Yamazaki, Ippei Obayashi, Yasuaki Hiraoka, Yasuhiko Igarashi, Yuta Mizutori, Sepehri Amin Hossein, Tadakatsu Ohkubo, Hisashi Mogi and Masato Kotsugi. Automated identification of the origin of energy loss in nonoriented electrical steel by feature extended Ginzburg–Landau free energy framework. Scientific Reports. 15, Article number: 23758 (2025). https://doi.org/10.1038/s41598-025-00357-z\nIppei Obayashi, Shinya Miyajima, Kazuaki Tanakac and Koichi Mayumi. Enhanced estimation method for partial scattering functions in contrast variation small-angle neutron scattering via Gaussian process regression with prior knowledge of smoothness. Journal of Applied Crystallography. 58 (3), 976\u0026ndash;991 (2025). https://doi.org/10.1107/S1600576725003334\nMisato Tone, Shunsuke Sato, Sotaro Kunii, Ippei Obayashi, Yasuaki Hiraoka, Yui Ogawa, Hirokazu Fukidome, Alexandre Lira Foggiatto, Chiharu Mitsumata, Ryunsuke Nagaoka, Arpita Varadwaj, Iwao Matsuda, and Masato Kotsugi. Linking structure and process in dendritic growth using persistent homology with energy analysis. Science and Technology of Advanced Materials: Methods. 5(1), (2025) https://doi.org/10.1080/27660400.2025.2475735\nKoichi Mayumi, Tatsuro Oda, Shinya Miyajima, Ippei Obayashi and Kazuaki Tanaka. Error evaluation of partial scattering functions obtained from contrast-variation small-angle neutron scattering. Journal of Applied Crystallography, 58 (1), (2025). https://doi.org/10.1107/S1600576724010872\nNaoto Kitamura, Hikari Matsubara, Koji Kimura, Ippei Obayashi, Yohei Onodera, Ken Nakashima, Hidetoshi Morita, Motoki Shiga, Yasuhiro Harada, Chiaki Ishibashi, Yasushi Idemoto and Koichi Hayashi. Relationship between network topology and negative electrode properties in Wadsley–Roth phase TiNb2O7. NPG Asia Materials, 16, Article number: 62 (2024). https://doi.org/10.1038/s41427-024-00581-5\nR. Nagaoka, K. Masuzawa, M. Taniwaki, A. L. Foggiatto, T. Yamazaki, I. Obayashi, Y. Hiraoka, C. Mitsumata, M. Kotsugi. Quantification of the coercivity factor in soft magnetic materials at different frequencies using topological data analysis. IEEE Transactions on Magnetics, 60 (9), Art no. 4000305, 1\u0026ndash;5, (2024). https://doi.org/10.1109/TMAG.2024.3408002\nA. L. Foggiatto, R. Nagaoka, M. Taniwaki, T. Yamazaki, T. Ogasawara, I. Obayashi, Y. Hiraoka, C. Mitsumata, M. Kotsugi. Analysis of the excess loss in high-frequency magnetization process through machine learning and topological data analysis. vol. 60, no. 9, pp. 1-5, Sept. 2024, Art IEEE Transactions on Magnetics, 60 (9), Art no. 7001305, 1\u0026ndash;5 (2024). https://doi.org/10.1109/TMAG.2024.3406717\nYuta Shuseki, Shinji Kohara, Tomoaki Kaneko, Keitaro Sodeyama, Yohei Onodera, Chihiro Koyama, Atsunobu Masuno, Shunta Sasaki, Shohei Hatano, Motoki Shiga, Ippei Obayashi, Yasuaki Hiraoka, Junpei T. Okada, Akitoshi Mizuno, Yuki Watanabe, Yui Nakata, Koji Ohara, Motohiko Murakami, Matthew G. Tucker, Marshall T. McDonnell, Hirohisa Oda, and Takehiko Ishikawa. Atomic and Electronic Structure in MgO–SiO2. J. Phys. Chem. A 128 (4), 716\u0026ndash;726 (2024). https://doi.org/10.1021/acs.jpca.3c05561\nKota Okamoto, Nozomi Akashi, Ippei Obayashi, Kohei Nakajima, Hiroshi Kokubu, Kei Senda, Kazuo Tsuchiya and Shinya Aoi. Sharp changes in fractal basin of attraction in passive dynamic walking. 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Chaos 22, 047508, (2012). (article)\nIppei Obayashi. Computer-assisted verification method for invariant densities and rates of decay of correlations. SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 10 788\u0026ndash;816, (2011). (aritcle)\nIppei Obayashi. Exponential decay of correlations for surface semiflows with an expanding direction. J. Math. Kyoto University 49 427\u0026ndash;440, (2009). (aritcle (open access))\nPapers (written in Japanese, peer-reviewed) # 山田 拓洋, 鈴木 雄太, 三俣 千春, 小野 寛太, 上野 哲朗, 大林 一平, 平岡 裕章, 小嗣 真人. パーシステントホモロジーを用いた迷路状磁区構造におけるトポロジカル欠陥の可視化. 表面と真空 62 巻 3 号, p. 153-160 (2019). (article)\n平岡 裕章, 大林 一平. パーシステントホモロジーの基礎と材料工学への適用例. まてりあ 58巻1号 pp.17\u0026ndash;22 (2019). article\n木村 正雄, 武市 泰男, 大林 一平, 村尾 玲子, 平岡 裕章. X線顕微鏡による化学状態マッピングと応用数学による材料学的知見無しでの反応サイト特定. まてりあ 57巻12号 pp. 595 (2018). article\n大林 一平. パーシステンス図の逆問題. 応用数理 26 (4), (2016). article (open access)\nProceedings (peer-reviewed) # M. Kimura, I. Obayashi, Y. Takeichi, R. Murao, and Y. Hiraoka. Non-Empirical Identification of Trigger Sites in Image Data using Persistent Homology: Crack Formation during Heterogeneous Reduction of Iron-Ore Sinters. Proceedings of the 14th International Conference on X-ray Microscopy (XRM2018), Microscopy and Microanalysis, 24(S2) 540\u0026ndash;541, (2018). article\nM. Kimura and Y. Takeichi and R. Murao and I. Obayashi and Y. Hiraoka and Y. Liu. Chemical state mapping of heterogeneous reduction of iron ore sinter. Journal of Physics: Conference Series 849(1) 012015, X-Ray Microscopy Conference 2016 (XRM 2016) 15 – 19 August 2016, Oxford University, United Kingdom, (2017).\nZin Arai, Hiroshi Kokubu and Ippei Obayashi. Capturing the global behavior of dynamical systems with Conley-Morse graphs. Advances in Cognitive Neurodynamics (III) 665\u0026ndash;672, (2012). article\nProceeding (written in Japanese) # 大林一平. パーシステントホモロジーの理論と応用. 交通流と自己駆動粒子系シンポジウム論文集 24 (2018). article (open access) Book chapters # Motoki Shiga and Ippei Obayashi. Structural-Order Analysis Based on Applied Mathematics. In: Hayashi, K. (eds) Hyperordered Structures in Materials. The Materials Research Society Series, Springer, Singapore, 2024. https://doi.org/10.1007/978-981-99-5235-9_11\nM. Buchet, Y. Hiraoka, and I. Obayashi. Persistent homology and materials informatics. Nanoinformatics 75-95, Springer (2018). article (open access)\nMagazine articles # 大林一平・尾﨑由紀子. パーシステントホモロジーを用いた多孔質材料の 3 次元気孔配置の数値化. スマートプロセス学会誌 13 (3), 107\u0026ndash;114, (2024).\n大林一平. 位相的データ解析の紹介とその防災・災害復興への貢献可能性. 応用数理. 34 (3), 52\u0026ndash;57, (2024).\n大林一平. ソフトウェア紹介：パーシステントホモロジーに基づくデータ解析ソフトウェア「HomCloud」による材料科学データ解析. 分子シミュレーション学会誌 \u0026ldquo;アンサンブル\u0026rdquo; 26 (1), 83\u0026ndash;90 (2024).\n南谷英美, 志賀拓麿, 柏木誠, 大林一平. アモルファス材料の熱伝導率とトポロジカルデータ解析. 固体物理. 58 (6), 319\u0026ndash;330, (2023).\n大林一平. パーシステントホモロジーの数学的基礎 (特集：トポロジカルデータ解析の拡がり). 数理科学 2023年6月号 Ｎｏ.720, (2023).\n志賀元紀, 森田秀利, 大林一平. 数理情報科学を用いた構造秩序解析. セラミックス 58, 527\u0026ndash;530 (2023).\n大林一平. パーシステントホモロジーによる材料科学データ解析. New Glass 129, 35 (1), (2020).\n小原真司, 小野寺陽平, 大林一平, 志賀元紀, 平田秋彦, 平岡裕章, 坂田修身. ガラスの二体相関に隠れたトポロジーの抽出. New Glass 129, 35 (1), (2020).\n小原 真司, 坂田 修身, 小野寺 陽平, 大林 一平, 志賀 元紀, 平田 秋彦, 平岡 裕章. パーシステントホモロジーを用いた非晶質物質の回折パターンの理解と二体相関に潜んだトポロジーの抽出. 日本結晶学会誌 62 (1), (2020).\n平岡裕章, 大林一平, 赤木和人. パーシステントホモロジーと材料構造解析. 人工知能学会学会誌「人口知能」 34 (3), (2019).\n國府 寛司, 大林 一平. 非線型現象のダイナミクスの大域的構造を理解するための1つの試み. 日本神経回路学会誌, 22 (2), (2015).\n大林一平, 國府寛司. 歩行と力学系. 数学セミナー 2014年7月号.\nOther Articles # 大林一平. パーシステントホモロジーの optimal volume と stable volume について. 数理解析研究所講究録 No.2209, RIMS 共同研究 一般位相幾何学の動向と諸分野との連携. (2022). article website\n大林一平. パーシステントホモロジーに基づくデータ解析パッケージHomCloudの紹介. 数理解析研究所講究録 No.2166, RIMS 共同研究 第16回生物数学の理論とその応用 - 生命現象の定量的理解に向けて -. (2020). article website\n大林一平, 位相的データ解析の現在, 数理解析研究所講究録 No.2057, 統計的モデリングと予測理論のための統合的数理研究 (2016). article website\nPreprint # ","externalUrl":null,"permalink":"/publications/","section":"Ippei Obayashi's Website","summary":"","title":"Publication list","type":"page"},{"content":"","externalUrl":null,"permalink":"/series/","section":"Series","summary":"","title":"Series","type":"series"},{"content":"I have developed many softwares from teenage to now as a hobby programmer, a research programmer, and a part-time working programmer.\nThe following list shows a part of programs I have developed.\nHomcCube - A fast implmentation for computing persistence diagrams of 2D and 3D bitmap filtration HomCloud - Software collection for data analysis using persistent homology Ruby/SDL - A multimedia library for Ruby programming language using SDL 1.x Ruby/SDL2 - A multimedia library for Ruby programming language using SDL 2.x Nulin - Linear algebra library on NArray randomext - Random Number Generator from various distributions such as normal, gamma, beta, poisson, etc. ks-scheme - A scheme programming language processing system (A bytecode compiler written by Haskell and a bytecode interpreter written by C) RRSE(Ruby Reference Seeker for Emacsen) - Ruby reference manual viewer on Emacs Pencil Bullet - A Shoot \u0026rsquo;em up game inspired by Image Fight and Radiant Silvergun I was working in Trans New Technology, Inc. as a part-time programmer when I was a doctor course student. In the company, I developed embedded software in industrial inspection equipments for printed sheets using DAP-DNA.\n","externalUrl":null,"permalink":"/software/","section":"Ippei Obayashi's Website","summary":"","title":"Software","type":"page"},{"content":" Invited talks - 招待講演 # 大林一平. パーシステントホモロジーによる形のデータサイエンス - 基礎と材料科学への応用. 金属第66回 鉄鋼第69回 中国四国支部講演大会. 高知工科大学 永国寺キャンパス. Aug. 25, 2026.\n大林一平. パーシステントホモロジーによる形のデータサイエンス. 武蔵野大学数理工学シンポジウム (MCMEシンポジウム). 武蔵野大学有明キャンパス. Nov. 12, 2025.\nIppei Obayashi. Applications of Persistent homology to materials science, and persistent homology software HomCloud. Topological Data Analysis and Industrial Mathematics: Bridging Theory and Applications . Nishijin Plaza, Fukuoka, Japan. Aug. 7, 2025. (slide)\nIppei Obayashi. HomCloud: Persistent Homology-Based Data Analysis Software. TDA Week 2025. Kyoto University. Jul. 19, 2025.\nIppei Obayashi. Data analysis framework with linear models and persistent homology. A*STAR CFAR - JST Presto Joint Workshop. A*STAR, Singapore. Jan. 13, 2025.\n大林一平. パーシステントホモロジーによるデータ解析：理論・ソフトウェア・材料科学データへの応用. データサイエンスと生命医科学研究のフロンティア. 東京大学. Oct. 21, 2024.\nIppei Obayashi. A data analysis framework with linear models and persistent homology. TDA Week 2023. Kyoto University Clocktower hall. Aug. 2, 2023.\n大林一平. 位相的データ解析 - 理論，ソフトウェア，応⽤. Topology Meets Data. 一橋講堂 (ハイブリッド). Jan. 10, 2023.\n大林一平． パーシステントホモロジーによるデータ解析 - 理論，応用，ソフトウェア． JST数学関連3領域連携WS「情報科学と拓く新しい数理科学」． ハイブリッド(北海道大学)． Sept. 12, 2022.\nIppei Obayashi. Stable volumes for persistent homology. TDA Week. Online. Feb. 14, 2022.\nIppei Obayashi. 3D Data Analysis of X-Ray CT Images with Persistent Homology and Nonnegative Matrix Factorization. Perspectives on Artificial Intelligence and Machine Learning in Materials Science. Online. Feb. 5, 2022.\n大林一平. TDAの材料科学への応用とデータ解析ソフトウェアHomCloud. CREST 「現代の数理科学と連携するモデリング手法の構築」 成果報告公開シンポジウム. オンライン. Sep. 21, 2021.\nIppei Obayashi nad Motoki Shiga. Online tutorial of quantum beam PDF analysis and topological analysis for disordered materials - Lecture (vii) and hands-on (iii): Topological analysis. Tutorial by ICG TC29 (Quantum beam diffraction) and JSPS Hyper-ordered structures science. Online. Sep. 13\u0026ndash;17, 2021.\nIppei Obayashi. Persistent homology: a descriptor of the shape of data. RIMS Workshop Mathematical methods for the studies of flow, shape, and dynamics. Online. Aug. 30, 2021.\n大林一平. パーシステントホモロジーによるデータ解析の基本と材料科学への応用. 第52回ガラス部会夏季若手セミナー. Online. Aug. 27, 2021.\n大林一平. パーシステントホモロジーによる材料科学データ解析. 第99回千葉地域活動高分子交流講演会. Online. Jun. 15, 2021.\n大林一平. Volume-optima cycles and stable volumes for persistent homology. RIMS 共同研究 一般位相幾何学の動向と諸分野との連携, Online. Jun. 3, 2021.\nIppei Obayashi. Stable volumes for persistent homology. Thematic Einstein Semester on Geometric and Topological Structure of Materials, Online. May 26, 2021.\nIppei Obayashi. A Framework for Machine Learning with Persistent Homology. POSTECH MINDS Seminar Series on Data Science, Machine Learning and Scientific Computing. Online. May. 18, 2021.\nIppei Obayashi. Inverse problems on persistence diagrams. RIMS共同研究 偏微分方程式における逆問題とその応用のさらなる展開. Online. Jan. 7, 2021\nIppei Obayashi. Field choice problem in persistent homology. Asia Pacific Seminar on Applied Topology and Geometry. Online. Nov. 20, 2020\nIppei Obayashi. Software and applications of persistent homology. 2nd AIP Open Seminar. Online. Nov. 18, 2020.\n大林一平. パーシステントホモロジーによるデータ解析 - 材料科学への応用について. 公益社団法人日本セラミックス協会 第 33 回秋季シンポジウム. オンライン開催. Sep. 3, 2020\n大林一平. パーシステントホモロジーのデータ解析への活用. 応用のためのトポロジカルデータ解析チュートリアル＆ワークショップ. オンライン開催. Jun. 18, 2020\n大林一平. Theory, software, and applications of persistent homology. RIMS共同研究（公開型） 第16回生物数学の理論とその応用－生命現象の定量的理解に向けて－, 京都大学数理解析研究所, 京都. Jan. 31, 2020\n大林一平. パーシステントホモロジーチュートリアル (パーシステントホモロジーの基礎と応用例の紹介, HomCloud体験チュートリアル). TDA Tutorial, 理研AIP日本橋オフィス. 東京. Nov. 28\u0026ndash;29, 2019\nIppei Obayashi. Data Analysis by Persistent homology and Machine learning. A3 foresight workshop \u0026ldquo;Modeling and Simulation of Hierarchical and Heterogeneous Flow Systems with Applications to Materials Science VI\u0026rdquo;, TOKYO ELECTRON House of Creativity. Sendai. Japan. July 28, 2019.\nIppei Obayashi. Machine learning with persistent homology and its applications to materials science. TGDA@OSU TRIPODS Center Workshop - Structure in the Micro-world, Ohio State University, Columbus, Ohio, USA, May 31 2019\n大林一平. パーシステントホモロジーの基礎と材料科学への応用. 数学と諸分野の融合に向けた若手数学者交流会, JST東京本部, 東京, Mar. 16, 2019\nIppei Obayashi. Topological Data Analysis for Materials Science. ICMMA 2018, Meiji Univ., Tokyo, Feb. 12, 2019\n大林一平. パーシステントホモロジーの理論と応用. Interaction between Pure and Applied Mathematics 2018 (IPA Math 2018), 明治大学駿河台キャンパス, 東京, Dec. 14, 2018\nIppei Obayashi, Theory and applications of persistent homology, Mathematical Progress in Expressive Image Synthesis 2018 (MEIS2018), Shibaura Institute of technology, Tokyo, Dec. 9, 2018\n大林一平. パーシステントホモロジーの理論と応用. 第24回交通流と自己駆動粒子系のシンポジウム, 名古屋大学, 愛知, Dec. 6, 2018\n大林一平. パーシステントホモロジーの基礎から応用まで. 応用物理学会 薄膜・表面物理分科会 基礎講座：データサイエンスを活用した固体材料・表面研究の最前線, 東京理科大学, 東京, Nov. 2018\n大林一平. パーシステントホモロジー解析の(非)結晶学への展開. 日本結晶学会 2018年度年会シンポジウム「新規数学的手法によるデータ解析の結晶学への応用」, 東京工業大学, 東京, Nov. 2018\nI. Obayashi. The theory and applications of persistent homology. 2018 Nagoya International workshop on the Physics and mathematics of discrete geometry, Nagoya University, Aichi, Nov. 2018 (slide)\n大林一平. 位相的データ解析による材料科学データの不均一性の評価. X線顕微鏡による機能の可視化と多次元情報の活用 (X線顕微鏡研究会), つくば国際会議場, 茨城, Nov. 2018\n大林一平. パーシステントホモロジー - 数学と計算機科学の融合による「かたち」のデータ解析. 2018年 日本数学会 秋季総合分科会, 岡山大学, 岡山, Sep. 2018\nI. Obayashi. Analysis of the shape of data by persistent homology and machine learning. Applied Geometry \u0026amp; Topology 2018, Kyoto University, Kyoto, Japan, Jul. 2018\n大林一平. パーシステントホモロジーの基礎から応用まで. 第 23 回 高分子計算機科学 研究会講座 - 材料開発のための AI システムとその応用, 東京工業大学, 東京, Jun. 2018\n大林一平. Volume Optimal Cycles for Persistent Homology. 第10回福島応用数学研究集会, コラッセふくしま, 福島, Mar. 2018\nIppei Obayashi. Theory and Application of persistent homology. -LANDSCAPE OF APPLIED MATHEMATICS IN ENERGY PROBLEM- i2cner international workshop 2018, Kyushu Univ. - Japan, Feb. 2018\nIppei Obayashi. Introduction to topological data analysis. Kavli IPMU-Berkeley Symposium \u0026ldquo;Statistics, Physics and Astronomy\u0026rdquo;, Lecture Hall, Kavli IPMU, The University of Tokyo, Jan. 2018 (slide)\n大林一平. 位相的データ解析ソフトウェア HomCloud の紹介 およびパーシステント図の逆問題について. Encounter with Mathematics 第70回 パーシステントホモロジーとその周辺, 中央大学後楽園キャンパス, Dec. 2017\nIppei Obayashi. Introduction to Topological Data Analysis. INVA2017, Miyako-jima Okinawa, Mar. 2017\n大林 一平. 位相的データ解析の基礎と応用 - パーシステントホモロジーの計算ソフトウェアと発展的話題について. 統計数理研究所 2016年度公開講座, 統計数理研究所, Feb. 2017 (slide)\nIppei Obayashi. Analysis of digital image data from material science with Topological Data Analysis and Machine learning. The AIMR International Symposium 2017 (AMIS2017), Sendai International Center, Feb. 2017\n大林一平. パーシステントホモロジーによる材料科学データの空間構造解析について. PF研究会「測定しているけど見えていない情報を引き出すためには？〜不可逆反応、不均一反応での情報科学/計算科学×計測技術の融合〜」, KEKつくばキャンパス, Jan. 2017\n大林一平. Inverse problem from persistence diagrams to point clouds. 応用数学分科会 特別セッション「位相的データ解析とパーシステントホモロジー」, 筑波大学, Mar. 2016\nIppei Obayashi. Software for persistent homology. A3 Foresight Winter School on \u0026ldquo;Mathematics on Materials Science: Topological Data Analysis and Dynamics\u0026rdquo;, Tohoku University, Feb. 2016\n大林 一平. トポロジカルデータ解析と形のインフォマティックス - Homcloudを用いたデータ解析について. 新化学技術推進協会 先端化学・材料技術部会 コンピュータケミストリ分科会講演会「マルチスケール材料開発のための幾何学的手法」, 東京, Jan. 2016\n大林一平. 倒立/二重振子と受動歩行のモデリング. 「現象数理冬の学校」ーモデルを通して現象を視る, 明治大学, Feb. 2014\nIppei Obayashi. Dynamics of simple walking models. Workshop: Dynamics and Applied Topology, Kyoto University, Kyoto, Japan, Jun. 2013\nIppei Obayashi. Time series analysis based on the idea of CM graphs. IV Developers Workshop on the Conley-Morse Database Project, Kauai Hawaii, USA, Mar. 2012\nOther talks - その他講演 # 大林一平. パーシステントホモロジーによる形のデータサイエンス. 日本数理生物学会2026年度年会. くにびきメッセ(島根). Sept. 8, 2026.\nIppei Obayashi. Applications and software of persistent homology. MathCCSセミナー. Tohoku University. Jul. 1, 2026.\n大林一平. 材料科学における乱雑な構造のパーシステントホモロジーによる解析. 第16回岡山大学AI研究会. オンライン. Jun. 25, 2026.\n大林一平. コントラスト変調⼩角中性⼦散乱のベイズ推定・ガウス過程回帰によるデータ解析の信頼性定量化・⾼精度化. OI-Start「オープンイノベーションMatch Up vol.5 ～AI時代の計算基盤を活かした産学官連携～」. 岡山大学. ポスター発表. May 26, 2026.\nIppei Obayashi. HomCloud: A Comprehensive Software Suite for Persistent Homology-Based Data Analysis. AIMR Mini-workshop「材料科学分野のためのトポロジカルデータ解析」. 東北大学. May 20, 2026.\n大林一平. パーシステントホモロジーの逆解析の理論と応用. 第169回HMMCセミナー. 北海道大学. May 8, 2026.\n大林一平. パーシステントホモロジーによる形のデータサイエンス. R7第2回Cypher研究会・岡大Research Fusion Lounge 2026 Spring. 岡山大学. ポスター発表. Mar. 24, 2026.\n大林一平. HomCloudの10年. 北陸応用数理研究会 2026. 金沢歌劇座. Feb. 2, 2026.\n大林一平, 中島健. 連結パーシステンス図計算ソフトウェア RuCPD. 2025年度応用数学合同研究集会. 龍谷大学瀬田キャンパス. Dec. 20, 2025.\n大林一平. パーシステントホモロジーによる形のデータサイエンス. 岡山大学 R\u0026amp;D Showcase 2025. 岡山大学. ポスター発表. Dec. 2, 2025.\n大林一平. HomCloud 5.0 の新機能と HomCloud 開発の現在. TDAコミュニティ. オンライン. Oct. 22, 2025.\n大林 一平, 宮島 信也, 田中 一成, 眞弓 皓一. ガウス過程回帰によるコントラスト変調中性子小角散乱データの部分散乱関数への高精度な分解手法について. 2025年度統計関連学会連合大会. 関西大学. Sept. 8, 2025.\n大林一平. パーシステントホモロジーによる形のデータサイエンス. OI-Start「オープンイノベーション Match Up vol.3」. ポスター発表. 岡山大学. Mar. 22, 2025.\n大林一平, 中島健. 連結パーシステンス図計算ソフトウェアRuCPD. 日本数学会2025年度年会. 早稲田大学. Mar. 21, 2025.\n大林一平. パーシステントホモロジーによる形のデータサイエンス. 日本鉄鋼協会 2025年春季講演大会 シンポジウム：研究会最終報告会「材料組織の数値化と特性予測」. 東京都立大学. Mar. 10, 2025.\nIppei Obayashi. Persistent homology: Shape of data in materials science. Poster presentation. Symposium on Hyper-Ordered Structure Sciences in London. London, UK. Jan. 29, 2025.\nIppei Obayashi. Basics of Persistent Homology and Optimization Problems on Persistent Homology. 第 36 回 RAMP 数理最適化シンポジウム (RAMP 2024). 姫路・西はりま地場産業センター (じばさんびる) . Nov. 19, 2024.\n大林一平. パーシステントホモロジーによる形のデータサイエンス：アモルファスへの適用例を中心に. SPring-8ユーザー共同体（不規則系機能性材料研究会）. 名古屋工業大学. Oct. 30, 2024.\n大林一平. 数理的手法による超秩序記述子の探索およびその応用. 学術変革領域研究 (A) 「超秩序構造が創造する物性科学」 第8回成果報告会. ポスター発表. 東北大学. Sep. 24, 2024.\n大林一平. パーシステントホモロジーによる形のデータサイエンス：材料科学への応用. 日本物理学会 第79回年次大会. 北海道大学. Sep. 18, 2024.\n大林 一平, 中島 健. 連結パーシステンス図計算ソフトウェアRuCPDの紹介. 日本応用数理学会2024年度年会. 京都大学. Sep. 14, 2024.\n大林一平. パーシステントホモロジーの基礎と応用. 岐阜数理科学セミナー. 岐阜大学. Sep. 9, 2024\n大林一平. 数理的手法による超秩序記述子の探索およびその応用. 学術変革領域研究 (A) 「超秩序構造が創造する物性科学」 第6回成果報告会. ポスター発表. 東京大学. Nov. 17, 2023.\n大林一平. パーシステントホモロジーによる位相高次構造抽出手法開発. 第17回さきがけ研究者交流会. ポスター発表. JST東京本部別館. Oct. 20, 2023.\nIppei Obayashi, Emi Minamitani, Takuma Shiga, and Makoto Kashiwagi. Topological descriptor of thermal conductivity in amorphous Si. ICIAM2023. Waseda University (hybrid). Aug. 23, 2023.\n大林一平. 数理的手法による超秩序記述子の探索およびその応用. 学術変革領域研究 (A) 「超秩序構造が創造する物性科学」 第5回成果報告会. ポスター発表. 名古屋大学. Mar. 14, 2023.\n大林一平. パーシステントホモロジーの材料科学への応用. ワークショップ「データサイエンスと幾何学の物性への応用」. 東京理科大学. Mar. 11, 2023.\n大林 一平, 南谷 英美. パーシステンス図を記述子としたアモルファスの機械学習ポテンシャルについて. 日本応用数理学会第19回研究部会連合発表会. 岡山理科大学. Mar. 9, 2023.\n大林一平. パーシステントホモロジーによる位相高次構造抽出手法開発. 数理構造活用領域1期生成果報告会「つながる数学」. JST東京本部別館. Jan. 29, 2023.\n大林一平. 数理的手法による超秩序記述子の探索およびその応用. 学術変革領域研究 (A) 「超秩序構造が創造する物性科学] 第4回成果報告会. ポスター発表. 物質・材料研究機構. Oct. 2, 2022.\n大林一平. アモルファス物質の熱伝導率のパーシステントホモロジーによる解析. 2022年度統計関連学会連合大会. 成蹊大学 (ハイブリッド). Sept. 6, 2022.\nIppei Obayashi. 3D data analysis of X-Ray CT images with persistent homology and NMF. The 2nd POSTECH MINDS Workshop on Topological Data. Online. Sept. 26, 2022.\n大林一平. Stable volumes for persistent homology. MIMS/CMMA トポロジーとその応用融合研究セミナー. Online. Jun. 2, 2022.\nIppei Obayashi. Stable volumes for persistent homology. AATRN online seminar. Online. Mar. 30, 2022.\n大林一平. PHソフトウェアHomCloudの最新状況と応用. 日本応用数理学会第18回研究部会連合発表会. Online. Mar. 9, 2022.\n大林 一平, 木村 正雄. 焼結鉱3次元CT画像のパーシステントホモロジーと非負行列分解による解析. 日本応用数理学会2021年度年会. Online. Sep. 9, 2021.\n大林一平. パーシステントホモロジーによるデータ解析ソフトウェアHomCloud. マス・フォア・インダストリ研究所 共同利用研究 - 位相的データ解析の理論と応用. Online. Aug. 5, 2021.\n大林一平. A framework for machine learning with persistent homology. 岡山応用数学セミナー, 岡山理科大学-Online, May 13, 2021.\n大林一平. Stable volumes for persistent homology. 日本数学会2021年度年会, Mar. 17, 2021.\n大林一平, 吉脇理雄. Field choice problem on persistent homology. 日本数学会2020年度秋季総合分科会, Sep. 24, 2020.\n大林一平. 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AIPシンポジウム 2018年度 成果報告会, ポスター発表, ＪＰタワー ホール＆カンファレンス, 東京, Mar. 19, 2019\n大林一平. パーシステントホモロジーにもとづくデータ解析ソフトウェアHomCloudの活用. ダイナミクス研究会中野. 明治大学中野キャンパス, 東京, Dec. 13, 2018\n大林一平. 位相的データ解析の最近の研究動向について. RIMS共同研究（グループ型） 「統計的モデリングと予測理論のための統合的数理研究の実践」, 京都大学, Aug. 2018\nI. Obayashi. Homcloud, Persistent Homology Based Data Analysis Software Package. ATDD 2018 (Algebraic Topology in Dynamics and Data 2018), Montana State University, Montana, USA, Jul. 2018\nI. Obayashi. Volume optimal cycles for persistent homology. ATMCS8 (Algebraic Topology: Methods, Computation and Science 8), IST Austria, Austria, poster presentation, Jun. 2018\n大林一平. Volume optimal cycles for persistent homology. 日本数学会2018年度年会, 東京大学, Mar. 2018\n大林一平. Digital Image Analysis using Persistent Homology and Machine Learning. 情報系 WINTER FESTA Episode3, 学術総合センター, ポスター発表, Dec. 2017\n大林一平. Persistent homology における Volume Optimal Cycle. 2017 年度応用数学合同研究集会, 龍谷大学, Dec. 2017\n大林一平. 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FIRST合原プロジェクト－CREST数学領域 合同シンポジウム, JST 東京本部別館, ポスター発表, Jan. 2014\n大林一平, 青井伸也, 土屋和雄, 國府 寛司. シンプルな二足歩行モデルにおける系の双曲性とハイブリッド性によ る吸引領域の形成. 2013年度応用数学合同研究集会, 龍谷大学, Dec. 2013\n大林一平, 青井伸也, 土屋和雄, 國府 寛司. 受動歩行モデルのサドルと吸引領域の幾何的形状. 第14回 計測自動制御学会 システムインテグレーション部門講演会, 神戸国際会議場, Dec. 2013\nIppei Obayashi. Data series analysis using SCC decomposition algorothm. Joint US-Japan workshop for Young Researchers on Interactions among Localized Patterns in Dissipative Systems, IMA University of Minnesota, Minneapolis Minnesota - USA, ポスター発表, Jun. 2013\n大林一平. Computing recurrent sets from time series data using SCC algorithm. CTDSセミナー, 東京大学生産技術研究所, Feb. 2012\nIppei Obayashi. Computer-assisted verification method for invariant measures and decay rate of correlation functions. ICMC Summer Meeting on Differential Equations 2012, ICMC USP, Sao Carlos - Brazil, Feb. 2012\nIppei Obayashi. Computing recurrent sets from time series data using SCC algorithm. Workshop on Applied Dynamical Systems, Kyoto University, Dec. 2011\n大林一平. Computing recurrent sets from time series. Frontiers in Dynamical systems and Topology, 京都大学数学教室, ポスター発表, 2011年11月\n大林一平. Conley-Morse graph 計算ソフトウェア cmgraphs の活用. CTDSセミナー, 東京大学生産技術研究所, 2011年11月\n大林一平. Computer-assisted verification method for invariant measure and decay rate of correlation functions. エルゴード理論の最近の話題, 日本大学文理学部, 口頭発表,2009年11月\n大林一平. 力学系の不変測度と相関の減衰の速度の精度保証について. 2008年度冬の力学系研究集会, 日本大学軽井沢研修所, 口頭発表,2009年1月\n大林一平. Numerical estimations and varidations of invariant desities and rate of decay of corralations. 2008日本数学会秋季総合分科会,東京工業大学, 口頭発表,2008年9月\n大林一平. Exponential decay of correlations for expanding suspension semiflows. 2006年度冬の力学系研究集会,東京大学数理科学研究科,口頭発表, 2007年1月\n大林一平. Decay of correlations for expanding semiflows on surfaces. エルゴード理論の展望,三重大学,口頭発表,2006年12月\n大林一平. Decay of correlations for suspension semiflow defined by beta transformation. 京都大学21世紀COEプログラム「先端数学の国際拠点形成と次世代研究者育成」 京大数理研\u0026amp;数学教室-ソウル大学数学教室若手数学者交流会 京都大学理学研究科数学教室, ポスター発表,2006年2月\n","externalUrl":null,"permalink":"/talks/","section":"Ippei Obayashi's Website","summary":"","title":"Talks list","type":"page"},{"content":"","externalUrl":null,"permalink":"/math_memo/","section":"数学メモ","summary":"","title":"数学メモ","type":"math_memo"}]